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2009. 2. 8. 22:50

선생님들, 이런 문제는 내지 마세요 3 Math2009. 2. 8. 22:50

삼각형의 합동 조건은 중학교에서 배우는 가장 기초적인 기하 개념 가운데 하나이다. 그리 어려운 개념은 아닌데도, 그림을 그려 보는 대신 무작정 SSS니 SAS니 하는 합동 조건을 외우는 학생들이 무척 많다. 그러다 보니, 이런 문제도 있다. (여전히 보기는 대강 만들었음.)

다음 조건에 따라 삼각형 ABC를 그렸을 때, 삼각형이 유일하게 결정되지 않는 것은?

① AB=3, BC=4, CA=5

② AB=4, BC=5, ∠B=30˚

③ AB=5, ∠A=40˚, ∠B=50˚

④ AB=6, BC=7, ∠A=40˚

⑤ AB=7, ∠A=45˚, ∠C=60˚

이 문제의 답은 "답 없음"이다. 출제자의 의도는, 각각의 보기가 ① SSS ② SAS ③ ASA이고, ⑤는 ∠B=75˚로 결정되니까 ASA와 마찬가지여서 답은 ④라는 것이다.
 
좀 황당해서 ④도 실제로 그려 보면 삼각형이 유일하지 않냐고 출제자에게 물었더니, 그림을 그려 보고서는 이상하다고 되묻는다. SSA 조건이라 할 수 있는 ④는 분명히 SSS, SAS, ASA의 어느 것에도 포함되지 않는데 어떻게 삼각형이 유일하게 결정되냐는 것이다.


내가 중학생 때, 수학 선생님은 SSS, SAS, ASA 같은 걸 불필요하다며 절대 외우지 못하게 하셨다. 이해하기 어려운 것도 아니고, 외우기도 쉬운데 왜 그러나 싶었는데, 이때에서야 이유를 알 것 같았다. 

SSS, SAS, ASA는 삼각형이 합동이 되기 위한 충분조건이지만, 역으로 삼각형이 합동이 되기 위한 조건이 SSS, SAS, ASA 가운데 하나여야만 하는 것은 아니다. 이해하지 않고 무작정 외우다 보면 꼭 이렇게 동치가 아닌 것을 동치인 것처럼 착각하는 실수를 하게 된다. 차라리 외우지 않고 그림을 직접 그려 보면 아무것도 아닌 문제를.

또 하나의 이유를 생각해 보자면, AB=5, BC=3, ∠A=30˚처럼 일반적으로 SSA 조건이 합동 조건이 될 수 없는 예를 강조하다 보니, SSA는 무조건 합동이 될 수 없다고 생각하는 것도 있을 것이다.


위 문제의 보기에서 ⑤를 AAA 조건 같은 것으로 바꾼다면, 합동 조건을 무작정 외워서는 안 된다는  의도에서 출제한 나쁘지 않은 문제가 되겠지만, 원래의 문제는 분명히 잘못된 문제이다.

그러니 수학 선생님들, 이런 문제는 내지 마세요.

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Posted by puzzlist

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  1. Favicon of https://wiessen.tistory.com BlogIcon 애기_똥풀 2009.02.08 23:52 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    엇; 처음 깨달았습니다 'ㅅ';

  2. 담마 2009.02.09 00:51  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    헛 저도 처음 깨달았습니다;;

  3. Carrot 2009.02.09 12:43  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    요즘 중고등학교 수학이 논리를 참 보잘 것 없게 취급하는 것 같아요. '역은 필요할 때만 조심하면 된다'라고 이야기하는 선생님도 있으니 원 (...)

  4. Favicon of https://www.valken.net BlogIcon 이쁜왕자 2009.02.09 16:14 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    4번에 해당하는 경우는 조건이 다양해서,, 아예 빼버리는게 중학교 교육과정에서의 결정이죠..
    일반적으로 각 A 가 주어지고 AB의 길이가 BC 보다 작으면,, 유일하게 결정되긴 합니다..
    그럼 또 반대로,, BC 가 AB 보다 작으면 유일하게 결정 안되냐?? 냐고 묻는다면 그 역시 아니죠..

    예를 들면 각A = 30도, AB=2, BC=1 의 경우에는 삼각형이 유일하게 결정됩니다.

  5. klutzy 2009.02.09 20:31  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    RHS도 3대 조건에 안 들어가는 경우죠.

