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'곱셈'에 해당되는 글 5

  1. 2011.04.11 48/2(9+3)에 대한 논쟁을 보며 (16)
  2. 2011.04.11 48/2(9+3) (9)
  3. 2007.10.03 격자 곱셈의 원리 (1)
  4. 2007.10.01 격자 곱셈 2 (1)
  5. 2007.09.30 격자 곱셈 (1)
2011.04.11 22:55

48/2(9+3)에 대한 논쟁을 보며 Math2011.04.11 22:55

논쟁거리도 아니지만, 하여튼 48/2(9+3)의 값이 2인지 288인지로 격렬한 논쟁을 하는 글을 보니 이런 비유가 떠오른다.

누군가 어떤 수 + 1이 얼마인지를 종이에 써서 물었는데, 이 사람이 심한 악필이라, 그 어떤 수가 3 같기도 하고 5 같기도 한, 애매모호한 모양이었다. 보통의 경우라면, "여기 이 숫자가 뭔지 잘 모르겠는데 다시 써 주세요."라고 할 것이다. 그런데 이 종이를 보고 이런 논쟁이 불붙는 것이다.

"이거 당연히 4."
"무슨 소리. 6임."
"그건 3을 5로 잘못 보고 푼 거임. 님 숫자도 못 읽으셈?"
"야 이 ㅂㅅ아, 니 눈엔 이게 3으로 보이냐?"
"님들 진정하세요. 이건 답이 4도 되고 6도 됩니다."
"어떻게 동시에 두 개가 정답이 되나? 껒여!"
"이거 외국에 물어보니 답이 4라고 함다."
"내가 가진 책에는 6이라고 나오는데?"
"수학자 아닌 넘들은 아닥."
"이건 공리에 의해 4임."
"내가 직접 써 보니 6임."
"계산기에 두드려 보니 4임."
"계산기를 믿는 ㅂㅅ은 뭥미?"
"이거 답이 6이라는 건 러셀이 이미 증명했음."
"러셀 책 몇 페이지에 나오는지 말해봐."
"내 친구한테 3+1 써보라니까 이거랑 똑같이 쓰더라."
"위키백과에 이거 6이라고 나와 있음."
"위키백과 고쳐 놓은 넘이 너냐?"
"완벽한 줄 알았던 수학에 이런 허점이 있다니, 인간은 역시 겸손해야 한다."
"그러니까 4=6이라는 거 아냐?"

뭐 이런 식... 

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TAG 곱셈, 떡밥
Posted by puzzlist

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  1. 똥배남편 2011.04.11 23:46  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    교수님 ㅎㅎ 2007****35입니다 ^^
    오늘 하루 이 문제때문에 혼란&즐거움을 느끼고있었는데
    너무 간단한 문제였네요.. ㅠ
    좀 더 노력해야겠습니다.. ㅎㅎㅎ
    그래도 재밌는 논란거리였어요 ㅎㅎㅎㅎ

  2. Favicon of https://blog.hshin.info BlogIcon Ens 2011.04.12 00:31 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이런 논쟁보다는 http://hshin.info/311 이런 걸 해결하는 게 100만배는 재밌지 않을런지.. ㅋㅋ

  3. 2011.04.13 10:51  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2011.04.16 14:57 신고  댓글주소  수정/삭제

      저런 이상한 논쟁에는 끼지 않는 편이...

    • Favicon of http://mycosmostg.blog.me BlogIcon 퍼즐마니아 2011.04.16 17:17  댓글주소  수정/삭제

      선생님 말씀이 옳으신 것 같습니다. 저도 홍보 아니었으면 관심 갖지 않았을 거예요. 유명한 홍보 블로거가 있는데요. 이 글 올린 날 방문자가 38만명을 기록하더군요. 순간 저도 욕심이 나서 ㅋㅋㅋ
      그나저나 40이 되고 보니 새삼 세월 정말 빠르다는 생각이 드네요.
      그럼 선생님 오늘도 행복하시길 바래요.

  4. 경빈 2011.04.13 12:18  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    ~~ 그래도 나름 접근하기 쉬운 주제여서 그런지 저는 부담없이 재밌어한 것 같아요.

