analemma에 대해 들어보았는가?

오른쪽 그림은, 1년 동안 매일 일정한 시각에 태양의 위치를 기록한 것이다.

지구가 23.5도 기울어져 있고, 태양 주위를 도는 공전 궤도가 원이 아니라 타원이어서 생기는 현상이다.

이 재미있는 현상을 잘 설명해 놓은 사이트를 발견했다.

the Analemma

이런 거 보면 수학의 위력이 대단하기도 하지만, 이런 복잡한 수학을 다루어야 하는 천문학자들이 불쌍해 보인다. :-)

혹시 가 보신 분?

임의의 각을 삼등분하는 것이 아니라, 삼등분작도가(trisector)를 설득하는 것.

목록이나 함 만들어 보자.

강 학 덕
김 갑 용
김 상 렬
김 영 윤
김 휘 암
이 봉 희
이 풍 일
장 병 태
최 익 곤
함 봉 열

수학계의 노벨상이라 불리는 필즈상.

비록 금액면에서는 노벨상에 비교할 수 없지만, 질적인 면에서는 가히 수학계 최고의 상이라 할 만하다.

이 상의 영문 명칭은 Fields medal이다. 이 이름을 한글로 옮기면서 사람들은 Fields를 단수형인 "필드"로 썼다. "필즈"가 아니고.

단복수 개념이 엄밀하지 않은 한국어의 특성상, 복수로 표현된 영어 단어를 단수 표현으로 옮기는 것은 너무나 자연스러운 일이었다. 딱 한 가지 문제점만 제외하고. 바로 Fields가 사람 이름이라는 점이 문제였다.

field의 복수형이 아니라, 사람 이름인 Fields였으니, 당연히 올바른 번역은 "필즈"가 되어야 한다. 하지만 이걸 몰랐던 사람들이 홈페이지를 만들면서 "필드 상"으로 쓰기 시작한 것이 퍼지고 퍼져, 한동안 인터넷에서 볼 수 있는 한글 사이트에서는 하나같이 "필드 상"으로 쓰고 있었다. 워낙 남의 글 베껴 만든 사이트가 많다 보니 당연한 일이었다.

요즘이야 이 상이 캐나다 수학자 John Charles Fields의 이름을 딴 것이 많이 알려져서 "필즈 상"으로 쓰는 곳이 많아졌지만, 그 전에는 별 웃기는 일이 다 있었다. 내가 보았던 가장 황당했던 경우는 어떤 외국 수학자에 대한 약력을 소개한 신문 기사였다. 누구였는지는 잊어버렸지만, 필즈 상 수상자였던 그 수학자의 약력에 아무리 봐도 필즈 상에 대한 언급이 없다. 이상해서 다시 보니 이 수학자 처음 듣는 이름의 상을 하나 받은 게 아닌가.

그 상의 이름은....

... 이런 건가 보다. 다음은 손** 님이 쓰신 드라마 "눈의 여왕" 팬픽(fan-fic) 가운데 일부. 오자 수정 없이 글상자만 둘렀다.

세계수학논술 경시대회???

"한국수학문제연구회"라는 데가 있나 보다. 여자친구가 자랑스럽게 말하는 걸로 보아 월급도 무지 쎌 듯.

그런데 수학 노벨상은 어디서 주려나....

"수학적 재능"이라는 게 어떤 문제든 순식간에 풀어내는 건가 보다. 틀린 말도 아니네 뭐...

논문 한 편 쓰기 위해 몇 달을 붙들고 있어야 하는 나는 재능이 없는 거지...

역시 "한국수학문제연구회"는 대단한 곳이었어!

그렇지만 내가 넘볼 수 없는 곳이겠군... OTL

자, 인류의 수학사에 길이 빛날 위대한 대발견을 하셨군요. 어디다 발표해서 인정을 받고는 싶은데, 아무도 관심을 보이지 않아 안타까우십니까? 그렇다면 일단 이 글을 읽어보세요.

1. 무엇으로 작도하였습니까?

