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'Math'에 해당되는 글 259

  1. 2007.02.13 Perelman은 왜 수상을 거부했을까? 7
  2. 2007.01.30 이재율 오프라인 모임
  3. 2007.01.23 기계식 계산기 커타 7
  4. 2007.01.19 Math Dilbert: Password 2
  5. 2007.01.18 Vacuous Truth 5
  6. 2007.01.17 민호기 Lecture 1
  7. 2007.01.14 Gauss 기호 4
  8. 2007.01.13 Pappus? Apollonius? 5
  9. 2007.01.07 계산기로 구하는 제곱근 1
  10. 2007.01.05 Pythagorean Theorem 9
2007. 2. 13. 14:16

Perelman은 왜 수상을 거부했을까? Math2007. 2. 13. 14:16

2006년 Fields medal은 수상을 거부한 Perelman 때문에 더욱 화제가 되었다. 수학계의 권력 다툼, 지나친 경쟁 등등의 이유로 수상을 거부했을 걸로 짐작이 되지만, 어제 한 가지 이유를 더 들었다.

이번에 복소해석학 전공하는 팀에서 프랑스 수학자 Guy Roos를 초청하였다. 이 분은 부인이 러시아 사람이어서 은퇴 후 상트뻬쩨르부르그(St. Petersburg)에 살고 있고, 몇 개 국어를 할 수 있는 인물이어서 세계 여기저기에 강연하러 돌아다닌다고 한다.

당연히 같은 도시에 살던 Perelman도 만나보았고, 집까지 가 봤다고 한다. 이 사람의 말인즉, Perelman이 수상을 거부한 작은 이유 가운데 하나는 아마도 러시아의 치안이 부실해서, 큰 상금을 받아봤자 오히려 위험만 커질 뿐이기 때문이란다.

그러면 그 상금으로 치안 상태 좋은 나라로 이사가는 것도 괜찮지 않겠나 싶은데, Roos 교수 말로는 Perelman은 St.Petersburg를 떠나고 싶어하지 않는다고.

로또 1등 당첨되면 이민 가는 게 수순이라는데, Fields medal이나 Millennium prize도 마찬가지인가 보다.

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2007. 1. 30. 14:24

이재율 오프라인 모임 Math2007. 1. 30. 14:24

자. [이재율 정모]를 추진해봅시다. - 그네고치기 님 블로그

푸훗, 그네고치기 님이 초특급 프로젝트를 진행 중입니다. 이재율을 오프라인으로 만나는 모임이랍니다.

어차피 말이 안 통하는 사람이니 이런 모임 한다고 해서, 오류를 깨닫고 개과천선할 가능성은 0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001%도 없을 거라고 생각합니다만, 아무튼 웃기는 모임이 될 것 같습니다.

한 가지 주의할 점은, 이재율은 자기 논문(?)에 조금이라도 호의를 보이는 사람은 공저자로 집어 넣는 듯하다는 점입니다. 물론 허락 따위는 구하지 않는 것 같습니다. 이재율로서야 위대한 논문에 이름을 넣어주니 오히려 자신에게 감사해야 한다고 생각하겠지요.

보통 사람이 수학적 오류를 범하면 잘 가르쳐 주는 게 도리겠지만, 이재율이 어디 보통 사람입니까. 너무 진지하게 대하면 짜증만 쌓이니까, 오프 모임에 가실 분들은 적당히 대꾸해 가며 잘 "관찰"만 하시기 바랍니다.
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2007. 1. 23. 12:15

기계식 계산기 커타 Math2007. 1. 23. 12:15

서명덕 기자의 블로그에서 리히텐슈타인 공국(Principality of Liechtenstein)에 대한 글을 보다가 기억이 나서 예전에 썼던 글을 약간 다듬어 올려둔다.

참고로, 리히텐슈타인 공국은 1719년 1월 23일에 성립되었다. 글을 쓰고 보니 우연히도 바로 오늘이었다.


기계식 계산기의 효시는 파스칼(Blaise Pascal, 1623-1662)이 1642년에 만든 계산기였다. 그는 여러 개의 톱니바퀴를 조합하여 덧셈과 뺄셈을 할 수 있는 장치를 만들었는데, 이때 그의 나이 겨우 19세였다니 과연 천재라는 소리를 들을 만하다.

파스칼의 계산기는 덧뺄셈만이 가능하였지만, 여기에서 힌트를 얻은 라이프니츠(Gottfried Leibniz, 1646-1716)는 덧셈, 뺄셈은 물론 곱셈과 나눗셈이 가능한 기계를 만들기도 하였다. 이후 여러 사람들에 의해 기계식 계산기는 개량을 거듭하여 더 많은 자리수를 더 빨리 구할 수 있게 되었다.

