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2006.09.28 22:22

Trisectopathy Math2006.09.28 22:22

예전에 재*교육 스**교* 연구소에 병특으로 근무할 때의 일이다. 입사한 지 얼마되지 않은 신참 시절, 다른 부서의 팀장이 갑자기 나를 불렀다. 무슨 일인가 싶어 가보니 웬 서류 봉투를 하나 주면서 검토해 보고 답변을 작성하란다.

춘천에 사는 함**이라는 사람이 재*교육 회장 앞으로 보낸 문건이었는데, 열어보니.... 자신이 임의의 각을 삼등분하는 작도법을 발견하였으니 검토를 부탁한다는 내용이었다. -_-

아마도 대학 수학과에 문의했다가 아무 답변이 없어서 이쪽으로 보낸 것 같다. 애가 재*교육 교재라도 받아보고 있었는지도 모르겠다.

아무튼 읽어보니 언제나 그렇듯 무지하게 복잡하다. 일일이 따라 그려보는 건 시간낭비인 데다 오류를 찾는 것도 쉽지 않은 일. 그래서 하숙집 후배의 컴퓨터를 빌려 Mathematica로 60도의 경우를 그려 보았다. 그랬더니 역시나 소수점 아래 여섯 번째 자리인가에서 cosine 값이 다르게 나왔다.

이 결과를 바탕으로 어떤 점이 문제인지에 대해 친절하고 자상한 설명에 그림까지 일일이 그려서 답변서를 만들었다. 이걸 연구소 이사에게 들고 가서 보고를 했더니, 보내기 전에 먼저 전화를 해 보란다. trisector들의 성향을 잘 아는지라 전화로는 해결이 안 될 텐데 하는 걱정이 들었지만, 이사가 시키는 데야 별 수 있나.

작도법 설명서에 적혀 있던 번호로 전화를 걸어 재*교육 연구소라고 했더니 엄청나게 반가워한다. trisector들에게 으레 하는 대로 각의 삼등분 작도 문제는 이미 불가능하다는 것이 잘 증명되어 있다고 했더니 놀랍게도 이 사람은 "아, 그렇습니까? 몰랐습니다."라고 대답을 한다.

trisector답지 않은 반응이라 생각하면서, 그 사람의 작도법에 따라 60도를 가지고 작도해보니 오차가 생겼다고 말해줬다. 그러면서 답변서를 보내주겠다고 했더니, 웬걸, "아닙니다. 불가능하다는 걸 알았으니 됐습니다."라고 한다.

trisector들을 만나본 사람들은 알겠지만, 이건 진짜 놀라운 반응이다. 보통 trisector들은 고집이 엄청나서 아무리 설명해도 절대 이해하려 들지 않는데, 설명을 들을 필요도 없다니 놀랄 수밖에.

공들여 만든 설명서가 아깝긴 했지만, 이렇게 해서 무사히 일이 끝났다.

그런데..................................................................

며칠 전에 m***** 사이트에 함**이라는 사람이 글을 올렸다. 흔한 이름이 아니니 동명이인은 아닐 텐데, 그 내용인즉,
임의각 삼등분 작도방법을 성공했습니다.
물론 증명도 했구요
편견없이 저의 연구 논문을 검증 해 보고 싶으신 분은 연락 주세요
란다.

내가 "틀렸다"고 한 이후로 7~8년을 더 연구해서 삼등분 작도에 "성공"한 것 같은데, 역시 trisector들에게 "삼등분작도"라는 병은 불치병임에 틀림없다. 그것도 아주 중증의.

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2006.09.28 13:00

Palindrome of continued fractions Math2006.09.28 13:00

지난 화요일, 어쩌다 땜빵(?) 세미나 발표를 하게 되었는데, 제목은 Arithmetics of binary quadratic forms, symmetry of their continued fractions and geometry of their de Sitter world, 저자는 V. Arnold. 유명한 바로 그 Arnold다.

제목의 두 번째 주제인 연분수 전개에 나타나는 대칭성은, n의 제곱근을 연분수로 나타내면 그 표현에 palindrome이 있다는 것이다. palindrome이란 "소주 만 병만 주소"처럼 앞으로 읽으나 뒤로 읽으나 같은 것을 뜻하는데, 예를 들어 , √167 = [12; 1, 11, 1, 24]로 표현되고 여기서 1,11,1이 바로 palindrome이다. 좀더 긴 예를 들면,
√163 = [12; 1, 3, 3, 2, 1, 1, 7, 1, 11, 1, 7, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 24]
이고 1, 3, 3, 2, 1, 1, 7, 1, 11, 1, 7, 1, 1, 2, 3, 3, 1이 palindrome이다.