수 천년 수학의 역사에서 수많은 수학자들과 아마추어들을 괴롭혔던 그리스의 삼대 작도 문제는 "눈금없는 자"와 "컴퍼스"를 이용하여 원하는 도형을 그리는 것입니다.

각의 삼등분 작도에 성공하신 당신의 작도 방법은 무엇입니까? 혹시 삼각자를 요리조리 갖다 맞추거나, 자에 적당히 눈금 표시를 하거나, 종이를 접거나, 실로 길이를 재거나 하였습니까?

그렇다면 당신은 "그리스의 삼대 작도 문제"가 아닌 전혀 다른 문제를 푼 것입니다. 마치 "2로 나누어 1이 나오는 수를 찾으시오"라는 문제에 대해, "5를 5로 나누었더니 1이 나왔습니다. 따라서 정답은 5입니다."라고 말하는 셈입니다.

"눈금없는 자"와 "컴퍼스"가 아닌 다른 도구를 사용하였다면, 이 글을 더 이상 읽을 필요 없습니다. "각의 삼등분 작도" 따위는 잊고 생업에 힘쓰세요.

2. Wantzel의 증명이 잘못되었다고 생각합니까?

요즘은 세상이 좋아져서, 아마 프랑스의 Wantzel이 "각의 삼등분 작도"가 불가능함을 증명했다는 것 정도는 들어보셨을 겁니다. 증명을 직접 보지는 못했더라도요.

그가 무얼 증명했다고 생각하십니까?

"눈금없는 자"와 "컴퍼스"와 컴퍼스를 써서 각을 이등분하는 것은 아주 쉽습니다. 어떤 각이든 동일한 방법으로 이등분이 가능합니다. 고대 그리스 사람들이 그 다음으로 생각한 것은 당연히 각의 삼등분입니다. 그런데 이게 의외로 쉽지 않았습니다.

물론 삼등분 작도가 쉬운 각들도 있습니다. 예를 들어, 직각을 삼등분하는 것은 컴퍼스 서너 번만 쓰면 되는 간단한 일입니다. 직각이 삼등분되니, 직각의 절반인 45도도 당연히 삼등분됩니다. 22.5도, 11.25도 등등도 삼등분 가능하고, 좀 복잡하긴 해도 9도, 18도, 27도 등등 9의 배수가 되는 각도도 삼등분 가능합니다. 4.5도, 13.5도처럼 이것들을 다시 2등분한 각도 삼등분 작도 가능합니다. 무한히 많은 각이 삼등분 작도 가능하다는 말입니다. 여기서 당연히 나오는 질문은

"삼등분 작도 가능한 각은 무한히 많다. 그렇다면 모든 각이 다 삼등분 작도 가능할까?"

입니다. 여기에 대해 Wantzel이 1837년에 답한 것은,

"그렇지 않다. 삼등분 작도가 안 되는 각이 존재한다."

는 것입니다. Wantzel이 보인 것은 아주 이상한 각도가 아니라, 쉽게 그릴 수 있는 60도가 바로 문제의 각이라는 것이었습니다. 이 세상 어떤 각도 삼등분 작도하는 것이 불가능하다는 말이 절대로 아닙니다.

이해가 안 되십니까? Wantzel의 증명이 엉터리라고 생각하는 것은, 마치 다음 대화와 비슷합니다.


오해를 깨달으셨다면, 이제 "각의 삼등분 작도" 따위는 잊고 생업에 힘쓰세요.

3. 삼등분된다는 걸 어떻게 확인하였습니까?

여기까지 오신 걸 보면, 아마도 60도를 삼등분 작도하는 데 성공하신 분인가 봅니다. 그렇다면 세 개의 각이 모두 20도라는 걸 어떻게 확인하셨습니까?

선 몇 개 그려놓고 눈으로 보니 세 개의 각이 같아 보였습니까? 각도기를 써서 재보았습니까? 컴퍼스로 이리저리 재어보니 세 각이 같았습니까?

불행히도, 종이에 그림을 그릴 때 사용하는 필기구에는 두께가 있습니다. 아무리 정밀하게 그려서 딱 맞아보여도, 그것은 오차가 연필심의 굵기보다 작다는 뜻일 뿐입니다.

