나는 시험에 간단한 보너스 문제를 자주 내는 편이다.

2010년 정수론 시험의 3점짜리 보너스 문제는 "알고 있는 가장 큰 소수를 쓰시오"였다. 점수는 크기순으로 셋으로 나누어 배점. 아무렇게나 써서 채점하는 사람을 피곤하는 일을 방지하기 위해 소수가 아니면 자리수만큼 감점한다고 하였다.

3점밖에 안 되는 점수에, 크기순으로 나누어 배점하니까 어마어마하게 큰 소수를 쓸 필요는 전혀 없는 문제였다. 그런데도 문제를 착각해서 "자리수만큼 점수를 준다"고 생각했는지 다른 문제는 모두 거의 0점이면서 이 문제만 6자리 정도의 수를 아무렇게나 쓴 학생도 있었다. 

안타까운 오답이 많았는데, 그 중 하나는 페르마 수 \(2^{32} + 1\)을 쓴 답안이었다. 수업 시간에 \(2^{2^n}+1\) 꼴의 수는 \(n=0,1,2,3,4\)까지는 소수지만 \(n=5\)일 때는 소수가 아니라고 얘기했는데도 이런 답을 쓰다니. 당연히 감점이다. \(2^{32}+1 = 4294967297\)이니까 10점 감점.

아마도 가장 안타까운 오답은 이게 아닐까 싶다. "하하, 교수님의 의도를 알겠습니다. 2009"

한 해 뒤인 2011은 소수인데, 한 해 앞인 2009를 써서 4점을 감점당하다니... 

소수 공식 - 공식이 만능은 아냐 (navercast)

어제 게시된 네이버캐스트의 수학산책 주제는 소수를 만드는 공식.

보통 사람들에게는 아마도 "수학=공식"으로 인식되어서인지 "소수를 만드는 공식만 있으면 리만 가설도 해결할 수 있고, 어떤 암호도 다 풀 수 있다"는 식의 주장을 가끔 볼 수 있다.

당연히 말도 안 되는 생각이어서, 이번 글에서는 아예 n을 대입하면 n번째 소수가 나오는 공식에 대해 소개하였다. 그냥 소수를 만들어내는 공식이라고 해도 놀랄 판에, 정확히 n번째 소수를 만드는 공식이라고 하면  꽤 흥미로운 주제가 될 것 같았다. (zariski 님도 같은 내용을 소개한 적이 있다. 주소는 http://zariski.egloos.com/2541383 )

실은 처음에 네이버에 보냈던 원고는 더 길었는데, 수식이 너무 많다고 두 번째 공식에 대한 이야기는 잘렸다. 블로그에서는 그 두 번째 공식을 간단히 소개할까 한다.

네이버캐스트에 올린 (첫 번째) 공식은 소수 판정법을 억지로 하나의 공식으로 만든 형태인 반면, 아래에 소개할 공식은 소수 전체를 모아 하나의 수를 만든 다음, 적절하게 정보를 추출하는 방식이다.

먼저, 소수 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...을 이용하여 다음과 같은 수 a를 만든다.

a = 0.02030005000000070000000000000011000...

이 수는 n번째 소수 \(p_n\)에 \(10^{-2^n}\)을 곱해서 모두 더한 것이다. 일반적으로 n번째 소수는 \(2^n\)보다 작기 때문에, \(10^{-2^n}\)을 곱하면 a의 소수점 아래에 소수들이 겹치지 않게 나열할 수 있다.

이제 n번째 소수를 만들어내려면, \(10^{2^n}a\)를 계산한 다음 앞뒤 불필요한 부분을 날려버리면 된다. 그래서
\[ f(n) = \lfloor 10^{2^n}a \rfloor - 10^{2^{n-1}}\lfloor 10^{2^{n-1}}a \rfloor \]
로 정의하면, f(n)이 n번째 소수가 된다.

정말로 n번째 소수를 만들어내는 공식이기는 한데, 참 황당하기 짝이 없다. 이 방법으로 n번째 소수를 만들어내려면 일단 n번째 소수가 무엇인지를 알아야 하니까, 보통 생각하는 "공식"과는 전혀 다르다.

공식이라는 것은 어떤 알고리듬에 따른 최종 결과를 정리한 것에 불과하기 때문에, 결국 중요한 것은 공식이 아니라 알고리듬 쪽이라 할 수 있다. 그러니 소수를 만드는 (좋은) 공식이 없다는 말은 사실 소수를 만드는 (좋은) 알고리듬이 없다는 것과 마찬가지이다. 그럼에도 수학을 잘 모르는 사람들은 알고리듬이 아니라 공식만을 찾아 헤매곤 한다. 공식만 발견하면 모든 난제가 해결될 것처럼 생각하면서.

PS. (8/3 19:30) 그러니까 소수를 만드는 공식만 찾으면 필즈 메달을 받을 수 있다는 이상한 소리를 아직도 믿고 있는 사람들은 인류 역사에 길이 남을 위대한 초초초초초천재 double d 님처럼 이런 종류의 공식이 무의미하다는 걸 깨달아야 한다는 게 결론.
 

