역시 dc에 올라왔던 글인데, 어떤 연산에 대해 항등원과 역원이 존재하려면 그 연산은 교환법칙이 성립해야 하지 않느냐는 질문이 있었다.

의외로 이걸 잘못 알고 있는 사람이 엄청 많았다. 항등원의 존재 유무는 교환법칙과는 아무 상관이 없다. 어떤 특정한 원소 e와 임의의 원소 a에 대해 e*a = a*e = a라는 특별한 성질이 성립하기만 하면 그 e를 항등원이라고 부르는 것인데, 아무 생각없이 e*a = a*e 라는 식만 보고 교환법칙이 성립해야 한다고 착각하는 것이다.

이걸 잘못 알고 있는 사람이 많아서, 몇 년 전에, 시중에 나와 있는 참고서들을 훑어 본 적이 있다. 정석은 이런 점을 알았는지 "교환법칙이 성립하지 않지만 항등원이 존재하는 연산"을 소개해 놓았지만, 대부분의 책들은 교환법칙에 대해 아예 언급 자체가 없었다. 어떤 의미에서는 정석이 꽤 세심한 교재라고 할 수도 있겠다.

모든 참고서를 남김없이 본 것은 아니지만, 그때 보았던 책들 가운데 한두 권은 놀랍게도 "항등원이 존재하려면 교환법칙이 성립해야 한다"라고 적혀 있었다. 저자들이 무슨 생각을 한 건지 모르겠다. 또, 두어 군데 수학 강의 사이트에서 제공하는 샘플 동영상을 받아 보았는데, 그 중에서도 "교환법칙이 성립하는지부터 봐야죠?" 이런 말을 하는 강사들이 있었다.

교사든 강사든 이런 착각을 하고 있는 사람이 많다 보니, 학생들이 헷갈리는 것도 당연한 일. 예전에 인터넷에서 누가 이런 질문을 하기에, 항등원과 교환법칙은 아무 상관이 없다고 답을 해 주었더니, 다른 사람이 틀린 답변이라고 박박 우긴다. 그래서 가장 알기 쉬운 반례로 행렬을 들었는데, 그 우기던 사람의 반응이 황당했다.

이쯤 되면 "이뭐병" 소리가 절로 나올 지경인데, "실수에서 정의된 연산이 항등원을 가지면 항상 교환법칙이 성립해야 한다"며 거드는 인간도 있었으니, 이 정도면 "이뭐병" 소리도 아깝다. 잘 모르거나 헷갈리는 거야 무슨 죄가 되랴만, 잘 모르면서 우기는 사람들은 정말...

사실 정석에 소개된 연산도 순서쌍으로 주어져 있는 데다, 실수에서 쉽게 생각할 수 있는 대부분의 연산이 항등원을 가지면 교환법칙이 성립하니 저런 착각도 할 수는 있겠다 싶긴 하다.

아마 실수에서 생각할 수 있는 가장 간단한 반례는 이런 걸 생각하면 될 것이다.

a*b = (b가 1이면 a, b가 1이 아니면 b)

이 연산은 당연히 교환법칙이 성립하지 않지만, 항등원 1을 가진다. 이 예가 하나의 수식으로 써지지 않아서 --- 억지로 쓸 수는 있지만 --- 어색하게 느껴진다면, 자연수에 대해 정의된 다음 연산을 생각할 수도 있겠다.

이 연산 또한 교환법칙이 성립하지 않지만 항등원 1을 가진다. 이 정도면 저 이뭐병들도 할 말 없겠지.

어떤 초딩은 Fraleigh의 A First Course in Abstract Algebra를 "혼자서도 읽을 만하던데요"라고 하는 반면, 어떤 초딩은 정말 안습이다...

짤방은 dc에서.

과학동아 12월호 기사

원문은 조금 더 길었는데, 편집하면서 글투가 약간 이상해졌다.

혹시나 하고 검색을 해 보니, 과학동아에서 긁어놓은 분이 있었다.