이런 기계식 계산기의 역사에서 마지막을 장식하면서, 또한 가장 절정의 기술력을 보여준 것은 "커타(curta, 독일어로는 쿠어타)"라는 이름의 계산기였다. 오스트리아의 장인 쿠르트 헤르츠슈타크(Curt Herzstark, 1902-1988)의 이 걸작품은 그의 명성을 드높였을 뿐만 아니라 그의 목숨을 구해주기까지 하였다.

그가 기술자로 활동하던 때는 이차대전 무렵이었다. 그는 유대인은 아니었지만, 많은 유대인을 탈출시켰다는 죄로 체포되어 강제수용소로 보내졌다. 대개 그런 곳에서의 운명은 뻔한 법이어서 언제 죽을지 모르는 불안감 속에 하루하루를 보내기 마련이지만, 그는 뛰어난 기술력 덕분에 목숨을 건질 수 있었다.

당시 기계식 계산기들은 대부분은 덩치가 컸으며, 휴대용의 작은 계산기들은 덧셈과 뺄셈만이 가능한 것이 고작이었다. 그러나 헤르츠슈타크는 독창적인 방식으로 덧셈, 뺄셈뿐 아니라 곱셈과 나눗셈까지 가능한 소형 계산기를 구상하여 전쟁 발발 직전에 그 특허를 얻어 두었다. 독일의 나치가 주목한 것이 바로 그의 특허였다. 나치는 헤르츠슈타크를 죽여 없애는 대신, 그들을 위해 뛰어난 휴대용 계산기를 만들어 낼 것을 명령하면서 그를 비교적 안전한 수용소로 옮겼다. 헤르츠슈타크는 그곳에서 장차 "커타"라 불리게 될 기계를 설계하면서 시간을 보냈고, 마침내 전쟁이 끝나면서 고국으로 돌아갈 수 있었다. 커타의 설계도를 머릿속에 담은 채.

Curt Herzstark Curta

헤르츠슈타크와 그의 걸작품 커타

전쟁이 끝나고도 몇 년이 더 지나서야 헤르츠슈타크의 작품은 겨우 빛을 볼 수 있었고, 지름 5cm, 높이 8.5cm 정도의 자그마한 이 계산기는 헤르츠슈타크의 이름을 따 커타(curta)로 명명되었다. 이 걸작을 처음 생산한 곳은 리히텐슈타인의 수도 파두츠(Vaduz)에 있는 Contina AG Mauren이라는 회사였다.

처음에는 한 달에 겨우 300개를 만드는 정도였지만, 앙증맞은 크기에 8자리 수의 곱셈과 나눗셈까지 가능하게 하는 이 놀라운 기계는 점점 인기를 끌어 나중에는 한 달에 1000개가 넘게 생산되었다. 커타는 8자리 수의 계산이 가능한 커타 I 형이 8만 개, 11자리 수의 계산이 가능한 커타 II 형이 6만 개가 팔렸다. 비록 전자 계산기 시대의 도래와 함께 1970년 11월에 생산이 중단되었지만, 기계식 계산기로는 전무후무한 기록이었다.

불행히도, 주판 외에는 별다른 계산 도구가 존재하지 않았던 대한민국에서 태어난 탓에, 필자는 커타를 실물로 전혀 보지 못했다. 혹시나 하는 생각에 인터넷으로 외국에서 살 수 있지 않을까 싶어 이베이(ebay)에 가 보았다.

과연 이베이에는 몇 점의 커타가 매물로 나와 있었다. 그러나 필자는 가격을 보고 커타를 포기할 수밖에 없었다. 제일 싼 커타의 가격이 800달러를 넘었으니까. 로또 1등에 당첨된다면 그때나 다시 생각해 봐야할 듯.

Curta의 원리, 사용법 등등을 더 알고 싶은 분은 여기.
Curta Simulation은 여기.

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2007. 1. 19. 00:08

Math Dilbert: Password Math2007. 1. 19. 00:08

오랜만에 하나 만들어 볼까 했더니, 손댈 필요 없는 만화가 올라와 있었다.

사용자 삽입 이미지

저작권 문제가 생기면 지우고 모른 척하겠음.
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2007. 1. 18. 15:45

Vacuous Truth Math2007. 1. 18. 15:45

며칠 전, 세상을 놀라게 한 뉴스가 있었다. 전직 교수가 자신의 재판을 담당하던 판사에게 석궁을 쏘았다는 것이다.

