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'정수론'에 해당되는 글 3

  1. 2012.03.09 교수 드립 2 8
  2. 2009.10.15 2009년 정수론 중간고사 12
  3. 2007.12.03 정삼각형 타일로 만들 수 있는 볼록다각형 7
2012. 3. 9. 12:37

교수 드립 2 Life in campus2012. 3. 9. 12:37

나는 시험에 간단한 보너스 문제를 자주 내는 편이다.

2010년 정수론 시험의 3점짜리 보너스 문제는 "알고 있는 가장 큰 소수를 쓰시오"였다. 점수는 크기순으로 셋으로 나누어 배점. 아무렇게나 써서 채점하는 사람을 피곤하는 일을 방지하기 위해 소수가 아니면 자리수만큼 감점한다고 하였다.

3점밖에 안 되는 점수에, 크기순으로 나누어 배점하니까 어마어마하게 큰 소수를 쓸 필요는 전혀 없는 문제였다. 그런데도 문제를 착각해서 "자리수만큼 점수를 준다"고 생각했는지 다른 문제는 모두 거의 0점이면서 이 문제만 6자리 정도의 수를 아무렇게나 쓴 학생도 있었다. 

안타까운 오답이 많았는데, 그 중 하나는 페르마 수 \(2^{32} + 1\)을 쓴 답안이었다. 수업 시간에 \(2^{2^n}+1\) 꼴의 수는 \(n=0,1,2,3,4\)까지는 소수지만 \(n=5\)일 때는 소수가 아니라고 얘기했는데도 이런 답을 쓰다니. 당연히 감점이다. \(2^{32}+1 = 4294967297\)이니까 10점 감점.

아마도 가장 안타까운 오답은 이게 아닐까 싶다. "하하, 교수님의 의도를 알겠습니다. 2009"

한 해 뒤인 2011은 소수인데, 한 해 앞인 2009를 써서 4점을 감점당하다니... 
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Posted by puzzlist
2009. 10. 15. 16:57

2009년 정수론 중간고사 Math2009. 10. 15. 16:57

Fermat's little Theorem과 관련해서 어떤 문제를 낼까 고민하다 나온 문제.

다음 부정방정식이 정수해를 갖지 않음을 증명하여라.


별로 어려운 문제는 아니지만, 정수론을 배우고 있는 학부생에게 시험 문제로 딱 맞는 수준이 아닐까 싶다.

시험을 본 날짜는 당연히 2009년 10월 14일.
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Posted by puzzlist
2007. 12. 3. 20:38

정삼각형 타일로 만들 수 있는 볼록다각형 Math2007. 12. 3. 20:38

예전에 퍼즐 홈페이지를 운영할 때, 똑같은 크기의 정삼각형 타일을 변과 변이 맞닿도록 붙여서 만들 수 있는 볼록다각형의 변의 개수를 묻는 퍼즐을 만든 적이 있다. 이 문제는 내가 쓴 책에도 실었는데, 크게 어려운 문제는 아니다. 아기자기한 전형적인 수학 퍼즐.

이 문제를 KIDS bbs에 올렸을 때, valken(이쁜왕자)가 문제를 살짝 오해(?)하는 바람에 원래의 퍼즐과는 전혀 다른 "수학 문제"가 만들어졌다.

똑같은 크기의 정삼각형 모양 타일이 여러 개 주어져 있다. 이때, 이 타일들을 변과 변이 맞닿도록 붙이면 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형의 볼록다각형을 만들 수 있다.
한 예로 49개의 타일을 모두 써서 삼각형을 만들 수 있고, 다시 분해하여 남김없이 조합하면 볼록사각형, 볼록오각형, 볼록육각형을 차례로 만들 수 있다.
타일의 갯수가 49보다 큰 제곱수일 때도 이런 일이 항상 가능함을 증명하여라.

컴퓨터로 확인해 보니 웬만한 제곱수면 모두 가능해서 이런 추측을 했던 것인데, 그때 증명을 하지는 못해서 책을 쓰면서도 "미해결 문제"로 실어 놓았다. 누군가가 풀어주기를 바라면서.

나중에 학교로 돌아온 다음, 어느 학회에서 지루해 하는 두 선배에게 이 문제를 풀어보라고 주었다. 형식은 저래도 내용은 거의 전형적인 정수론 문제다.

한 시간쯤 지났을 때, 정ㄱㅎ 선배는 A4 한 장에 큼직한 글씨로 문제를 풀어왔다. 아주 깔끔한 풀이였다. 그리고 문제를 조금 늦게 들은 김ㅂㅁ 선배가 그림을 이용한 간단한 증명을 보여주었는데, 그 분량이 무려 포스트잇 한 장. 흠좀무...

@ Keating 님의 블로그에서 이 문제가 수학과 Quiz로 출제되었다는 옛날 글을 보고서.
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Posted by puzzlist