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2008. 9. 5. 17:26

수능 9월 모의 평가 Math2008. 9. 5. 17:26

아는 교수님께 들은 얘기.

며칠 전 치러졌던 2009학년도 대학수학능력 9월 모의 평가에서 수리 영역 27번 문제에 대한 이의신청이 많이 올라왔다고 한다. 문제는 다음과 같다.

사용자 삽입 이미지

옳은 보기를 모두 고르는 것이니 학생들이 부담을 느꼈을 것 같기는 한데, 이의신청 내용이 모두 이런 식이다.

"보기 ㄱ에서 임의의 실수 x, y에 대해 등식이 성립해야 하니까 x=y=0을 대입해 보면 A는 아무렇게나 잡아도 등식이 성립한다. 따라서 일반적으로 A2 = A가 성립하지 않으니까 보기 ㄱ은 당연히 거짓."

임의의 실수 x, y에 대해 성립한다는 말의 뜻을 전혀 이해하지 못하고 있어 그야말로 안습인 이의신청이라 하겠는데, 이런 착각을 하고 이의신청을 한 사람이 무척이나 많다. 다음은 그 가운데 가장 황당했던 이의신청.

사용자 삽입 이미지

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Posted by puzzlist

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  1. Favicon of https://blog.hshin.info BlogIcon Ens 2008.09.05 18:06 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    임의의 (arbitrary) 라는 개념이 착각하기 쉬운 단어이죠.
    하긴 all, some, any 라는 단어도 정확하게 이해하기는 쉬운 개념은 아닌 듯 합니다.

    • 斯文亂賊 2008.09.06 12:04  댓글주소  수정/삭제

      전 문과 출신이라 '거의 모든'이라는 말을 이해하기가 어려웠습니다...(음, 어째 쓰고 보니 이상한 것 같기도...)ㅠ.ㅠ =3=3=3

  2. Favicon of http://rein.upnl.org BlogIcon rein 2008.09.05 18:16  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    전공책에서 all/some/any/충분히 xx한 ?? 이런거 나오는거 보는거랑 "일상대화"에서 보는 거랑 좀 차이가 큰 것 같아요.

    물론 저 사례야 눈가가 참 촉촉해지는 사례지만;;;

  3. Favicon of https://may.tistory.com BlogIcon goldenbug 2008.09.05 21:17 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    아무래도 뭐... 음....
    저런 문제들은 옛날부터 계속 있어왔던 것일 테니까요....

  4. Raymundo 2008.09.05 21:40  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    어 근데... 제가 지금 엄청난 착각을 하고 있는 건지 모르겠습니다만...

    "임의의 실수 x, y에 대하여 p" 이면 "q"이다. 이게 원래 문제의 의도이겠습니다만,

    임의의 실수 x, y에 대하여, "p이면 q"이다. 이렇게 해석해버리면 저 이의는 정당하지 않은지..?;;;;

    • Favicon of http://cubic3.woweb.net/blog BlogIcon 라임에이드 2008.09.05 22:56  댓글주소  수정/삭제

      "임의의 실수 x, y에 대하여, "p이면 q"이다" 도 참인데요.뭐가 다른진 모르겠지만..

    • Favicon of http://cubic3.woweb.net/blog BlogIcon 라임에이드 2008.09.05 22:57  댓글주소  수정/삭제

      임의의 이차정사각 행렬 A 에 대하여..로 착각하신건가요 혹시?

    • Favicon of http://brasidas.egloos.com BlogIcon bulchul 2008.09.06 15:15  댓글주소  수정/삭제

      엄청난 착각을 하고 계신거 맞는데요.