  5. 2011.04.13 17:05  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2011.04.16 15:00 신고  댓글주소  수정/삭제

      답을 알려주셔야... ^^
      오늘 보니 뭔가 zero가 금칙어로 설정되어 있었군요. 그넘의 zero zone인지 뭔지 때문에...

    • 斯文亂賊 2011.04.16 16:11  댓글주소  수정/삭제

      여기다 쓰려니까 표현방법을 찾기가...으음... 아, Zerone 님의 풀이에서요, 우상귀의 두 테트로미노를 다음과 같이 바꾸어 보세요. 첫 행 6, 7번, 둘째 행 6, 7번으로 이루어진 정사각형 테트로미노 하나랑, 첫 행 8번, 둘째 행 8번, 셋째 행 7, 8번으로 이루어진 테트로미노 하나. 아, 물론 반드시 우상귀일 필요는 없지만 글로 표현하려다보니...
      참고로 뒤집거나 회전시켜서 모양과 색깔이 같아지는 폴리오미노를 같은 것으로 취급하면 체스판에서 만들 수 있는 테트로미노는 7가지가 있는 것 같습니다. 그럼...=3=3=3

  6. 질문 2011.04.14 17:47  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    다음은 정답이 2라는 주장인데요.
    오류가 있나요? (퍼온것임)
    오류가 있어보이는데 말로 명쾌히 설명을 못하겠네요.

    -------------------------------------------

    도트곱은 크로스곱보다 먼저 계산된다는거요,,

    a(b+c)는 ab+ac의 공통인수 a로 묶어준겁니다.
    그렇기 때문에 그냥 a(b+c)이것 자체만 봤을때에는 a*(b+c)로 나타낼 수 있지만
    다른 연산이 있어서 중괄호를 함께 살려야 한다는거죠.
    ab+ac는 더이상 계산할 수 없는 하나의 수입니다..
    구지 계산해 보니 a(b+c)라는 형태가 나온거죠.

    a*b(크로스곱)는 'a와 b라는 수가 있을 경우, 두수를 곱해라'가 됩니다.
    ab(도트곱,생략)는 'a와 b라는 수는 계산되어있는 하나의 수지만 더이상 줄여서 나타낼 수 없으므로 도트곱을 생략하여 붙여쓴다'가 되죠.
    '먼저 계산했다'라는 뜻으로, 계산을 먼저 해주는게 옳다는 겁니다,,



    a*b를 이미 수행했는데, 더 줄일 수 없어서 ab로 나타낸거죠.
    a*a를 이미 수행했을경우는 방법을 연구해 줄여 놓은게 a^2인겁니다. a제곱이요.
    a^2는 사실 a*a를 줄인거지만, (a*a)로 나타내는게 더 맞습니다.
    1/a^2=1/(a*a)인겁니다.
    1/a^2를 괄호를 안살린 상태로 전개하고 다시 분수꼴로 만들면 1/a^2=1/a*a=(1/a)*a<왼쪽부터계산>=a/a=1이라는 웃지못할 헤프닝이 벌어지게 됩니다..

    그러므로 생략된 연산을 살릴경우에는 괄호도 함께 살려주어야 하며, ab를 a*b꼴로 고칠때도 생략된 괄호가 살아나 (a*b)로 고치는게 더 맞다는 소리입니다.
    즉, a(b+c)도 마찬가지로 {a*(b+c)}가 옳은 표현이라는 소리죠...

  7. 斯文亂賊 2011.04.14 22:39  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    엉뚱 댓글2: 다섯 가지 뜻으로 읽힐 수 있다는 문장인 TIME FLIES LIKE AN ARROW가 생각나는군요.^^ 광고문구 '나를 따르라'도 생각나고요(이 글귀가 붙은 광고판에는 '17년 숙성 위스키'라고 적힌 술병이 그려져 있었음^^)=3=3=3

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2011.04.16 15:03 신고  댓글주소  수정/삭제

      사실 수식이란 "도구"일 뿐인데, 정작 수학자들은 잘 쓰고 있는 걸 왜 이렇게들 대단한 문제라도 되는양 난리인지 모르겠습니다.

2011.04.11 15:47

48/2(9+3) Math2011.04.11 15:47

요즘 인터넷을 뜨겁게 달구고 있는 문제.

48 / 2 ( 9 + 3 ) 또는 48 ÷ 2 ( 9 + 3)의 값은 얼마일까?