이 사건은 벌써 10년도 넘은 1995년에 있었던 일이 발단이다. 자세한 경과 과정은 이미 언론에 많이 보도되었으므로 링크만 걸어둔다: 수학자는 왜 판사에게 석궁을 쏘았나

문제의 문제는 다음과 같다. 문제지 전체를 스캔해 둔 그림도 있으나 약간 흐려서 그 부분만 따로 만들었다.

사용자 삽입 이미지

이 문제가 논란이 된 것은, 주어진 조건을 만족하려면 두 벡터 a와 b 가운데 적어도 하나는 영벡터가 되어야 하기 때문이다. 처음에 세 벡터는 영벡터가 아니라고 하고서, 영벡터가 아니면 성립하지 않는 조건을 주었으니 당연히 이상한 문제일 수밖에. 애초에, "영벡터가 아닌"이란 구절을 빼고, 을 증명하라고 하였으면 괜찮았을 것을, 마지막 순간에 뭔가 착오가 있었던 것 같다.

물론 수학적으로는, 원래 문제에 대해 "조건을 만족하는 세 벡터가 존재하지 않으므로 명제 자체는 참"이라고 할 수는 있다. 이것은 "p이면 q이다"라는 명제에서, p가 거짓이면 q의 참 거짓에 상관없이 전체 명제는 참이기 때문이다. 이런 종류의 명제는 보통 vacuously true라고 부른다. "공허한 참", 말은 맞지만, 무의미하다는 뜻이다.

수학적으로야 아무리 옳다 쳐도, 대입 시험으로는 크게 부적절한 문제가 아닐 수 없다. 일단 이런 문제를 출제했다는 것은 성균관 대학의 잘못이다. 김명호 교수의 지적도 분명히 옳고.

세상은 어떻게 명백한 오류를 지적한 당사자가 불이익을 당하느냐고 시끄럽다. 김명호 교수가 재임용에 탈락한 이유에 대해서는 나도 알 수가 없다. 그가 정말로 교수로서의 자질이 부족하였는지, 아니면 성균관 대학이 치부를 감추기 위해 뛰어난 인재를 박해하였는지는 그곳에 있지 않았으니 알 수 없는 일이다.

그렇지만 이 수학 문제를 수학적으로 다루는 데는 문제가 있었던 것 같다. 재임용에 탈락한 김명호 교수가 재기한 소송에서 법원은 대한수학회와 고등과학원에 이 문제에 대한 의견을 요청하였다. 대한수학회는 그렇다쳐도 고등과학원에 의뢰한 건 좀 이상해 보인다. 고등과학원은 기초과학에 대한 연구를 하는 곳이지, 수학 문제의 적절성을 평가하는 곳은 아니니까 말이다. 이름 때문에 무슨 고등법원 쯤 되는 곳으로 생각한 것이라면, 애매모호한 법조문을 대법원이라는 권위에 의존하는 법조계다운 생각이긴 하다. 대한수학회와 수학교육 관련 학회에 의견을 구하는 게 적절했을 것을.

아무튼 대한수학회와 고등과학원은 "한 대학의 재임용과 관련된 문제는 검토할 강제성이 없다"라는 답변을 제출했다고 한다. 이 사건이 세간의 주목을 끌고, 많은 사람들이 어이없어 하는 부분이 바로 이 부분이 아닐까 싶다. 대한수학회는 왜 "답할 수 없다"고 하였을까? 당시 대한수학회장과 여러 이사들이 왜 그런 결정을 내렸는지는 알 수가 없다. 그 분들이 문제에 잘못이 있다는 사실을 몰랐을 리는 없을 터. 대한수학회가 한 대학의 "운영"에 관여하는 것은 분명히 적절하지 못하다. 그렇지만 적어도 "수학"에 대해서는 분명한 태도를 보였어야 하지 않을까? 법원에서 대한수학회에 의뢰하였던 내용이 정확히 무엇인지는 모르겠으나, 설마하니 "김명호 교수를 복직시키는 게 옳을까요?"하고 물었을 리는 없을 것이고, 김명호 교수의 지적이 타당한지에 대해서 물었을 것이다. 그렇다면 "수학적인 면"과 "정치적인 면" 사이에 분명한 선을 긋고 답하는 게 옳지 않았을까?

이 사건은 겉으로는 수학이 문제가 되고 있지만, 실제로는 수학적인 사건과 정치적인 사건이 뒤얽혀 있어 대한수학회로서는 이러지도저러지도 못하는 상황이 되었다. 처음부터 분명한 입장 표명을 하였더라면 좋았을 것을, 어설프게 중립을 지키려다 상황이 더 복잡해져 버렸다. 정치적인 면만 생각하면 이 사건에 아예 관여하지 않는 쪽이 아마도 정답일 것이다. 그렇지만 그런 태도가 오히려 사태를 악화시킨 것을 생각하면 이 정답은 참으로 vacuous truth, 아무 쓸모 없는 정답이라 하겠다.