      일단 성분 x, y를 지니는 열벡터를 |x, y>로 표기할 경우:

      [임의의 실수 x, y에 대하여]
      [A|x,y> = |x,0> 이면](p) -> [A^2 = A이다.](q)

      일단 저 학생의 반례를 보자면

      |0 0|= A
      |1 0|

      A|x,y> = |0, x> =/= |x, 0>

      따라서 저 학생의 헛소린 일고의 가치도 없고요. (|0, 0>이라는 특수한 조건을 제외하면, 주어진 기본 조건조차 충족시키지 못합니다. 저래서는 임의의 x, y라는 조건을 걸어둘 이유가 없어지죠.) 두번째로, 쉼표를 어디에 찍든, 저 문제를 엎어치든 메어치든 두루치든 답은 바뀌지 않습니다. 엄청난 착각을 하고 계신 게 맞습니다.

      바른 해법이라면:

      A^2|x, y> = AA|x, y> = A|x, 0> = |x, 0> (1)
      A|x, y> = |x, 0> *By Definition* (2)

      (1) == (2), 그러므로 ㄱ항은 맞는 답입니다.

      ---------------------------------------

      이와는 논외로, p -> q 라는 명제를 보자면

      p q p -> q
      T T T
      T F F
      F T T
      F F T

      다른 말로, ㄱ항이 틀릴 수 있는 방법은 단 한가집니다. A|x, y> = |x, 0> 을 만족하면서 A^2 = A를 만족하지 않는 행렬 A가 존재할 경우 하나죠. (위의 바른해법에도 나오지만 그런 행렬은 존재하지 않습니다.)

      그렇다면 저 얼빠진 학생의 반례는? 당연히 그 경우에도 ㄱ항은 맞는 답입니다. (위의 T/F 테이블에 적혀있듯이 말이죠. 주어진 전제가 틀렸기때문에 결과가 의미가 없다는 이야깁니다.)

    • Raymundo 2008.09.06 15:23  댓글주소  수정/삭제

      bulchul님, 리플 중간에 댓글을 다시면 제가 매번 새로 달린 글 찾아보기 힘드니 새 리플로 달아주시면 더 좋을 것 같고요...

      "(|0, 0>이라는 특수한 조건을 제외하면, 주어진 기본 조건조차 충족시키지 못합니다. 저래서는 임의의 x, y라는 조건을 걸어둘 이유가 없어지죠.) 두번째로, 쉼표를 어디에 찍든, 저 문제를 엎어치든 메어치든 두루치든 답은 바뀌지 않습니다. 엄청난 착각을 하고 계신 게 맞습니다"

      |0,0>라는 특수한 조건을 제외할 일이 아니죠..

      "임의의 x,y에 대하여" 라는게 p만을 수식하는 게 아니라 p->q를 수식하는 걸로 해석을 한다면, x=0,y=0은 p는 참이지만 (왜냐하면 그때는 |0,x>=|x,0> 가 되니까) q는 거짓이라서 p->q가 거짓인 경우가 되는 거죠.. 이게 왜 제외할 특수한 조건이죠?

      행렬 계산부터 해야 되니까 자꾸 복잡해지는데, 요 아래 제가 "질문1." "질문2."라고 쓴 리플에 대해 좀 봐주시면 감사하겠습니다. 만일 답1,답2가 라임에이드님과 제가 적은 것과 동일하다면, 그 명제의 경우와 원래 행렬의 경우가 어떻게 다른지도 좀.

  5. Raymundo 2008.09.05 23:16  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    후자로 해석을 하면 말이죠... (행렬 안의 내용은 줄맞춰 적기 힘들어서 생략)

    "A()=()이면 A^2=A이다"라는 명제는, 임의의 실수 x,y에 대해 항상 참이다 -- 이렇게 고쳐 쓰면 더 명확하겠고요.

    이 경우, 저 스크린샷에 있는 말처럼,

    x=0, y=1일때는 저 명제가 참이 아닌 반례가 존재하는 거 아닌가요. 그 반례가 바로 A=(0 0 / 1 0) 인 경우고...


    (고교 졸업한 지 십수년 되어서;;; 감안하고 가르침 주시길 부탁드려요 ^^)

    • Raymundo 2008.09.05 23:43  댓글주소  수정/삭제

      아, 라임에이드님의 두번째 댓글 보니...