이 글을 쓰다 Continued Fraction Calculator라는 사이트를 발견했다. 연분수를 계산할 일이 있으면 저 사이트를 이용하면 되겠다.

사실 나는 이 결과가 워낙 눈에 분명하게 보이는 것이라, 아마도 옛날옛적부터 잘 알려진 것으로 생각하고 있었는데, 의외로 대부분이 정리 자체도 처음 보았고, 증명 방법도 특이하다고 했다.

아무튼 Arnold의 증명 방법이 꽤 멋있긴 했지만, 세미나에 참석하고 있던 김병* 박사님의 코멘트를 들어보니 더 쉬운 증명도 가능해 보였다.

잘하면 아주 짧은 논문 한 편이 나올지도...라는 희망을 가졌으나, 어제 김병* 박사님이 2002년에 나온 논문을 한 편 보여주었다.
Symmetry and folding of continued fractions - van der Poorten, Alfred J.
여기에 이 결과가 더 자세한 표현으로, 더 간단하게 증명되어 있지 않은가. -_-

저 논문에도 역시 이 결과 자체는 이미 잘 알려져 있던 것이라고 한다.

자, 그나저나 도대체 상대성 이론에나 나오는 de Sitter world가 여기 왜 나오냐고..... -_-;;;

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2006.09.21 08:52

노트북 Other interests2006.09.21 08:52

어찌어찌하다 보니... Sony SZ28LP/C.

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2006.09.21 08:47

재수없는 이재* Blog & Blogger2006.09.21 08:47

이*율의 도배질에 대해 항의하다가 이글루스에서 강퇴당한 기억이 아직도 생생한데, 이 인간 이곳 방명록에다 글을 남겼다. 뻔뻔한 건 여전하고.

芳名錄이 아니라 妨名錄을 만들 생각인가?

아, 재수없어.

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2006.08.31 19:21

이글루스에서 쫓겨나다. Blog & Blogger2006.08.31 19:21

지난 주 수요일 8월 23일, 이글루스에서 강퇴당했다. 내가 강퇴당한 일에 대해 몇 가지 오해도 있는 듯해서 여기에 정리해 둔다.

사건의 발단은 요즘 이글루스 검색어 순위 1위를 달리고 있는 이재율. 이 사람은 수학의 온갖 난제를 해결했다면서 대한수학회를 괴롭하고 있는 사람이다. 논문을 --- 논문이라 부르기도 민망하지만 --- 제출했다가 당연하게 거절당했는데, 자기가 틀린 건 생각 못하고 심사가 엉터리라며 일인시위까지 하는 황당한 사고방식의 소유자이다.

아무튼 이 사람이 이글루스에 블로그를 차리면서 사건이 시작되었다. 이 사람은 인터넷에서 볼 수 있는 게시판이라는 게시판은 몽땅 찾아다니면서 자신의 엉터리 수학을 올리고 있는 사람이다. 수학 관련 사이트만 가는 게 아니라 글 쓸 수 있는 곳이면 사이트 성격을 가리지 않는다. 이러니 이글루스 블로그마다 다니며 똑같은 짓을 하는 것도 당연하다.

내 이글루스 블로그에서 이 사람의 어이없는 행동들에 대해 쓰기도 했는데, 아니나다를까 덧글로 자신의 엉터리 수학을 올리기 시작했다. 생각 같아서는 확 지워버리고 싶었지만, 그래도 불쌍해서 한 두 개 덧글 쓰는 건 그냥 두었다. 일종의 반론권을 보장한다는 생각도 있었고.

그런데 이 사람, 블로그에 덧글 쓰는 데 재미가 붙었는지, 차츰 도배질을 시작한다. 한 두 개의 덧글을 다는 거야 욕할 일이 아니겠지만, 서너 개의 포스팅에 똑같은 덧글을 다는 건 좀 문제가 있지 않은가. 그것도 거의 날마다.

이재율에게 도배질하지 말 것을 요구해도 막무가내다. 이 사람은 내 말은 완전 무시하고 그저 "나는 증명에 성공했다"는 내용의 글만 반복적으로 올릴 뿐이었다.