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2007. 1. 17. 00:25

민호기 Lecture Math2007. 1. 17. 00:25

서울대학교 수리과학부에서 제1회 민호기 Lecture를 개최하오니 많은 참여바랍니다

The 1st MINNHOKEE Lecture

제 1회 민호기강좌
민호기 교수님께서는 1975 년 부터 1989년까지 서울대학교 자연과학대학 수학과에 재직 하셨으며 2002년에 작고하셨습니다. 본 민호기 강좌는 민호기교수님께서 서울대학교 수리과학부에 기부한 기금으로 마련된 것으로서 고인의 이름을 따서 만든 특별강좌입니다.

연사: Prof. Kazuo Aoki
소속: Dept. of Mechanical Engineering
       and Science, Kyoto Univ.

제 1강 : Dynamics of rarefied and microscale gas flows
일  시 : 1월 30일 (화) 16:00 - 17:00
장  소 : 상산관 1층 강당(129동)

제 2강 : Fluid-dynamic models for gas flows in microscales
일  시 : 1월 31일 (수) 15:00 - 15:50
장  소 : 상산관 310호(129동)

제 3강 : Ghost effect and bifurcation arising in a vapor-gas mixture”
일  시 : 1월 31일 (수) 16:00 - 16:50
장  소 : 상산관 310호(129동)
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Gauss 기호 Math2007. 1. 14. 22:22

지난 번에 썼던 Pappus/Apollonius 중선 정리도 그렇지만, 우리나라의 수학이 일본을 통해 들어와서인지, 다른 나라에 비해 우리나라와 일본에서 유독 자주 볼 수 있는 수학 용어들이 몇 가지 있다. 그 가운데 하나가 "가우스 기호"가 아닐까 싶다.

보통 [x] 꼴로 쓰는 이 기호는 주어진 실수 x보다 작거나 같은 가장 큰 정수를 뜻한다. 로그의 지표가 대표적인 예라 할 수 있겠는데, 교과서에는 이밖에도 이 기호를 이용한 다양한 문제들을 다루고 있다. 그래서인지 Gauss라고 하면 이 기호를 떠올리는 사람도 많고.

수학의 역사에서 첫 손꼽히는 천재 중의 천재인 Gauss의 업적은 그야말로 무궁무진하고, 완전히 새로운 분야를 창안한 것도 한둘이 아니다. [x]와 같은 기호는 그저 편의를 위한 것일 뿐이고, Gauss 이전에 아무도 생각지 못한 기발한 것도 아닌데, 고작 이런 걸 가지고 그의 대표적인 업적이라고 한다면 아마 저승에 있는 Gauss가 기가 막혀 두 번 죽을 것 같다.

우리나라, 그리고 일본에서는 이 기호를 보통 "Gauss 기호"라고 하는데, 서양에서는 이보다는 greatest integer function(최대 정수 함수)로 부른다. 그리고 이것과 반대로 주어진 수보다 크거나 같은 가장 작은 정수를 다루어야 할 때도 많아서, 이 두 경우를 나타낼 때 보통 를 사용한다. 예를 들면 이렇다.

사용자 삽입 이미지

이 두 기호는 모양이 서로 반대여서, floor(바닥)와 ceiling(천장)이라는 재미있는 이름이 붙어 있다. 실제로 floor function, ceiling function이라고 하는 경우도 많다.

Gauss 기호를 이용한 문제들은 "적절하게 범위를 나누어 차근차근 따져 가며 푸는 것"이 대부분인 데다 불연속 함수의 대표적인 예가 될 수 있어서, 고등학생을 위한 수학 문제로는 딱이라 할 수 있겠지만, 여기에다 "가우스 기호" 같은 거창한 이름을 붙이는 건 좀 민망한 느낌이다. 이름 탓인지 뭔가 대단히 심오한 이론인 줄 아는 학생들도 많고. 이제는 부담감 좀 덜 느낄 수 있는 이름으로 바꾸는 게 낫지 않을까?

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2007. 1. 13. 14:25

Pappus? Apollonius? Math2007. 1. 13. 14:25

KAIST과학영재교육연구원에 올라온 글을 보니, Pappus의 중선 정리가 실제로는 Apollonius의 정리인 것 같다.

wikipedia나 mathworld를 보아도, 이 정리에는 Pappus가 아니라 Apollonius의 이름이 붙어있다. 유일한 예외라면 일본판 wikipedia의 パップス(Pappus) 항목뿐.