      문제를 후자로 해석할 경우 명제 부분에 A가 모든 A인지 어떤 A인지가 명시가 안 되고 있습니다만... 그런 경우는 모든A로 보지 않나요?

    • Favicon of http://cubic3.woweb.net/blog BlogIcon 라임에이드 2008.09.06 00:31  댓글주소  수정/삭제

      전혀 그렇지 않은데요.
      모든 A인지 명시되지 않았는데 모든 A로 본다는건 논리적으로 말이 안되는거 같습니다.
      그렇게 따지면 왜 x와 y는 굳이 잉크 아깝게 '임의의'를 붙였을까요...

    • Favicon of http://cubic3.woweb.net/blog BlogIcon 라임에이드 2008.09.06 00:44  댓글주소  수정/삭제

      음 말투가 너무 센거 같아서 고치려고했는데 수정이 안되네요. 조금 자세히 설명을 해보겠습니다.

      ㄱ 에 보면 ~이면 ~이다 라는 문장이 있지 않나요? 그 문장은 이렇게도 바꿔쓸 수 있을것 같습니다.

      ~를 만족하는 A에 대해서는 ~가 항상 만족한다.

      말씀하신대로 임의의 실수~ 부분은 뺀거지요. 그렇다 할지라도 모든 A에 대해서 만족하는게 아님은 분명히 볼 수 있습니다.

      글고 저 학생의 문제제기에 대해서...
      영행렬이 나옵니다까진 잘 풀었습니다. 그래서 뭐가 틀렸다는걸까요?

    • Raymundo 2008.09.06 00:52  댓글주소  수정/삭제

      글쎄요? 그게 논리적으로 맞다 아니다 할 일인지... 저는 단지 "개는 동물이다"라고 말할 때는 당연히 '모든 개'로 생각하는 경험에서 한 말입니다만 ^^; 그리고 명시되지 않았기 때문에 '모든'이라고 생각하면 안 된다면 '어떤'이라고 생각해도 안 되지 않은지. 게다가 '어떤'경우에만 해당되는 거라면, 즉 되는 때도 있고 안 되는 때도 있다면 그 경우가 더 생략하면 안 될 것 같은데요.

      뭐 어쨌거나 그건 수학 명제의 원칙은 제가 모른채로 언어의 의미에 대해서 제 생각일 뿐이니 그렇다치고.. 그럼 '모든'이 명시되어 있다고 한다면... 아예 새로 적죠.

      "'모든 이차정방행렬A에 대하여 A()=()'이면 'A^2=A'이다" 라는 명제는, 임의의 x,y에 대하여 항상 참이다.

      이건 틀린 건 맞습니까?;;;

      (제가 자꾸 항의하듯이 되는데 ^^; 전 저 문제가 어떤 의미이고 따라서 이의제기한 게 왜 잘못인지는 잘 알고 있습니다)

    • Favicon of http://cubic3.woweb.net/blog BlogIcon 라임에이드 2008.09.06 01:10  댓글주소  수정/삭제

      음 밑에 썼습니다만...일단 저 학생의 문제는 ㄱ을 어떻게 해석했든, ㄴ과 ㄷ을 해석하는 방법과 '달랐다'는 점입니다. 내적 일관성이 없다고나 할까요. 차라리 일관성이 있게 틀렸으면 레이문도님 말씀이 맞았을 수 도 있지요.

      그리고 제시해주신 다른 문제에 대해서는...뭐 다른 경우도 있는진 모르겠지만 일단 (0,0)에 대해서는 거짓이 되겠네요. 아무 행렬이나 갖다 붙여도 AO=O이니...(임의의 x,y에 대해서라고 하셨으니) 결국 그 문장 전체가 거짓이군요. 틀린거 맞습니다.