정확한 삼등분 작도가 아니라 정밀한 근사 작도라면 방법은 수도 없이 많습니다. 실용적인 목적이라면 삼등분을 하기 위해 각도기를 써도 충분합니다.

"각의 삼등분 작도 문제"는 기술의 문제가 아니라 수학의 문제입니다. "그림을 보면 세 원이 한 점에서 만난다" 같은 말은 수학적으로 증명되지 않는 이상 전혀 의미가 없습니다. 초정밀 필기구로 10m짜리 원을 그렸더니 세번째 원이 문제의 교점을 1mm 벗어날 수도 있는 일 아니겠습니까?

자, 다시 한번 말씀 드립니다. "각의 삼등분 작도"로 시간 낭비하지 말고 생업에 힘쓰세요.

4. 삼등분 작도 증명에 성공했다고 생각합니까?

삼등분 작도가 된다는 증명까지 성공했다고 생각한다면, 죄송하지만 당신은 이미 중증입니다. 이 정도 상황이라면 아무리 오류를 지적해도 통하지 않습니다. 오일러가, 가우스가 살아돌아온다 해도 당신은 절대로 오류를 깨닫지 못합니다.

그럴 리가 없다고 생각하십니까? 여전히 당신의 작도는 완전무결하다고 생각하십니까?

그렇다면 당신의 작도법을 이용하여 20도의 코사인 값을 구해 보세요. 대충의 근사값이 아니라, 정확한 cos20도입니다.

코사인이 무엇인지 잘 모르겠다고요? 코사인이 무엇인지는 알지만 당신의 작도로부터 그 값을 어떻게 구하는지 모르겠다고요? 코사인 20도를 구하기는 했는데, 그 다음 어떻게 해야할지 모르겠다고요?

좋습니다. 그렇다면 그 정도는 제가 봐 드리죠. 단 공짜는 없습니다.

작도법 한 편을 1000만원에 심사해 드리겠습니다. 단, 10쪽을 넘어가면 한 장당 100만원의 추가 비용을 받습니다. 도면 포함 17쪽짜리라면 1000만+7x100만 = 1700만원입니다.

아참, 이재율 씨는 1억을 줘도 상대 안 합니다. 뭘 하든 아무 관심 없으니까 연구실로 찾아오지 마세요.

저에게 각의 삼등분 작도에 대해 문의하고 싶은 분은 심사비부터 준비하세요. 인류의 지성사에 불멸의 이름을 남길지도 모르는데 이 정도면 너무 싸지 않습니까?

우리나라와 일본의 수학 문화에 대한 가장 큰 차이라면, 일본에는 "수학애호가"가 존재한다는 점이 아닐까 싶다. 우리나라에서 "나 수학 좋아해요"라고 했다가는 왕따당하기 딱 좋겠지만, 일본에는 수학 좋아하는 사람들끼리 모임을 갖기도 하고, 이들을 위한 각종 교양 수학 서적에, 수학 잡지까지 있을 정도니 수학을 대하는 태도가 달라도 한참 다르다.

물론 일본이라고 해서 수학 좋아하지 않는 사람이 거꾸로 왕따를 당하는 것도 아니고, 수학 좋아하는 사람이 특이한 취급받는 것이야 마찬가지지만 적어도 수학을 즐길 만한 여건은 갖추어져 있다.

일본의 대표적인 대중 수학 잡지라면 수학세미나(数学セミナー)를 들 수 있을 것 같다. 오른쪽 그림은 2007년 1월호 표지로, 보시다시피 표지부터 화려한 컬러다.

특집 기사는 "클라인이 본 정20면체"로,

고대부터 조화의 상징으로 여겨져 많은 수학자를 계속 매료시켰던 5 개의 정다면체.
F. 클라인은 정다면체의 군구조로부터 방정식론이나 해석학으로 발전시켜 갔다. 이번은 정20 면체에 주목하고, 거기서부터 퍼져나가는 수학을 살펴보자.

라고 설명이 붙어 있다. (일본어를 몰라 번역기에 돌렸음.)