The Art Of Computer Programming 2권이 번역 중이랍니다.

http://occam.n4gate.com/taocp.php/ 에 류광 님께서 도움을 요청하는 글을 올려놓으셨습니다. 좋은 책이 나올 수 있도록 많은 분들이 참여하시기를 부탁 드립니다.

P-NP 문제를 풀었다고 매년 주장하다가 급기야 웃대에까지 올랐던 그 분.

이번엔 새로운 레퍼토리를 들고 오시다.



작년말에 웃대에 올라온 글은 여기.

오늘 모처에서 짧은 강연을 하나 하고 왔다.

제목은 "역사상 가장 긴 증명". 주제는 유한단순군의 분류와 관련된 수학자들 이야기였는데, 가장 중점을 둔 사람은 역시 돌아가신 이임학 선생님이었다. 이 이야기는 egloos의 이오공감에 오르기도 하였다.

일차방정식부터 시작하여 다항방정식의 근의 공식에 대한 이야기로 시작했는데, 16세기에 삼차방정식의 근의 공식을 두고 벌어졌던 타르탈리아(Tartaglia)와 카르다노(Cardano) 사이의 분쟁을 빼놓을 수는 없을 것이다.
보통 카르다노가 타르탈리아의 공식을 표절하여 자기 것인양 책을 썼다고들 하는데, 실상은 조금 다르다. 카르다노가 타르탈리아에게 공식을 배운 것도 사실이고, 그 공식을 비밀로 하겠다는 맹세를 한 것은 사실이다. 그러나 타르탈리아의 공식이 모든 삼차방정식에 적용되는 것도 아니었고, 또 타르탈리아에 앞서 거의 같은 결과를 얻은 사람이 이미 있었으니, 카르다노가 그 공식을 공개했다고 해서 무작정 비난만 할 수는 없는 일이다. 모든 형태의 삼차방정식을 푸는 완전한 공식을 발견하고 정리한 사람이 바로 카르다노였으니까. 게다가 카르다노는 자신의 책에 타르탈리아의 해법을 발견자의 이름과 함께 적어놓았다. 적어도 그는 공정한 태도를 잃지는 않았다.

그렇지만 타르탈리아가 카르다노를 평생 원망하여 살았던 것도 이해는 된다. 그래서 이번 발표에 다음과 같은 짤방을 사용하였다.

많은 학생들이 이런 종류의 문제를 풀 때, "산술평균 값은 산술평균-기하평균 부등식에서 등식이 성립할 때 최소값이 된다"는 전혀 잘못된 착각을 하는 것 같다. 그래서 다음과 같은 결과로부터 최소값이 16이라는 오류를 흔히 범하곤 한다.


그럼 이 부등식이 잘못된 것일까? 그럴 리가! 저 부등식 자체는 전혀 문제가 없다. 다만 저 부등식에서 등식이 성립하는 경우가 없는 게 문제일 뿐이다. 그러니까 왼쪽 값이 16이 되는 경우가 없으니까 최소값도 16이 아닌 것이다.

왜 이런 일이 생기는지는 좀더 간단한 예를 생각하면 이해하기 쉽다. 양의 실수 x에 대해 산술평균-기하평균의 부등식으로부터 가 성립한다. 이 부등식은 x=1일 때 등호가 성립하는데, 그림을 보면 알겠지만, 왼쪽 값의 최소값이 1일 리는 절대로 없다. 그저 x=1일 때 양변이 같은 값을 가진다는 것뿐.
여기서 알 수 있듯이 산술평균-기하평균의 부등식 자체는 최소값이나 최대값과는 아무 상관이 없다. 다만 이 부등식에서 최소값이나 최대값이 나오는 경우가 있을 뿐이다. 다음 두 그림은 모두 성립하는 부등식이지만, 의 값이 1이 되는 경우는 없다.

위의 문제를 산술평균-기하평균의 부등식을 제대로 써서 풀면 다음과 같다. 여기서 등식이 성립하는 경우가 존재하므로 왼쪽의 최소값은 16이 아니라 18이다. 의 최소값이 1이 아니라 2인 것처럼.

허허.... 진짜 안습이다.