      아 그러고보니 영벡터에 O를 쓰는게 아니었던거 같기도 한데...-_-;

  6. Favicon of http://cubic3.woweb.net/blog BlogIcon 라임에이드 2008.09.06 00:57  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저 학생+레이문도님식으로 ㄴ 과 ㄷ도 풀어보겠습니다.
    ㄴ. (0,0)에 대해서 행렬 A={(1,1),(1,1)}이 앞의 식을 만족하는데, A^3={(4,4),(4,4)}!=A이므로 ㄴ도 틀렸네요.

    ㄷ. (0,0)에 대해서 행렬 A={(2,0),(0,2)}가 앞의 식을 만족하는데, A^-1={(0.5,0),(0,0.5)}=A이므로 틀렸습니다.

    보기에 답이 없군요.

  7. Raymundo 2008.09.06 01:10  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    (자꾸 댓글 시차가 엇갈려서... 지우고 새로 씁니다)

    음 바로 위의 것은 두번째 달아주신 건 못보고 단 답글이고요,

    아 듣고보니 제가 좀 잘못 쓴 걸 알았는데.. 어느 쪽이든 간에 A는 '모든A'는 당연히 아니고 p:A()=()를 만족하는 A만 가리킨다는 건 맞습니다.

    아무래도 글로만 얘기하니까 자꾸 핀트가 빗나간다는 생각이 들어서... 좀 단순한 명제로 바꿔보겠습니다. 십수년전 배운 고교과정 기억으로 자꾸 이러기도 민망합니다만... :-)

    1) "임의의 x에 대하여 ax = x" 이면 "a = 1"이다

    ==> 이건 분명히 옳은 거죠?

    2) 임의의 x에 대하여, ' "ax = x"이면 "a = 1" '이다

    2') "ax = x이면 a = 1이다"라는 명제는, 임의의 x에 대하여 참이다.

    질문1. 2)와 2')는 동일한 말인 게 맞습니까? 저는 그렇게 생각했던 거고요.

    질문2. 2)와 2')는 각각 옳은지요 그른지요? (동일하다면 둘다 옳든지 둘다 그를테고, 동일한 말이 아니라면 같을 수도 있고 다를 수도 있겠지요)

    • Favicon of http://cubic3.woweb.net/blog BlogIcon 라임에이드 2008.09.06 01:16  댓글주소  수정/삭제

      답변 1. 동일합니다.
      답변 2. 그릅니다. x=0일 때, a=2일 경우 2*0=0 이지만 a=2!=1이 됩니다. 따라서 임의의 x에 대해 성립하지 않습니다.

  8. Raymundo 2008.09.06 01:13  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    임의의 x에 대하여 ax = x이면 a = 1이다

    이걸 1)로 해석하는게 맞다고 저도 생각하고요, 따라서 여기에 대해서 "x=0일 때 a가 3이라도 ax=x인데 a=1이 아니니 옳지 않다"라는게 본문에 있는 이의제기인 거고, 그게 잘못이란 건 저도 아니까요..

  9. 斯文亂賊 2008.09.06 12:00  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    훔... 왜 우리나라 고등학교 수학교과서에 [연속]을 제대로 정의해 놓지 않았는지 짐작이...
    [임의(任意)의 ε>0에 대하여 적당한 δ>0가 있어서...]로 시작하는...(한자말이 넘 어려운 건가...)ㅠ.ㅠ
    ┗(-,.─;;)┓=3=3=3

  10. Favicon of https://blog.hshin.info BlogIcon Ens 2008.09.06 13:00 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    Raymundo 님이 지적하신 것 처럼,
    (∀x p(x)) -> q 와 (∀x) (p(x) -> q)는 각각 (∃x) (¬p(x)∨q)와 (∀x) (¬p(x)∨q) 동치가 되어 차이가 생기는 군요.
    문장에서 콤마 하나를 넣었으면 확실할 텐데 말이죠.

