한 면 안정 다면체와 거북이

지난 9월 30일은 수학자 리처드 가이(Richard Guy)의 100번째 생일이었다.

수학도들에게는 아마 그의 책 Unsolved Problems in Number Theory와 Unsolved Problems in Geometry로 익숙한 이름일 것 같다.

100년의 인생 동안 Guy는 수많은 수학적 업적을 이루었는데,  특히 유희수학(recreational mathematics) 분야에서 많은 공헌을 하여, 그 가운데 일반인이 이해하기 쉬운 재미있는 것들도 아주 많다. 예를 들어, 콘웨이(J. H. Conway)의 유명한 생명 게임(Game of Life)에서 무한히 반복되면서 이동하는 패턴인 글라이더(glider)를 처음 발견한 것도 Guy였다.

그가 발견한 것 가운데 unistable polyhedron(=monostable polyhedron)도 비교적 이해하기 쉽다. "한 면 안정 다면체" 정도로 번역할 수 있는 unistable polyhedron은 Conway와 Guy가 출제한 문제^[각주:1]에서 비롯되었다. 이 문제는 다음 두 가지를 물었다.

1. 임의의 균질한 사면체는 적어도 두 면 가운데 한 면을 바닥으로 하여 놓으면 안정됨을 보이시오.
2. 바닥에 놓았을 때 안정되는 면이 꼭 하나인 균질 볼록 다면체의 예를 드시오.

여기서 다면체가 안정되게 놓인다는 것은 다면체를 놓아두면 어느 쪽으로도 기울지 않고 그대로 있다는 뜻이다. 다시 말해, 다면체의 무게중심이 바닥면을 벗어나지 않는다는 뜻이다. 1969년에 같은 저널에 실린 풀이^[각주:2]에서 Guy는 19개의 면으로 이루어진 다면체를 제시하였다. 단면이 17각형인 각기둥 모양의 양쪽을 비스듬히 잘라낸 모양이었다. 이 19면체를 바닥에 어떻게 놓아도 가장 긴 면이 아래로 가게 구른 다음 안정된다. (관련 동영상 참고)

이 다면체를 앞, 옆, 위에서 본 그림은 다음과 같다. 여력이 되는 사람은 3D 프린터로 하나쯤 만들어 봐도 재미있을 것 같다.

Guy는 다음과 같은 방법으로 일반적인 unistable polyhedron을 구성하였다.

1. 한 내각이 \(180/m\)인 닮은 직각삼각형을 그림과 같이 반복하여 붙여서 \((2m-1)\)각형을 만든다.
2. 이 다각형을 단면으로 하는 각기둥을 만든 다음 양쪽을 비스듬히 잘라낸다.

Richard Guy의 unistable polyhedron 도면

Guy의 구성 방법으로는 \(m \ge 8\)인 경우, 즉 단면이 17각형 이상인 경우에 가장 긴 면을 바닥으로 하여 놓으면 다면체의 무게중심이 바닥면을 벗어나지 않는다. 구성 방법을 조금 바꾸면 면의 개수를 더 줄일 수 있을 것 같은데, 의외로 전혀 진전이 없다가, 2012년에 Andras Bezdek이 18면 다면체를 구성하였고, 2014년에 Alex Reshetov가 구성한 14면 다면체^[각주:3]가 현재 최고 기록이다.

흥미롭게도 자연에서 unistable polyhedron과 비슷한 모양을 발견할 수 있다. 아래 사진의 거북은 인도 별 거북(Indian star tortoise)으로, 이 거북은 등딱지가 unistable polyhedron과 비슷하게 생겨서, 뒤집어지더라도 쉽게 자세를 바로잡을 수 있다고 한다. 이쯤 되면 조물주는 분명히 수학자라는 생각이 든다.

인도 별 거북 (출처: fr.wikipedia.org, Colin M.L. Burnett 제공)

1. Conway, Guy, Problem 66-12, Stability of Polyhedra, SIAM Review, Vol. 8, No. 3, July, 1966, 381. [본문으로]
2. Conway, Guy, Problem 66-12, SIAM Review Vol. 11 (1969), 78-82. [본문으로]
3. A. Reshetov, A unistable polyhedron with 14 faces. Int. J. Comput. Geom. Appl. 24 (2014), 39-60. [본문으로]