한국어의 표준 표기를 규정한 맞춤법은 1933년 조선어학회에서 "맞춤법 통일안"을 만든 후, 1988년 문교부에서 고시한 수정안을 거쳐 지금에 이르고 있다.

1988년 수정안에서 큰 변화 몇 가지는, "-읍니다"를 "-습니다"로 통일한 것과 사이시옷에 대한 규정이라 하겠다. 참고로 "-읍-"을 "-습-"으로 바꾼 것 때문에 명사형 종결 어미 "-음"마저 "-슴"으로 바뀐 줄 아는 사람이 많은데, "-읍-"과 "-음"은 용법은 물론 발음 또한 전혀 다르므로 "있슴"이니 "없슴"이니 하는 표기는 모두 잘못된 것이다.

88년 수정안에서 가장 말도 많고 탈도 많은 것이 사이시옷이다. 현 수정안은 고유어끼리의 합성어나 한자어와 고유어의 합성어인 경우에만 사이시옷을 쓰고 한자어 사이에는 쓰지 않도록 되어 있다. 다음 딱 여섯 개의 예외만 빼고: 곳간(庫間), 셋방(貰房), 숫자(數字), 찻간(車間), 툇간(退間), 횟수(回數).

그래서 약수가 두 개뿐인 자연수를 뜻하는 素數(prime number)는 "솟수"에서 "소수"로 바뀌었고, 그 통에 0.1과 같은 수를 뜻하는 小數와 무진장 헷갈리는 문제가 생기기도 했다.

아무튼 이러한 규정에 따르면, 고유값, 극대값, 극소값, 근사값, 기대값, 꼭지점, 대표값, 절대값, 최대값, 최소값 등등을 고윳값, 극댓값, 극솟값, 근삿값, 기댓값, 꼭짓점, 대푯값, 절댓값, 최댓값, 최솟값으로 표기해야 한다.

아무리 봐도 어색하기 짝이 없는 표기가 아닐 수 없다. 게다가 한자어냐 아니냐에 따라 표기가 엇갈리는 경우까지 있으니 더 혼란스럽다.

극대값(X)/극댓값(O) <-- 한자어+고유어
극대점(O)/극댓점(X) <-- 한자어+한자어
꼭지점(X)/꼭짓점(O) <-- 고유어+한자어
소수점(O)/소숫점(X) <-- 한자어+한자어

사이시옷에 관한 합리적인 규정이라면 역시 모든 사이시옷은 쓰지 않는 걸로 하고 몇 가지 굳어버린 표기만 예외로 인정하는 것 아닐까? 북한에서 사이시옷을 쓰지 않는 것처럼.

어차피 표기라는 것은 발음을 완벽하게 반영할 수는 없는 법이므로, 표기 대신 발음에 대해 규정하는 것으로 충분할 것이다. "-값"은 [깝]으로 소리낸다고 하는 식으로. 실제로 한자어인 高價, 時價에서 보듯 표기는 "고가", "시가"면서 발음은 [고까], [시까]로 하는 경우도 많으니까 말이다.

그런데도 이번에 이런 복잡한 규정을 일괄적으로 수학 용어에 적용한다고 해서 말이 많다. 지금까지 수학교과서에는 사이시옷 없는 표기를 써 왔는데, 이걸 모두 바꾸라고 하니 수학하는 사람들이 어이없어 할 수밖에. 그래서 지난 주말에 있었던 대한수학회 창립 60주년 기념 학회 및 정기발표회 때 이 건에 대해 반대하는 서명을 받기도 하였다. 홍보가 많이 안 된 탓에 참여율이 그다지 높은 것 같지는 않았다.

원래 어문 정책이라는 게 지극히 보수적이기 마련이어서 --- 헌법 위에 맞춤법이란 우스갯소리가 괜히 있겠나 --- 아마 우리나라 수학자들이 몽땅 서명한다고 해도 국립국어연구원은 눈 하나 깜짝 안 할 것 같은데, 어떻게 될는지....

대한수학회(Korean Mathematical Society)에서 로고를 새로 만든다며 설문 조사를 하고 있다. 京文社 로고 아님.

다음은 최종 두 도안. 당신은 어느 쪽을?

A.

B.