    • Raymundo 2008.09.06 15:25  댓글주소  수정/삭제

      아... 저도 첨부터 이렇게 문자표를 뒤져서라도 기호를 쓸 걸 그랬나봐요, 매번 길게 말로 쓰려니 힘들어서... ^^;;;

  11. 투더리 2008.09.06 16:14  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    그런데, 정말 고딩때부터 궁금한 게 있어요. 저 "임의의 실수"라는 말은 어떤 실수를 골라서 넣어도 좋다라는 뜻일 텐데, 그러면 왜 "모든 실수"라는 표현을 안 쓰고 굳이 "임의의 실수"라고 하는 거죠...?

    • 양군 2008.09.06 18:08  댓글주소  수정/삭제

      영어의 arbitrary를 직역한 결과겠죠. (일본 수학용어일 가능성도 있는데 잘 몰라서..) 그리고 수학에서 "적대적 논증"이라는 개념하고도 관련이 있는거 같습니다. 즉 논란이 된 문제의 예를 들자면, 저 상금을 원하는 학생이 특정한 A를 골라서 A^2!=A라고 결론내렸다면, 역으로 이러한 특정 행렬 A에 대해서 임의의 (x,y)가 Ax=(x,0)을 만족하는지 검증해야 되겠죠.
      대신 저 학생이 "임의의"라는 말을 "내가 유리한 조건으로, 내 마음대로 선택한다"고 해석했듯이, 이번에는 "반박하려는 사람이 유리한 대로" (x,y)를 선택해도 명제가 성립해야 되는거죠. 말이 어렵나...

  12. Favicon of http://brasidas.egloos.com BlogIcon bulchul 2008.09.06 17:18  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    > |0,0>라는 특수한 조건을 제외할 일이 아니죠..

    A|x, y> = |x, 0> 이라는 조건을 행렬 A가 만족한다면, 그 행렬 A에 영벡터로 연산을 시켜도 역시 조건을 만족시킬겁니다만, 그 역은 참이 아닙니다. 다른 말로, 영벡터로 연산을 시켰더니 어느 특정 행렬 A로도 조건이 만족되었다면, 그것이 옳은 A 행렬을 구했다는 이야기일까요? 전혀 아닙니다. 위에 어느 분께서도 리플을 달았듯이, a*0 = 0 의 등식에서 a의 값을 도출해낼 수는 없는거거든요. (주객이 전도되는 현상이군요.)

    그래서 영벡터를 '제외'한다는 이야길 썼을 뿐이죠. (영벡터 연산은 언제나 항등식이기 때문입니다. 영벡터의 경우를 배제해야 한다는 이야기가 아님을 유념하시길)

    • Raymundo 2008.09.06 17:23  댓글주소  수정/삭제

      뭐라 할 말은 많습니다만 또 쳇바퀴 돌 것 같고...

      "a*0 = 0 의 등식에서 a의 값을 도출해낼 수는 없는거거든요."

      아니 그러니까 제말도 그 말이거든요... -ㅅ-

      라임에이드님과 제가 간신히 같은 곳에 도달한 부분 다시 짚어보죠. 다시 위에 가서 찾아보실 필요없이 새로 적을테니까, 행렬 얘기는 하지 말고 아래 얘기에서 답변 좀 해주시면 감사하겠습니다. :-)

      0) 임의의 x에 대하여 ax=x이면 a=1이다.

      1) "임의의 x에 대하여 ax = x" 이면 "a = 1"이다

      (추가) 기호로 나타내면 (∀x p(x)) -> q 가 되겠습니다.

      ==> 이건 분명히 옳은 거죠?

      2) 임의의 x에 대하여, ' "ax = x"이면 "a = 1" '이다

      (추가) 이건 기호로는 (∀x) (p(x) -> q) 가 되겠군요.

      2') "ax = x이면 a = 1이다"라는 명제는, 임의의 x에 대하여 참이다.



      질문1. 2)와 2')는 동일한 말인 게 맞습니까? 저는 그렇게 생각했던 거고요.

