중딩용 난문

dc 수학갤러리에 올라온 문제.

삼각형 ABC에서 변 BC의 중점을 D, 변 AB의 사등분점을 E, F, G라 하자. 선분 AD와 세 선분 CE, CF, CG의교점을 각각 H, I, J라 할 때, AH:HI:IJ:JD의 비를 구하여라.

이런 종류의 문제는 체바(Ceva)의 정리나 메넬라우스(Menelaus)의 정리를 쓰면 간단하지만 정규 교과 과정에서 배우지는 않는다. 중학교 교과서에 나오는 방법으로 풀려면 꽤나 복잡한 문제이고, 그나마 나은 게 고등학교에서 배우는 벡터를 이용하는 것이지만 이 또한 간단치는 않다. 중학생뿐만 아니라 고등학생에게도 난문인 셈.

그런데 이 문제를 물리적인 사고를 통해 직관적으로 해결하는 방법이 있다.

먼저 이 삼각형을, 선분 CG가 겹쳐지도록 한 직선 위에 올렸다고 생각해 보자. 삼각형이 어느 쪽으로도 기울지 않으려면 점 B가 점 A보다 3배 무거우면 된다. 한편, 선분 AD를 직선 위에 올리면, 점 B와 점 C의 무게가 같아야 어느 쪽으로도 기울지 않는다. 따라서 세 점 A, B, C의 무게를 각각 1, 3, 3으로 생각할 수 있다.

이제 바늘 위에 점 J가 오도록 삼각형을 올리면, 이 삼각형은 어느 쪽으로도 기울지 않아야 하는데, 선분 AD를 생각하면, 점 A의 무게는 1이고, 점 D에는 점 B와 점 C의 무게를 합친 6만큼의 무게가 있는 것으로 생각할 수 있다. 따라서 AJ:JD = 6:1이 되어야 한다. 같은 식으로 선분 CG를 생각하면, 점 C의 무게는 3이고 점 G에는 무게 4(=1+3)가 걸려 있는 것으로 생각할 수 있으므로 CJ:JG = 4:3이 된다.

이제 삼각형 AGC를 생각하자. CJ:JG = 4:3이므로, 점 C의 무게를 3, 점 G의 무게를 4로 생각할 수 있다. 이 삼각형의 선분 CF를 직선 위에 올린 경우를 생각하면 점 G의 무게가 점 A 무게의 두 배가 되어야 삼각형이 기울지 않으므로, 세 점 A, G, C의 무게는 2:4:3이 된다. 선분 AJ를 생각하면, 점 J에 점 C와 점 G의 무게를 합친 7의 무게가 걸려 있는 것으로 생각할 수 있으므로 AI:IJ = 7:2가 된다. 같은 식으로 CI:IF = 6:3 = 2:1이 된다. 이것은 점 I가 삼각형 ABC의 무게중심이라는 사실로부터도 알 수 있다.

마지막으로 삼각형 ACE를 생각하면, 세 점 A,F,C의 무게를 2:2:1로 생각할 수 있다. 따라서 AH:HI = 3:2가 된다.

이상의 결과를 정리하면,

AH:HI = 3:2, AI:IJ = 7:2, AJ:JD = 6:1

이고, AH+HI가 7의 배수가 되도록 하면

AH:HI = 3x7:2x7 = 21:14, AI:IJ = 7x5:2x5 = 35:10, AJ:JD = 6:1

이고, 다시 AI+IJ가 6의 배수가 되도록 하면

AH:HI = 21x2:14x2 = 42:28, AI:IJ = 35x2:10x2 = 70:20, AJ:JD = 6x15:1x15 = 90:15

가 되어, 

AH:HI:IJ:JD = 42:28:20:15

임을 알 수 있다.

  @ 책도 논문도 모두 집에 두고 오는 바람에, 문화센터에서 우리 딸 수업이 끝나기를 기다리다 심심해서...