Reiner Euler라는 독일 사람이, 1995에는 다음과 같은 성질이 있다는 글을 뉴스그룹에 올린 적이 있다. (1994년 크리스마스에 생각했다고...)

• 1995의 앞 절반인 19는 뒤 절반인 95를 나누어 떨어뜨리고, 다시 95는 전체 1995를 나누어 떨어뜨린다.
  
• 1995의 앞 세 자리 수 199는 뒤 세 자리 수 995를 나누어 떨어뜨린다.

19 | 95 | 1995
199 | 995

일반적으로, 네 자리 수 abcd가,

ab | cd | abcd
abc | bcd

를 만족하는 경우를 살펴 보면, 1000이나 1111과 같은 자명한 경우를 제외하고 다음의 네 가지가 있다.

1248, 1664, 1995, 4998

이제 이것을 네 자리 수 이상으로 일반화하여 보자. 자리 수가 홀수인 경우 cd | abcd와 같은 조건을 따질 수 없으므로, 이 조건은 생략하고 다음과 같이 생각할 수 있다.

정의.

n 자리 자연수 a₁ a₂ ... a_n 이 모든 k에 대해, 앞에서 세어 k 개의 숫자로 이루어진 수가 뒤에서 세어 k 개의 숫자로 이루어진, 0 아닌 수를 나누어 떨어뜨릴 때, 이 수를 길이 n인 Reiner 수라고 한다. 단, n ≥ 4이고 k < n ≤ 2k 이다.

정의가 약간 복잡해 보이는데, 예를 들면 다음과 같다.

길이 7인 Reiner 수 abcdefg는,

abcd | defg, abcde | cdefg, abcdef | bcdefg

의 세 조건을 만족하는 수를 뜻한다.

하나의 숫자로만 되어 있는 자명한 경우와 2500처럼 뒤 절반이 0인 경우를 제외하고, 다음 수들이 조건을 만족한다.

길이 4인 Reiner 수 : 1248, 1664, 1995, 4998

길이 5인 Reiner 수 : 12500, 14284, 16664, 19995, 49998

길이 6인 Reiner 수 : 166664, 199995, 499998

길이 7인 Reiner 수 : 16666664, 1999995, 4999998

예를 들어, 14284의 경우,

142 | 284, 1428 | 4284

가 된다.

이제 몇 가지 질문을 생각해 보자.

(1) 자명하지 않은 Reiner 수는 무한히 많은가?

앞의 표를 보면, 특징적인 수가 몇 개 있다.

1664, 1995, 4998이 그것으로, 이 수들을 이용하면 Reiner 수를 무한히 많이 만들 수 있을 뿐 아니라, 어떤 길이의 Reiner 수라도 만들 수 있다.

예를 들어, 16...(n개의 6)...64 꼴의 수는 길이 n+4인 Reiner 수가 된다.

이렇게 가운데 수를 반복해서 계속 Reiner 수를 만들 수 있을 때, 가장 짧은 꼴을 "반복 가능(iterative) Reiner 수"라고 하자.

(2) 반복 가능 Reiner 수는 유한한가?

그렇다. 실제로 (1)에서 든 세 개의 수가 그 모두다.

어떤 Reiner 수가 반복 가능하다면, 가운데 수를 반복해서,

xxxa...aa...axxx

꼴이 되게 할 수 있다.

앞 절반과 뒤 절반을 떼어 생각하면, 앞 절반에 1보다 큰 적당한 자연수 b를 곱해서, a가 반복되는 부분이 나와야 한다.

따라서, ab를 10으로 나눈 몫과 그 나머지를 더한 값이 a가 되어야 하고, 이런 조건을 만족하는 순서쌍들에 대해 조사해 보면, 1664, 4998, 1995의 셋뿐임을 알 수 있다. (괜찮은 수학 퍼즐 수준)

다음의 네 질문은 아직 풀리지 않은 문제들이다.

(3) 반복 가능이 아닌 Reiner 수는 얼마나 많이 있는가?

1248, 12500, 14284의 셋밖에는 아직 알려진 것이 없다.

(4) cd | abcd인가?

Reiner Euler는 처음에 cd | abcd라는 조건을 더했는데, 표를 보면, 길이 4인 경우, 이 조건이 없어도 똑같은 결과를 얻었다. 그렇다면 길이 6인 경우에도 비슷하게 def | abcdef 가 되지 않을까?

앞의 표를 참고하면 실제로 이 예상은 성립한다.

일반적으로,

짝수 길이의 Reiner 수 a₁...a_n a_n+1...a_2n에 대해, a_n+1...a_2n | a₁...a_n a_n+1...a_2n이다

라는 예상을 할 수 있는데, 이것 역시 아직 해결되지 않았다.

이것은, 뒤 절반을 앞 절반으로 나눈 값

a_n+1...a_2n / a₁...a_n

이 10의 거듭제곱의 약수인 2, 4, 또는 5라는 것과 동치이다. (몫이 8이 될 수 없는 것은 어렵지 않게 보일 수 있다.)

(5) 2k < n일 때도 가능한가?

Reiner 수를 정의할 때, k < n ≤ 2k 라고 하였다.

그런데 앞의 표를 살펴 보면, 2k < n일 때도, 비록 뒷 부분이 0이 되는 경우는 있지만, 여전히 앞 부분이 뒷 부분을 나누어 떨어뜨린다.

반복 가능 Reiner 수로 만든 경우는 당연하지만, 그렇지 않은 경우도 역시 성립한다.

이것은 단지 우연의 일치일까?

(6) 진법을 바꾸면 어떻게 될까?

10진법이 아닌 다른 진법에 대해서도 Reiner 수를 정의할 수 있다. 이때 위 질문에 대한 답은 어떻게 될까?