문제가 되는 부분은 ( 9 + 3 ) 앞에 생략된 곱셈 기호로, 해석하기에 따라서는 이 식이 ( 48 / 2 ) × ( 9 + 3 ) = 288 일 수도 있고 48 / ( 2 × ( 9 + 3 ) ) = 2 일 수도 있기 때문이다.

어느 쪽이 맞느냐로 갑론을박이고, 오늘 내 연구실에는 학생들도 찾아오고 신문사에서 전화까지 왔다.

결론은?

내 의견은 애초에 식 자체가 혼란스럽게 쓰여졌다는 것이다. 굳이 어느 한쪽을 골라야 한다면, 아니, 그것보다 처음 식을 보았을 때 어느 쪽으로 해석했느냐고 묻는다면, 내 경우는 48 / ( 2 × ( 9 + 3 ) ) = 2 이다. 그렇지만 만약 누군가가 48 / 2 ( 9 + 3 ) = 288 이라고 써 놓았더라도 틀렸다고 하지는 않았을 것이다. 다만, 어느 쪽 수식이든 혼란스러우니 의미가 확실하도록 괄호나 곱셈 기호를 넣거나, 순서를 적당히 바꾸어 쓰는 게 좋지 않겠냐고 했을 것 같다.

곱셈 기호를 생략한다는 것은 곱셈이 자주 쓰여서 조금이라도 편하자고 쓰는 것이고, 당연한 말이지만 이것은 곱셈 기호를 생략해도 혼란이 없을 때 가능한 것이다. 아무리 곱셈 기호를 생략할 수 있다고 해도 2 × 3 = 6 을 2 3 = 6 으로 쓰지는 않으니까. 그러니 곱셈 기호를 생략한 48 / 2 ( 9 + 3 ) 은 별로 좋은 표기라 할 수 없다.

굳이 따지자면, 곱셈 기호를 생략하는 것은 곱하는 두 대상 사이의 기호를 생략하는 것이니, 48 / 2 와  (  9 + 3 )  사이의 곱셈 기호를 생략했다고 하는 것보다는 2와 ( 9 + 3 ) 사이의 곱셈 기호를 생략했다고 보는 편이 자연스럽긴 하다. ( 48 / 2 ) × ( 9 + 3 ) 에서는 곱셈 기호 앞에 있는 것이 2가 아니라 48 / 2 이기 때문이다. 예를 들어 a/bc 또는 a÷bc를 보통 a/(b×c)로 생각하는 것도 마찬가지이다.

그렇지만, 곱셈 기호를 생략하는 것이 연산을 왼쪽부터 차례대로 하는 상황에서 단순히 곱셈 기호를 없애는 것으로 생각한다면 ( 48 / 2 ) × ( 9 + 3 ) 이라고 해서 안 될 이유도 없다. 실제로 누군가 Mathematica에 48 / 2 ( 9 + 3 )을 입력해 본 결과 288 이 나왔다고 하는데, 일반적인 수식을 처리할 수 있는 Mathematica가 곱셈 기호가 생략된 수식을 해석하는 방식이 바로 이쪽이기 때문이다. 당연한 말이지만, Mathematica에서 결과가 288이 나왔다고 해서 48 / 2 ( 9 + 3 )을 48 / ( 2 × ( 9 + 3 ) )로 해석하는 것이 무조건 틀렸다고 할 수는 없다.

사실 중학교 수학 교과서에서 곱셈 기호를 생략하는 경우를 설명한 부분을 보면, 48 / 2 ( 9 + 3 )을 무엇으로 해석해야 할지 상당히 모호하다. 그렇지만 이런 상황에 대해 일일이 설명을 하는 것이 오히려 헷갈리게 할 수도 있어서 특별한 언급 없이 그냥 넘어가는 것이 보통이다. 곱셈 기호를 생략해서 수식이 모호하다면 곱셈 기호를 써 넣는 쪽이 올바르니까.

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  1. agsg 2011.04.11 16:18  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    말씀하신대로 헷갈리는 일이 없을 정도에서 곱셈 기호를 생략하는 것이고, 혹시라도 누군가가 오해할 소지가 있는 경우에는 괄호를 확실히 표시해 주면 충분할 텐데... 왜 이런 사소한 문제로 난리법석인지 모르겠습니다. 수학자들은 신경도 안 쓰는데, 어찌 비수학자들만... 인터넷 트래픽 낭비같아요 -_-;;

  2. Favicon of https://blog.hshin.info BlogIcon Ens 2011.04.11 16:38 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저에게도 많이 묻던데.. '관심없다' 라고 말했답니다.
    근데, 이 문제의 발단 혹은 시작은 어딘지 아시는지요?