      질문2. 2)와 2')는 각각 옳은지요 그른지요? (동일하다면 둘다 옳든지 둘다 그를테고, 동일한 말이 아니라면 같을 수도 있고 다를 수도 있겠지요)

      질문3(추가). 0)에서 "임의의 x에 대하여"가 "어디를 수식"하느냐에 따라서 1)과 2) 두 가지의 해석이 나올 수 있다...라는 것에는 동의를 하십니까? 이 질문은 "쉼표를 어디에 찍든, 저 문제를 엎어치든 메어치든 두루치든 답은 바뀌지 않습니다."라고 말씀하신 것 때문에 드리는 말씀입니다. 저는 쉼표를 어떻게 찍냐(또는 괄호를 어떻게 붙이냐 또는 숨을 어디서 끊어 쉬느냐 아니면 뭐가 됐든지간에)에 따라 2)로 해석하는 경우가 생길 여지가 혹시 있지 않습니까..라고 처음 시작을 한 거고요. 이걸 "우리 수학자들끼리는 0)처럼 쓰면 무조건 1)로 해석하게 합의가 되어 있다"라면 그걸로 그만이고, 그런 합의란 게 없다면 그 다음은 국어학자들의 영역으로 갈 것 같군요. 그리고 다시 얘기하지만 (정말 구차해지는 느낌이ㅋ) 저도 0)을 보면 1)로 해석을 할 거고 따라서 2)를 들어서 "0)은 옳지 않다"라는 이의는 잘못이라고 했을 겁니다.

    • 양군 2008.09.06 18:26  댓글주소  수정/삭제

      /raymundo

      다른 해석이 가능하긴 합니다. 예를들어서 만일 이 문제가 수능문제고, 오답을 제출한 학생이 너무 많아서 논란이 법원으로 까지 간다면 판결의 핵심은 "정규 수학교과 과정에서 <임의의>라는 표현의 수학적 용법에 대해 정확하게 가르쳤느냐, 정확히 가르치지 않았느냐"가 될 겁니다.

      그러나 님이 지적한것 같은 논리적인 해석의 문제는 전혀 아닙니다. (제말 믿으셔도 됩니다. 위에 "적대적 논증"에도 썼지만 님의 해석에 따르더라도 같은 방식으로 그걸 다시 반박할수 있습니다.) 행렬이라는 눈속임 때문에 함정에 빠지신것 같은데, 행렬이 아니라 연립방정식으로 두고 항등식을 끌어내는 조건을 생각해 보시면 혼란이 덜 할겁니다.

      어쨌든 1차적인 책임은 수학교과 결정자들에게 있다고 봅니다. 왜 고등학교 수학에서 양화사의 용법을 전혀 가르치지 않는지? (적어도 7차 10-가 에는 없습니다.)뭐 어려운 개념도 아니고 말이죠. 특히 수학에서 "임의의"라는 표현은 "모든 경우"를 뜻하지 "어떤 특정한 x를 자유롭게 고르고 난 후"가 아니라는 뜻을 분명히 가르쳐야 되죠.

  13. Raymundo 2008.09.06 21:03  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    양군/

    그래서 행렬 대신에 ax = x 이걸 가지고 얘기를 하고 있습니다만 ^^; 그니까 행렬은 잊고... 저 0) 1) 2) 2') 가지고 얘기했으면 좋겠고요. ^^

    말씀하신 적대적 논증 얘기 말인데요,

    "님의 해석에 따르더라도 같은 방식으로 그걸 다시 반박할수 있습니다."

    그러면 2')도 참인가요? 다시 복사해서 쓰면

    2') "ax = x이면 a = 1이다"라는 명제는, 임의의 x에 대하여 참이다.

    2')는 거짓, 즉 옳지 않다..라고 생각합니다만, 그렇지 않다는 말씀이시라면 그 "같은 방식으로 반박"을 어떻게 하는지 가르쳐주시면 감사하겠습니다.. 전 도저히 떠오르지 않거든요;;;

    아, 반박을 하려면 제 쪽에서 먼저 옳지 않다는 주장의 근거를 대야 할테니.. 위에 라임에이드님 쓰신 거 그대로 복사해오죠.