이때쯤, 마침 이글루스에서 스팸 차단 기능을 선보였다. 이거야말로 내가 원하던 기능이었다. 나는 이재율에게 더 이상 덧글을 쓰지 말 것을 요구하면서 스팸 URL 설정에 leejaeyul을 써 넣었다. 그런데 이상하게도 그 다음 날 이재율이 쓴 덧글이 또 여러 개 올라와 있었다. 아무리 설정을 바꿔봐도 그대로다.

하도 이상해서 스팸 차단 기능을 소개한 운영진의 글을 다시 읽어보니, 이미 몇 사람이 나와 똑같은 일을 당했음을 알 수 있었다. 그래서 이글루스 운영진에게 스팸 설정에 문제가 있는 것 같다고 글을 남겼는데, 며칠 동안 감감 무소식이었다. 이때까지만 해도 난 스팸 처리에 버그가 있는 줄 알았다.

아무 반응없는 운영진을 보니 슬슬 짜증이 나기 시작했다. SK로 넘어가더니 이글루스에 문제가 많다는 덧글을 몇 개 남겼더니, 그제서야 운영진이 글을 올렸다. "이글루스 회원에게는 스팸 적용이 되지 않는다"란다. 분명히 처음 기능 소개를 할 때는 "URL에 oos.com을 등록하면 egloos.com도 막힌다"고 해놓고, 이게 무슨 소리란 말인가.

비회원이 올리면 스팸이고, 회원이 올리면 스팸이 아니란 소린가? 스팸을 내용이 아니라 출처로 따진다는 해괴한 논법은 어이가 없을 지경이었다.

그렇다면 이재율의 도배질을 막을 방법이 전혀 없다는 소리니, 한 마디로 그냥 당하고 살라는 말인 셈이다. 물론 회원이 악플을 다는 경우 메일을 보내면 처리해준다고는 하지만, 그 얘기는 일단 당한 다음 운영진의 "현명하신 판단"에 맡기라는 뜻인데 이재율의 글은 당하는 사람에게는 악성이지만 과연 운영진이 이 인간을 강퇴할 만한 정도인지는 의심스럽다.

내가 원하는 것은 이재율을 이글루스에서 쫓아내 달라는 것도 아니고, 그저 스팸 덧글 막듯이 이재율이 쓰는 글을 막을 수만 있게 해 달라는 것이었다. 비유컨데 내가 원한 것은 재갈이 아니라 귀마개였다. URL만 비교하면 되는 것이니 별로 어려운 기술도 아닌데, 이상하게도 운영진의 답변은 스팸과 악플은 다르다는 "친절하신 설명"뿐이다. 아니, 누가 스팸과 악플을 구별해 달라고 했나.

운영진에서는 회원 덧글 차단 기능이 기획 단계에 있다고는 하는데, 그때까지 무차별로 이재율에게 당하고 있으라고? 적어도 이재율에게 경고 한번쯤은 해야하지 않나? 게다가 처음에 스팸 차단이 안 된다고 할 때도 묵묵부답이었던 걸 보면, 회원 덧글 차단 기능이 만들어질지 그냥 해본 말인지 알 게 뭔가? 언제 나올지도 모르는데?

그래서 나는 내 블로그를 비공개로 닫아놓고 이재율의 블로그에 한 번에 수십 개씩 도배질을 했다. 이재율에게 사과를 요구하기는 했지만 그 사람이 자기 잘못을 깨달을 정도로 정상적인 사람은 아니니 어차피 사과를 기대했던 것은 아니다. 내가 진짜로 목표로 했던 것은 이글루스 운영진이었다. 수십 수백 개의 글을 도배질하는데 운영진이 손놓고 있을 리야 없을 테니까.

다행히, 혹은 불행히 이글루스 블로그의 덧글 창에는 약간의 문제가 있어서, 한 번에 백 개쯤의 덧글을 다는 건 일도 아니었다. 이글루스에서도 그제서야 심각성을 깨달았는지 "다음 주 중에 회원 덧글 차단 기능이 완성될 걸로 예상된다"면서 나에게 도배질하지 말 것을 경고하는 메일을 보내왔다.

그렇다고 "예, 하해와 같은 이글루스 운영진의 배려에 감사 드립니다"하면서 가만 있을 수야 없는 일. 왜 이재율에게는 경고 한 번 안 하면서, 정작 피해자인 나에게 강퇴 운운하는 경고란 말인가? 그래서 "이재율에게도 같은 경고를 했다는 증거를 보여주기 전까지는 계속 도배질하겠다"고 답했다.