이밖에도 일반인을 위한 문제풀이 코너도 있고, 고등수학의 여러 분야에 대한 입문 기사들도 연재되고 있다.

우리나라에 여기에 비견될 만한 잡지가 있을까? 그나마 전문 학술지가 아니면서 수학을 다루고 있는 잡지라면 KAIST 수학문제연구회에서 발행하는 Math Letter가 있지만, 아주 작은 판형에 겨우 36쪽에 불과하다. 数学セミナー가 B5 판형에 100쪽 정도되니 양으로는 비교가 안 된다. Math Letter는 내용도 재미있고, 특히 경시대회를 준비하는 학생들에게는 아주 좋은 잡지지만, 기획이나 편집 면에서는 아무래도 전문 출판사에서 내는 책에는 비할 수가 없다.

또 하나의 수학잡지라면, 지금은 나오지 않지만, 70년대 말~80년대 초에 나왔던 "월간 수학세계"가 있다. "수학의 정석"을 펴낸 성지사(成志社)에서 발행했던 잡지로, 고등수학 소개, 수학자들 일화 등이 실려 있어 数学セミナー와 비슷하였다. 판형은 Math Letter 정도였지만, 100쪽 가량의 분량에, 대학 교수들의 글도 실려있어 내용도 꽤 충실한 편이었다. 다만 수학애호가가 아니라 고등학생을 대상으로 한 잡지여서 본고사 분석이니, 핵심요점 정리니, 一日二題니 해서, 입시와 관련된 내용이 많았다.

나는 사촌누나가 너댓 권 사 놓았던 걸 몇 년이 지나 처음 보았다. 너무나 재미있게 읽었지만, 그때는 이미 책이 나오지 않을 때여서, 그렇잖아도 낡은 과월호들을 걸레가 되도록 또 읽고 또 읽고 하였다. 특히 E.T. Bell의 "Men of Mathematics"를 번역해 놓은 글을 정말 재미있게 읽었다. 요즘 같으면 인터넷만 뒤져도 재미있는 수학 관련 글들이 넘쳐 나는 시대지만, 그때는 이런 잡지도 너무나 귀해서 아무리 주변 사람들에게 물어도 그런 책이 있는지도 몰랐다. 헌책이라도 구해보려고 부산의 보수동 헌책 상가를 뒤지고 다니기도 하였지만 도저히 구할 수가 없었다.

"월간 수학세계"가 그러했듯, 우리나라에서 수학 관련 잡지가 팔리려면 입시와 관련된 내용을 다루지 않고서는 도저히 방법이 없었을 것 같다. 그렇게 하고서도 지금 남아있는 "월간 수학세계"가 거의 없으니, 이후로 누가 수학잡지를 내는 바보짓을 하겠는가.

우리나라에서 일본이나 미국처럼 수학을 다루는 대중 잡지가 제대로 발행되려면 얼마나 기다려야 할까? 10년? 100년?

진짜 깔끔한 논증기하 문제를 하나 봤다.

출처는 KAIST 수학문제연구회 게시판.

알아보기 좋게 그림을 첨부했다. 두번째 그림은 삼각형을 세 개는 그려야 하지만, 그랬다가는 너무 복잡해져서 두 개만 그렸다.

드라마 "눈의 여왕"에 (사진으로) 등장하는 수학자들을 알아보자. 누군지 잘 모르는 사람이 몇 명 있는데, 아시는 분은 덧글 달아주시길.


1회 정규의 책상 위에 붙어있는 사진이다. 왼쪽부터 Serre - Connes - Witten - Atiyah.
정규 머리가 정통으로 가린 액자의 사진은 권투 선수 김득구.


8회 정규네 가족이 살던 집의 정규 방. 왼쪽부터 Hilbert - Gross(2004년 노벨 물리학상 수상자) - Zelmanov - Bennet(양자암호의 발명자)


사진이 많아서 한 컷에 안 잡혔다. 오른쪽의 할머니는 COBOL을 만든 Grace Hopper.

제보해 주신 SNAKE님께 감사 드립니다.