    "x=0일 때, a=2일 경우 2*0=0 이지만 a=2!=1이 됩니다. 따라서 임의의 x에 대해 성립하지 않습니다."

    • 양군 2008.09.07 01:40  댓글주소  수정/삭제

      마지막 두 줄은 잘못된 논증이네요. 쉽게 풀어 써 보면 아래와 같습니다.


      x=0이고 a=2라고 합시다. 이때 2*0=0이고 (당연히) a!=1이 성립합니다.


      그런데 바로 위의 두 문장 중에 "a=2라고..성립합니다"는 x의 값과 무관한 항진 명제입니다. "임의의 x에 대해 1+1=2이다"가 항상 참인것과 같은 논리죠. 그러므로 님의 "따라서 임의의 x에 대해 성립하지 않습니다"라고 한 진술은 거짓이 됩니다.


      근데 적대적 논증이란 이런 말꼬투리 잡기를 뜻하는게 아니고.. 그건 담번에..ㅋㅋ 리플의 요지는 일체의 "암묵적 약속"을 거부할 경우 모의고사 문제 하나 인쇄하는데 갱지2장이 필요한 한반도대운하적 사태가 올수도 있다는겁니다. 윗 리플에 다른분이 "쉼표 하나라도 찍어 줬다면.."이라는데, 그건 문제상의 줄바꾸기 만으로도 충분히 같은 배려를 했다고 봅니다.

      그리고 고등학교 수학 과정에서도 양화사 정도는 가르쳐야 된다.. 그정도입니다.

  14. Raymundo 2008.09.07 01:45  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    양군/ 음.. 뭔가 알듯 말듯 합니다. 말듯..에 해당하는 부분 조금만 더 질문드릴께요 ^^ 귀찮으시겠습니다만...


    질문1.

    > 그런데 바로 위의 두 문장 중에 "a=2라고..성립합니다"는 x의 값과 무관한 항진 명제입니다.

    위 말씀(과 그 뒤까지 이어진 문단)이 잘 모르겠는데요..

    어째서 x의 값과 무관하죠? x가 0이니까 2*0=0 (따지고보면 2*x=x였고) 인 것이지, x가 0이 아닐때는 달라지는데요..;;;


    질문2.

    이 질문이야 말로 말꼬투리 잡는 것 같아서 좀 그렇습니다만.. 양군님께서 쓰실때 "a!=1이 성립합니다"라고 쓰셨는데, 제가 쓴 건 "a=1이 성립하지 않는다"죠.. 두 말이 같은 말이니까 그 표현이 문제는 아닌데, 그 바로 뒤에

    > "따라서 임의의 x에 대해 성립하지 않습니다"라고 한 진술은 거짓이 됩니다.

    라고 쓰셔서... 혹시나 "임의의 x에 대해 성립"하는지 마는지 문제가 되는게 "a!=1"이라고 혼동하신 건 아니시겠죠? (아닐 거라 생각합니다만 확실히 해두려고 ^^;)


    질문3.

    질문1이... 어쨌거나 제가 잘 몰라서 납득을 못하는 거라 치고...

    그래서 결국, 제가 위 리플에서 질문드린
    "2')는 참인가요?"
    의 답은 뭔가요? 거짓이 아니란 말씀이시라면, 참입니까? 아니면 참/거짓을 말할 수 없는, 애초에 명제가 아닌 겁니까?

    여기도 노파심에서 확실히 해두면... 2')의 마지막 부분이 "..대하여 참이다"라고 끝나고 있는데, 그 '참'이라고 적힌 자리에 들어갈 게 참이냐 거짓이냐를 여쭈는 게 아닙니다.. ' "..대하여 참이다"라는 말은 참이냐? '라고 여쭈고 있는 거죠.