  6. in6640 2009.02.10 00:35  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    내용을 보아하니.. 중학교 1학년(7-나) 과정인 것 같은데.. 너무 추상적으로 알고 있었던 것 같은 느낌이 ㅎㅎ

  7. 피갈회옥 2009.02.25 16:57  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    삼각형의 성립조건, 결정조건, 합동조건의 개념의 차이와 결정조건도 문맥상황에 따라 변한다는 사실을 알고 계셔야할 듯 싶습니다. 이런 문제 내지 마세요라는 자극적인 글을 올리시기 전에 깊이 있는 성찰이 필요할 듯 싶습니다. 이 주제 그렇게 간단하 주제가 아닙니다.관심있으시면 관련 논문들을 참조해 보세요.

  8. 2009.02.28 17:27  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    11 ㅎㅎ

  9. 붕어 2009.03.04 12:37  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    수학에서 객관식 문제를 내는 것 자체를 반대합니다만... 중학교때 이런식의 문제를 주관식 문제로 받았으면 재미있었을것 같은데요. (왜 유일한 삼각형이 결정되는지 설명하라... 라던지...)

  10. G.w. 2009.04.25 17:55  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    중학교 때였던 것 같은데 시험으로 저는 저 형태의 문제를 논술형으로 받아본 적이 있습니다. 한참 고민하다가 삼각형이 결정된다는 것을 파악하게 되었지만 근거를 쓸 수 없었습니다.

  11. ㅠㅠ 2009.06.08 13:54  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    아 님이 그분이셨구나 ㅠㅠ
    님 완전 존경함 ㅋㅋ 님 책들 다 읽었어요 막 도서관 가면 님 책부터 보이구요 제목만 다 둘러 봐도요
    님 책이 가장 내용도 좋고 재미있구요 진짜.
    막 한 권은 엄청 좋아했는데 어디론가 사라졌어요 학교에 두고 왔나 ㅠㅠ
    그리고 말하고 싶은 게,
    라마누잔의 업적 중에 대단한 것은 pi(n)을 제타영점 없이 단순 적분만으로 구한 거에요.
    왜 아무도 그걸 이해를 못하는지 모르겠어요 ㅋㅋ
    현대 수학자들은 진짜 별 볼 일 없어요 그들 논문만 봐도 그렇고 이런 단순한 것도 그냥 지나치고.
    pi'(n)을 적분하면 pi(n)+C잖아요. 그럼 리만제타영점 필요 없이 나오는데. u(n)은 기계적 계산으로 항을 이항하는 식으로 해서 나오구, 리만식에서도 어차피 u(n)이 쓰이는데 말이죠.
    님께서 이걸 세상에 알려주세요.ㅋ
    라마누잔은 신이에요 완전. ㅋ
    저는 라마누잔을 찬양해요 완전.
    이거 알면 연구 양상이 완전 새로 나타날 대단한 업적인데도 말이죠.
    블로그를 닫으신다니 안타까워요
    다시 여시길 기대할게요^^

  12. ㅠㅠ 2009.06.08 13:54  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저 중학교때 이거 두 개로 나오는 거 알고 있었어요~ㅋ
    근데 저 아니라도 다른 사람들도 왠지 좀 알고 있었을 것 같기도 해요 ㅎ
    그리고 이게 중학교 과정이 아니기 때문에 출제자가 모르고 낸 것도 알 수 있고 문제가 잘못된 것도 알 수 있네여
    좋은 글 보고 가네여 솔직히 수학 문제집에 틀린 문제 몇 개씩 있어요. 정석이랑 ebs에도 있었던...풀이에 오개념으로 써 놓은 경우도 많구요. 이 경우 답만 맞구
    이런 거 다 까논 책이 어디 있던데 엄청 두껍게
    그 책 쓴 저자 완전 존경했음 ㅋㅋ 저보다 수학 잘하던 분은 아닌 거 같았지만 ㅎㅎ
    님 말씀이 맞아요.

  13. Favicon of http://blog,naver.com BlogIcon 페르마 2010.06.10 19:42  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    SSA일때는
    만약 AB, BC, A가 주어졌을때
    삼각형 하나로 결정되는 것은
    BC>=AB 또는 BC<=ABsinA
    가 되네요

  14. 이재현 2012.06.04 21:29  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저도 지금 아들 초등학생 수학 공부가르쳐주다가 ASS도 하나의 삼각형으로 결정될 수도 있는 것을 알았네요.