네이버 오늘의 과학의 어제 (뭔가 부조화가...) 주제는 소수(素數)였다. 저자는 한서대 이광연 선생님.

그런데 댓글을 보니 좀 너무하다 싶은 글이 난무한다. 바로 "소수"가 "솟수"로 쓰는 것으로 바뀌었다는 주장이다.

도대체 누가 이런 근거도 없는 황당한 소리를 시작했는지 모르겠는데, 너무나 자신만만하고 당연하다는 듯이 말하고 있어서 어이가 없을 지경이다.

현행 맞춤법은 1988년에 당시 문교부에서 공포한 것으로, 1933년에 조선어학회에서 제정한 "한글 맞춤법 통일안"을 개정한 것이다. 이때에 바뀐 큰 변화 가운데 하나가 "-읍니다"를 "-습니다"로 바꾼 것이다. 늘 그렇듯이 주변 의견 무시하고 "-읍니다"를 고집하는 사람도 있긴 하지만, 이건 잘 바꾼 규정 가운데 하나이다. 아무 생각 없이 "있읍니다"가 "있습니다"로 바뀌었으니, (아무 관련도 없는) "있음"마저 "있슴"으로 바뀐 걸로 착각하는 사람이 많아진 황당한 부작용이 문제였긴 하지만.

88년 맞춤법에서 바뀐 또 하나의 큰 변화는 사이시옷을 들 수 있다. 원래 사이시옷은 "소리" 때문에 정해진 것이다. 병원의 내과, 외과, 소아과 등등이 [내:꽈], [외:과], [소아꽈]로 소리나니까 된소리가 나게 하기 위해 "냇과", "욋과", "소앗과"로 쓰던 것이 개정 전의 맞춤법이었다. [소쑤]로 소리나던 素數를 "솟수"로 표기하였던 것도 이런 이유였다.

그러나 매번 사이시옷을 쓰는 것은 꽤 번거로울 뿐 아니라, 한자를 병기하면 사이시옷을 쓸 수 없고, 같은 글자를 쓰는 다른 단어에서 된소리가 나지 않는 경우도 있어서, 개정 맞춤법에서는 원칙적으로 한자어에는 사이시옷을 쓰지 않는 쪽으로 바뀌었다. 예를 들어, 옛날 책을 보면, 한자를 병기하는 경우, 냇과(內ㅅ科), 욋과(外ㅅ科)처럼 시옷을 중간에 넣는 형태로 사용하였다. 또, "냇과"와 "내국인"은 같은 한자 內를 쓰지만 한글 표기만 놓고 보면 다르다. 뒷글자를 된소리로 만드는 경우도 다르고. 따라서 표기의 편의성을 생각하면 같은 한자는 같은 글자로 나타내는 편이 좋다.

이런 문제는 한자어가 아닌 경우에도 다르지 않아서, 언제 사이시옷을 쓰고 안 쓰는지를 따져서 표기하는 것은 무척 번거로운 일이다. 한글이 한국어를 표기하는 데는 최적화되어 있는 문자 체계지만, 그렇다고 해서 철자가 모든 발음을 완벽하게 반영할 수는 없다. 이것은 세계 어느 글자든 마찬가지이다. 예를 들어, "...를 할 바에야"에서 "바"는 [빠]로 소리나지만, "할부판매"의 "부"는 [뿌]로 소리나지 않는다. 그렇다고 무작정 소리나는 대로 쓴다면, 오히려 읽기가 어려워지므로 형태를 많이 바꾸지 않으면서 소리를 반영하려면 "할 바에야"에서 "할"의 받침으로 ㄽ을 쓰든가, 훈민정음처럼 ㅭ을 써야 한다. 그렇지만 이것보다는 그냥 리을 받침을 쓰고 표준 발음을 따로 정하는 게 훨씬 효율적이다.

이처럼 철자는 어느 정도 타협을 할 수밖에 없다. 사이시옷 또한 글자의 모양은 많이 바꾸지 않으면서 발음의 변화를 나타내기 위해 도입된 타협의 산물이었다.

그렇다면 현행 맞춤법에서 제시하는 사이시옷에 대한 타협안은 무엇일까? 기본적으로 사이시옷은 합성어를 만드는 단어 사이에만 쓰이는데, 뒷 단어를 된소리가 되게 만들 때 받침이 없는 앞 단어 끝에 붙인다. 여기에 "콧물"처럼 [ㄴ] 소리가 덧날 때에도 쓴다.

그런데 매번 사이시옷을 쓰는 것은 번거롭지만 아예 없애기도 곤란해서, "냇과", "욋과", "소앗과" 같은 것부터 해결하기 위해 나온 방안이 바로 한자어+한자어에는 사이시옷을 쓰지 않는다는 규정이다. 이에 따라 "냇과, 욋과, 소앗과" 대신 "내과, 외과, 소아과"가 표준어가 되었다. 그러면서도 바꾸기가 어색했는지 다음 여섯 단어는 사이시옷을 쓰도록 한다.

다음 사진은 무엇을 찍은 것일까?