일본에서 Pappus의 중선 정리로 알려진 것이 우리나라에 그대로 전해졌을 것이라는 추측이 맞지 않을까 싶다.


그림 출처: Wikipedia의 Apollonius' Theorem
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2007. 1. 7. 13:33

계산기로 구하는 제곱근 Math2007. 1. 7. 13:33

대학 4학년 통계 시간의 일이었다.
사용자 삽입 이미지

선우** 선생님께서 강의 도중 들었던 예의 표준편차 때문에 제곱근을 구할 필요가 있었다. 요즘이야 계산기가 거의 컴퓨터급이니 아무 문제가 없지만, 그때만 해도 그런 계산기는 너무 비싼 데다 별로 필요도 없어 대부분 평범한 가정용(?) 계산기만 가지고 있었다.

아무도 그 수의 제곱근을 대답하지 않아서, 내가 소수점 아래 한 자리까지 구한 근사값을 말했다. 그 방법은.... 제곱근을 대충 짐작한 다음, 두 번 곱해서 원래 수와 비슷한지 비교하는 것이었다.

선생님이 소수점 아래 두번째 자리를 물어보셨는데, 할 말이 있나. 사실대로 자백(?)을 했더니, 공학용 계산기라도 가지고 있는 줄 알았던 친구들은 모두 폭소. -_-

내가 중학생 때는 학교에서 제곱근을 손으로 구하는 방법을 가르쳤다. 보통 "개평법(開平法)"으로 불리는 것으로, "평"은 "평방(平方)"의 줄임꼴이고 이것은 "제곱미터"의 옛말인 "평방미터"의 바로 그 "평방"이다.

계산기가 없던 시절에야 모든 걸 손으로 해야하니 어쩔 수 없었겠지만, 지금같은 시대에는 별로 쓸모가 없어서 이제는 가르치지 않는다. 그러고 보니 더 옛날에는 세제곱근 풀이법인 "개립법(開立法)"도 가르쳤다니 그 당시 학생들은 얼마나 괴로웠을까.

아무튼 내가 계산기로 구했던 방법은 사실 수치해석의 "이분법"에 해당하는 것이었다. 제곱근 값이 존재하는 대략의 범위를 구한 다음 양 끝값을 제곱해서 원 값과 비교하고, 그 결과를 바탕으로 범위를 좁혀가는 것이다.

고작 이분법을 사용했으니 소수점 아래 두 번째 자리도 구하기 힘들었지만, 그때 조금 더 시간이 있었다면, 좀더 좋은 방법을 썼을 것 같다. 그 방법은 바로 Newton-Rhapson법.

a의 제곱근을 구하는 것은 y = x2 - a가 x축과 만나는 점을 구하는 것과 같다. 이 곡선 위의 아무 한 점을 잡는다. (x1, x12 - a)라 하자. 이 점에서 접선을 그려 x축과 만나는 점의 x좌표를 x2라 하자. 다시 접선을 그어 x3를 찾고, 다시 x4를 찾고....

이런 과정을 무한히 반복하면 원래 방정식의 근을 구할 수 있다. 이 방법에 따라 제곱근을 구하는 점화식을 쓰면 다음과 같다.

xn+1 = (xn + a/xn)/2
양쪽에 lim를 붙여보면 이 수열의 극한값이 a의 제곱근이 됨을 확인할 수 있다. 별 것 아닌 것 같지만, 이 방법은 꽤 효율적이어서 좋은 근사값을 금방 구할 수 있다.

다음은 2007의 제곱근을 구해 본 것. 452 = 2025니까, 대충 45에서 시작했다.
45.0000000000
44.8000000000
44.7995535714
44.7995535692
44.7995535692
44.7995535692
보시다시피 서너 번만 계산해도 아주 좋은 근사값이 나온다. 이것이라면 가정용 계산기로도 쉽게 제곱근을 구할 수 있다. 물론 MR,M+ 같은 메모리 기능을 모르면 좀 불편하겠지만.
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Pythagorean Theorem Math2007. 1. 5. 16:41

진도가 안 나가니 딴짓만 는다.

예전에 Math. Magazine에 발표했던 Proof Without Words를 누가 플래시로 만들어 놨기에 슬쩍해 왔다.

이것 말고도 여러 증명 방법을 플래시로 만들어 두었다. 주소는 여기.

[Flash] http://pomp.tistory.com/attachment/cfile23.uf@22489E41586AE4AE0BCB34.swf

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Posted by puzzlist