운영진의 메일을 받고 하루 정도는 참았던 것 같다. 그런데 여전히 이재율은 다른 블로그들에 예의 그 글을 또 올리고 있었다. 이재율에 대해 항의한 것이 나 하나였던 것도 아닌데, 왜 고객들의 불만을 무시하는지 도무지 이해가 안 되었다. 이재율을 강퇴처리하지는 않더라도 현재 고객들이 가진 불만을 해소하려는 최소한의 노력은 보여야하지 않겠는가.

하다 못해, 회원 덧글 차단 기능이 며칠 내로 나온다는 공고라도 띄웠어야 할 텐데, 이글루스 운영진은 아무런 반응이 없었다. 이러니 회원 덧글 차단 기능이 나온다는 말을 과연 믿을 수 있을지도 의심스러워졌다.

그러면 내가 할 수 있는 일은 단 하나. 다시 한번 이재율의 블로그에 도배질을 했다. 이글루스 운영진이 대응책을 내놓기 전까지는 계속하겠다는 시위였다. 그러고 나서 하루이틀 후, 나는 이글루스에서 강퇴처리되었다. 타인의 블로그 사용을 방해하였고, 운영진의 경고를 무시하였다는 이유로.

솔직히 이렇게 전격적으로 강퇴처리되리라고는 생각하지 못했다. 운영진의 메일에서 "서비스 이용을 제한할 수밖에 없으며 서비스 강제탈퇴 등의 조치까지도 고려할 수 있습니다"라고 했기에 며칠 간 로그인 금지 같은 징계만 생각했기에 백업도 거의 받지 않았다.

이재율에게는 경고 한번 안 하고, 이번 사태를 해결하려는 공식적인 태도는 전혀 보이지 않았으면서 나만 강퇴당하다니, 진짜 열 받는 일이었다. 하지만 어쩌랴. 자료까지 다 날릴 수는 없는 일.

할 수 없이 이글루스 운영진에게 이메일을 보냈다. 24시간 정도 살려주면 접속하는 대로 자료만 백업 받고 자진탈퇴하겠다고. 그랬더니 "참으로 고맙게도" 목요일 오전 9시부터 금요일 오후 6시까지 내 블로그를 살려줬다. 그리고 나는 금요일 오후에 자진탈퇴하였다.

그 사이 이글루스는 회원 덧글 차단 기능을 선보였다. 이글루스가 나를 강퇴처리한 이유를 잘 모르겠다. 타인의 블로그에 도배질하는 게 문제였다면 회원 덧글 차단 기능으로 문제가 해소될 테니까, 결론은 운영진의 경고를 무시했다는 것뿐인데, 내가 일방적으로 무시했나? 이재율에게 같은 수준의 경고를 보내면 도배질 않겠다고 했는데, 운영진이야말로 내 제안을 무시한 것 아닌가?

아무튼 내일이면 이글루스에서 잘린 지 일주일이 된다. 일주일 안에 아이디를 살리지 않았으니 기존 자료들도 모두 삭제된다. 솔직히 이글루스 운영진에게 말해서 블로그 되살리고 싶은 생각도 많이 들었다. 그 동안 썼던 글들, 다른 분들의 덧글들, 트랙백들이 너무 아까웠다. 그렇지만 이글루스 운영진의 이해할 수 없는 대응을 보면 이글루스를 떠나는 편이 나을 거라는 생각이 든다. 집주인이 나가라는데 내가 무슨 일을 할 수 있을까?

한동안 이 tistory 블로그는 비공개로 자료 저장용으로만 쓸 생각이었고, 지금도 별로 다르지 않다. 그저 지금쯤 이글루스에서 쫓겨난 상황을 정리해 두어야겠다는 생각이 들었을 뿐이다.

@ 쫓겨나고 보니 확실하게 불편한 점 하나는, 비회원이 덧글 쓰지 못하게 해 놓은 블로그의 덧글을 볼 수조차 없다는 점. 아이디 다시 만들어? -_-

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2006.08.30 23:44

지하철 노선도 안의 동물들 Puzzle2006.08.30 23:44

valken의 블로그에 갔다가 김치샐러드 님의 서울지하철 노선도 속 12동물을 보았다.

원래 영국의 지하철 노선도에서 시작했다는데, animals on the underground.com이란 회사에서 이 디자인으로 각종 팬시 용품과 의류 디자인을 팔고 있다고 한다. 처음 시작한 곳이어서인지 28종이나 되는 동물들을 찾아놓았다.

재미있어 보여서 좀 끼적여 보니 악어와 벌새를 만들 수 있었다. 발동이 걸려 열심히 만들어 본 결과가 아래의 작품들이다.