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2011.04.11 19:20 신고  댓글주소  수정/삭제

      아마 Ask Dr.Math에서 누가 물었던 질문에 엄청나게 진지한 답변이 달리면서 시작된 것 같습니다. 방금 찾아보니 2000년 글이네요. 우리나라에서는 어디서 시작됐는지 모르겠습니다.

  3. Favicon of http://cafe.naver.com/ideamate BlogIcon profcool 2011.04.11 18:20  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    지적인 능력을 내보이며
    식자연하며 토의에 의견을 보태고 싶은 욕구는 누구나 있습니다.
    그런데 울 나라 교육 여건이나 사회적 환경이 그런 욕구를 극소수에게만 충족시켜주고 나머지 대다수에게는 패배감과 열등감을 심어주죠.
    이런 떡밥이 왔을 때, 초등학교 과정을 거친 사람이면 누구나(초딩때는 다들 아주 못하지는 않으니까) 이런 욕구를 풀 수 있기 때문에 열심히 달려드는 것 같습니다.
    이런건 지적 허세라고 할 수 있는데, 사실 대학에도 그런 학생들이 많죠.
    전공을 깊이 공부하지 않은 채 지적 허세를 부리려하는 사람은 어디에나 있기 마련입니다.
    대학 수학에서 1, 2학년 내용으로 이런 적당한 떡밥 하나만 던져주면, 지금 사태와 비슷하게 전국의 이공계, 상경계 대학생들은 물려고 달려들게 할 수 있을텐데요. ^^

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2011.04.11 19:23 신고  댓글주소  수정/삭제

      원래 모든 토론은 어느 정도는 지적 허세니까 뭐...
      문제는 수학(과 관련된) 문제에는 반드시 만장일치의 정답이 있다고 생각한다는 점이겠지요.

  4. Favicon of http://thinkist.kr BlogIcon garon 2011.04.12 10:55  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    인터넷 서핑을 하다보니,
    48 / 2 ( 9 + 3 ) 또는 48 ÷ 2 ( 9 + 3)
    에서 ÷ 2 를 썻기 때문에(/ 같은 분수가 아닌)
    ÷ 2 ( 9+3) 을 분배법칙을 적용하려면 ÷ 2를 1/2 로 고친뒤 적용해야 한다고 하는 학도도 있던데,
    저는 아! 하고 수용해버렸습니다.
    교수님께서는 어떻게 생각하시는지요.

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2011.04.12 11:31 신고  댓글주소  수정/삭제

      그냥 모든 주장이 ( 48 / 2 ) × ( 9 + 3 ) 이나 48 / ( 2 × ( 9 + 3 ) )의 어느 한 쪽으로 결정해 놓고 거기에 맞춰 설명하고 있을 뿐입니다. 그러니 올바른 설명은 하나도 없는 셈.

  5. Favicon of http://thinkist.kr BlogIcon garon 2011.04.12 11:51  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    아. 그렇군요. 틀에 갇혀있는 설명이네요.
    답변 감사합니다.~

2007.10.03 11:36

격자 곱셈의 원리 Math2007.10.03 11:36

갑자기 방문자 수가 늘어서 확인해 보니, "격자 곱셈"을 검색해서 온 분들이 많았다. 스펀지가 시청률이 별로 높지 않은 걸로 아는데 격자 곱셈은 꽤 재미있는 주제였나 보다.

검색 엔진에 나오는 사이트를 몇 군데 둘러봤는데, 잘못된 정보가 많아서 내가 하나 쓰기로 했다.

이 곱셈법은 고대 인도에서 사용하던 것이다. 어떤 사이트에는 중국에서 사용하던 것이라고 되어 있던데 뭔가 착각을 한 것 같다. 이 곱셈법은 0을 이용한 십진 표기법이 있어야 가능한 것인데, 한자로 수를 표기하는 방법은 이것과는 거리가 멀기 때문이다. 물론 산가지 같은 것을 써서 똑같은 과정을 거칠 수는 있지만, 적어도 "필산(筆算)"과는 거리가 있다.