남의 글 퍼오기는 잘 안 하는 편이지만, 당대의 석학을 인터뷰한 내용이어서 올려둔다.

---

interviewee: 가시와라 마사키(柏原 正樹, Masaki Kashiwara)
interviewer: 강석진 교수

국제수학연맹(International Mathematical Union) 부회장인 Kashiwara 교수를 대한수학회를 대신하여 인터뷰했다. 몇 가지 인상적인 내용이 있어서 여기 올린다. Kashiwara 교수는 D-module 이론, crystal basis 이론 등 여러 가지 심오하고 위대한 업적을 이룬 세계적인 수학자이다. 나는 이 사람을 처음 만나고 다음과 같은 생각을 했다. 아마 천재란 이런 사람을 말하는 것인가보다......
***********************************************************
1. 일본이 수학 강국이 된 주된 이유가 무엇이라고 생각하는가?

일본에서는 에도 시대 이후 교육(읽기, 쓰기, 산술)이 매우 중요하게 여겨졌다. 그리고 많은 어린이들이 교육을 받았다. 이런 배경이 있었기 때문에 현대 수학을 쉽게 배울 수 있었다.

2. 동아시아 수학 커뮤니티들 사이의 협력과 교류를 증진시키기 위해 어떤 일을 제안하고 싶은가?

내가 제안하고 싶은 것들 중 한 가지는 동아시아 수학회들이 공동으로 학술 잡지를 출판하는 것이다. 불행하게도 이 지역에는 (일본을 제외하면) 수준 높은 학술 잡지가 거의 없다. 우리는 이 지역에서 수준 높은 학술 잡지를 출판할 필요가 있다. 또한 민간 출판사들이 학술잡지 출판 시장을 지배하면서 가격이 너무 높아졌다. 이런 것을 막기 위해서는 학술 기관(대학, 연구소 등)이나 연구자들 자신들이 나서서 학술 잡지를 출판해야 한다.

3. 한국 수학의 수준을 높이기 위해 충고하고 싶은 얘기는 무엇인가?

내가 보기에 한국은 지금까지 잘 하고 있다. 수학의 수준을 높이는 것은 쉽지 않은 일이며 시간이 오래 걸린다. 만일 서두른다면 여태까지 해놓은 모든 노력들을 물거품으로 돌려버릴 수도 있다. 꾸준히 나아가야 한다.

4. 일본에서는 수학이 얼마나 인기가 있는가?

어려운 질문이다. 많은 사람들이 수학을 싫어한다. 왜냐하면 학교에서 의무적으로 수학을 배워야 하기 때문이다. 그러나 대중을 위한 수학 잡지가 많이 있는 것을 보면 수학을 좋아하는 사람들도 상당히 많은 것 같다.

5. 수학을 대중화하기 위해서 일본 수학자들은, 특히 일본 수학회는 어떤 노력을 하는가?

나는 대답할 말이 없다. 일본 수학회장에게 물어보는 것이 적절한 것 같다.

6. 국제수학올림피아드 같은 수학경시대회에 대해서는 어떻게 생각하는가?

나는 국제수학올림피아드가 성공적이라는 사실은 인정한다. 실제로 국제수학올림피아드에서 좋은 성적을 거두었던 사람들이 필즈 메달 수상자가 되는 경우가 많이 나타나고 있다. 그러나 내가 보기엔 일본에서는 그다지 성공적이지 못하다. 다들 알다시피 일본에서는 대학에 들어가기 위해 어려운 경쟁을 거쳐야 한다. 내 생각에는 수학경시대회가 수학을 싫어하는 사람들을 더 많이 만들어내는 것 같다. 중요한 것은 자라나는 세대에게 수학의 즐거움을 알게 해 주는 것이다.

7. 수학을 공부하는 젊은 사람들에게 해주고 싶은 말은?

젊었을 때 다양한 지식을 배우는 것은 매우 중요하다. 수학뿐만 아니라 수학의 인접 분야에 대해서도 다양한 지식을 쌓아야 한다. 이렇게 배워둔 것들은 오랜 시간이 지난 후에 여러 가지로 커다란 도움이 될 것이다.