좀 억지스러운 것들도 있지만, 아무튼 차례대로

악어, 벌새 / 타조, 비둘기 / 아기 코끼리, 하마 / 아귀, 거북 / 달팽이, 고래

를 만들었다. 난데없는 아귀는, 김치샐러드 님의 "그림 보여주는 손가락"에 등장하는 아귀를 그린 것이다. 김치샐러드 님에 대한 오마주라고나 할까.

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인터뷰에서 언급하였던 비탈리의 샤콘에 대한 만우절 거짓말을 올려둔다. 내가 봐도 꽤 그럴 듯하다. -_-;;;

    *    *    *    

“지상에서 가장 슬픈 노래”라는 카피로 잘 알려진 바이올린 곡, 비탈리의 샤콘(Vitali's Shackon in G Minor).

이 곡의 작곡자로 알려진 Tommaso Antonio Vitali는 1663년에 이탈리아의 볼로냐에서 태어나 1745년에 세상을 떠난, 당대의 유명한 작곡가 겸 명바이올리니스트이다. 그러나, 그의 작품은 몇 개 남아 있지 않으며 그나마 잘 연주되지도 않는다. 유일하게 연주되는 것이 이 곡 샤콘이라해도 별로 틀린 말이 아니다.

그런데, 이 명곡의 진짜 작곡자가 사실은 Vitali가 아니라는 주장이 끊임없이 제기되어 왔으며, 어떤 음악사가들은 곡중에 나타난 화성의 대담함을 지적하며 낭만파 시대에 만들어진 위작이 아닌지 의심해 왔다.

드디어 이 곡의 진짜 작곡자가 누구인지 밝혀질 때가 온 것 같다.

“비탈리의 샤콘”을 오랫동안 연구해 온, 로마 산타 다 지칠리아 음악원 (Accademia di Santa da Gicilia)의 음악사학자인 Maldo Andegio에 따르면, 이 곡의 원작자는 Vitali가 아니라, 놀랍게도 “사계(四季)”로 유명한 Antonio Vivaldi(1678∼1741)라고 한다.

그리고 그는 Vivaldi가 쓴 샤콘의 초고--- 반주 부분이 미완성이다 ---와 그의 말년 행적을 보여주는 몇 장의 편지를 공개했다.

Andegio의 설명으로는, 샤콘은 Vivaldi가 고향 베네치아를 쫓기듯 떠난 1740년부터 오스트리아 빈에서 객사한 1741년 7월 사이 어느 땐가 이탈리아 라벤나(Ravenna)의 San Vital 성당(오른쪽 사진)--- 현재도 유명한 관광지이다 ---에 머물며 작곡한 곡이라고 한다. Vivaldi는 이곳이 마음에 들었는지 초고에 Shackon San Vital이란 제목을 붙여 놓았다.

샤콘의 어두운 선율과 비장미는, 이 곡이 Vivaldi의 비참한 말년에 작곡되었기 때문인지도 모른다.

Vivaldi와 같은 대가의 작품이 어떻게 전혀 엉뚱한 사람인 Vitali의 작품으로 알려질 수 있었을까?

아마도 Antonio Vivaldi와 Tommaso Antonio Vitali의 이름이 비슷했던 것이 첫째 이유일 것 같다. 게다가 Vivaldi가 머물렀던 성당의 이름마저 Vitali와 비슷했던 것도 착각에 일조했을 것이다.

또, Vivaldi가 머물렀던 San Vital 성당이 있는 라벤나가 볼로냐에 가까운 것도 --- 현재 볼로냐는 이탈리아 북동부 에밀리아로마냐 자치주의 주도(州都)이고, 라벤나는 에밀리아로마냐 자치주 라벤나현(縣)의 현도(縣都)이다 --- 한 가지 이유가 될 것이다. 같은 이탈리아 북동부 지역이라도 베네치아 출신의 비발디보다 볼로냐 출신의 동시대인 비탈리가 라벤나 지역 사람들에게는 더 유명하였을 것이기 때문이다.

좀더 많은 조사와 연구가 필요하다는 신중한 학자들도 있지만, 대부분의 음악사학자와 음악가들은 Andegio의 주장에 동의하고 있다.

유명한 음악 비평가 Plaus I. Blelie의 말처럼, 이제라도 “비탈리의 샤콘”이 아닌 “비발디의 샤콘”이라고 불러주는 것이, 불행한 말년을 보낸 Vivaldi의 영혼에게 작으나마 위로가 될 것이다.

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