스펀지에서는 선을 그어서 곱셈을 했지만, 이것 그냥 쇼일 뿐이다. 가로 선 3개, 세로 선 2개를 그어 교점의 개수를 세어 3x2=6을 구하는 것과 같은데, 당연히 선을 긋는 대신 숫자를 쓰는 쪽이 훨씬 간편하고 효율적이다.

예를 들어 123x45를 격자 곱셈법으로 계산하면 다음과 같다.
1. 윗줄 왼쪽 첫 번째 칸에는 1x4의 결과를, 그 다음 칸에는 2x4의 결과를, 마지막 칸에는 3x4의 결과를 십의 자리 수와 일의 자리 수를 나누어 쓴다.
2. 아랫줄도 마찬가지.
3. 그 다음 대각선을 따라 수들을 더한다. 이때 받아올림을 생각하여 더한다. 왼쪽 첫 번째 칸에는 4뿐이지만, 그 다음 대각선에서 1+8+1+5=15가 나오므로 십의 자리 수 1을 왼쪽에 더하여 5535를 얻는다.
사용자 삽입 이미지
방법을 보면 당연하지만 이것은 10을 X로 표현하는 로마 숫자 체계에는 적용하기 어렵다. 이 방법을 유럽에 전한 사람은 Fibonacci로 알려져 있는데, 그는 자신의 저서 Liber Abaci에서 인도-아라비아 숫자를 이용한 십진 기수법과 함께 소개하였다. 스펀지에는 Pacioli가 전한 것으로 되어 있던데, Fibonacci가 이삼백 년 먼저 살았던 사람이다.

이 격자 곱셈은 사실 우리가 지금 사용하고 있는 곱셈법과 별로 다르지 않다. 위의 123x45를 약간 달리 쓰면 다음과 같다.
사용자 삽입 이미지

점선 위쪽은 123x5, 아래쪽은 123x4를 풀어 쓴 것이다. 현재 우리가 쓰는 곱셈법은 123x5와 123x4를 여러 단계로 나누어 쓰지 않고 받아올림을 이용하여 한 번에 구한다는 점이 다를 뿐이다.

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격자 곱셈  (1) 2007.09.30
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  1. Favicon of http://kaenium.0ple.wo.tc BlogIcon 공상플러스 2007.12.29 11:37  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    아.. 무슨 7-가 문제집에서 본 것 같습니...

2007.10.01 22:56

격자 곱셈 2 Math2007.10.01 22:56

KBS 홈페이지에 다시 보기가 올라와 있어서 대충 살펴보았다. 서울교대 교수님이 설명을 한 것 같은데 자막이 흐려서 알아볼 수가 없었다.

처음에 나한테 연락이 왔을 때, 선 긋는 건 페이크고 그걸 숫자로 바꿔서 하면 현재 우리가 보통 사용하는 곱셈법과 똑같다고 그렇게 강조했건만 그런 내용은 싹 빠졌다.

하기야 시사교양 프로그램이 아니라 연예오락 프로그램이니 당연한 일이기도 하지만...

사용자 삽입 이미지

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  1. Favicon of http://kaenium.0ple.wo.tc BlogIcon 공상플러스 2007.12.29 11:37  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저도 스펀지에 안좋은 추억이.. 쿨럭

2007.09.30 00:52

격자 곱셈 Math2007.09.30 00:52

지난 주에 촬영이 취소되었던 "격자 곱셈법"이 9월 29일 토요일 스펀지에서 방영되었다.

방송을 보지 못해서 설명을 어떻게 했는지 모르겠다.

혹시 보신 분?

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  1. Favicon of https://www.valken.net BlogIcon 이쁜왕자 2007.10.01 16:02 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    격자 곱셈법의 가장 기본적인 문제점은 "숫자가 크면 어쩔껀데??" 인데,, 이에 대한 이야기 안하더군요..
    121 x 213 같은거야 선 그어서 풀어도 무방하지만,, 989 x 897 같은 걸 선 그어서 풀려면 미쳐 버릴텐데요..
    마지막에 억단위 곱셈 계산을 주산/암산/계산기/필산 등과 대결 따위를 하는데,, 역시나 1,2,3 으로만 된 억단위 두 수를 곱하더군요..