    마지막에 쓰신 리플의 요지 부분은 동감입니다ㅎㅎ :-)

    • 양군 2008.09.07 02:30  댓글주소  수정/삭제

      그러니까 요지는 <내가 언급한 x는, 동떨어진 변수가 아니라, 바로 위의 문단에서 언급했던 "바로 그 x"다. 그런 관점에서 봐야 한다.>라는 주장이신가요?

      과연 그렇게 생각하니 님의 말이 맞네요. 그런 '관점'에서 보자면 2')는 거짓입니다. 그런데.. 왜 그래야 되죠? 제가 해석하기에는 맨 아래 두 문장은 리플의 다른 내용과는 관계없는 독립적인 내용입니다. 님의 주장 처럼 그렇게 '해석'할 수는 있겠죠. 그런데 그 '해석'이 제 '해석'보다 낫다는 근거는 뭘까요?

      수학자들의 합의..? 국어학적 근거?

  15. Raymundo 2008.09.07 07:52  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    양군/

    저기 죄송한데... 계속 "바로 위의" "맨 아래" 이렇게 쓰시니 어느 거 말씀하시는 지 잘 모르겠습니다.

    제 요지는 제일 처음 리플에 썼고 중간에 다시 언급한 것처럼, 단지 질문일 뿐입니다.

    "
    * 문제의 보기ㄱ
    ** 행렬 대신 방정식으로 단순화시켰다면 0)
    그게 옳은 문장이란 건 알겠다, 그리고 저 이의제기가 왜 잘못인 것인지도 충분히 안다. 그런데 그건 문제의 문장을
    * (임의의 x,y에 대해서 p) -> q
    ** 방정식을 사용한 형태에서는 1)
    라고 했을 때 옳은 거고 (이 때 옳다는 건 분명하고 저 또한 문제를 저렇게 해석하겠지만)
    * 임의의 x,y에 대해서 (p -> q)
    ** 방정식을 사용한 형태에서는 2) 또는 2')
    이렇게 해석할 여지가 전혀 없느냐? 또한, 그렇게 해석할 여지가 있고 없고를 떠나서, 2)는 거짓인 건 아닌가?
    "
    입니다...


    > 님의 주장 처럼 그렇게 '해석'할 수는 있겠죠. 그런데 그 '해석'이 제 '해석'보다 낫다는 근거는 뭘까요?

    > 수학자들의 합의..? 국어학적 근거?

    양군님의 해석과 제 해석의 차이란 게 뭘 말씀하시는 지 모르겠는데, 제 관심사는 0)을 1)로만 해석해야 하는가 2')로도 해석할 여지가 있는가일 뿐이었고...

    "양군님의 해석"이란 게,

    "0)은 1)로만 해석해야 한다"라시면 그건 제가 물은 것에 대한 답으로 제가 쉽게 받아들일 수 있습니다. 제가 위 중간에 적었듯이 "수학자들끼리는 원래 0)형태를 보면 1)로만 해석한다"라고 합의가 되어 있을 수도 있고, 국어에서 그렇게 가르칠 수도 있는건데 어느쪽이든 전 모르니까 여쭈는 거였으니까요.

    근데 양군님의 해석이라는 게 그 얘기는 아닌 듯 싶고... "2')로 해석해도 2')에서 x를 보는 관점이 어떠냐에 따라서 2')도 참이 될 수 있다"라는 말씀 같기도 합니다만... 그렇다면 그 이유는 도저히 지금처럼 리플로 주고받고 해서는 제가 이해를 못하겠다는 생각이 듭니다. (고등학생 때였다면 할 수 있었을지... 머리가 굳어서ㅠ,.ㅠ) 직접 대면한 상태에서 배워야 할 것 같군요.

    시간내주셔서 감사하고요ㅎㅎ 아무래도 더 이상 진행하는 건 의미가 없을 것 같네요. 더 답글 안 주셔도 괜찮습니다. :-)

    • 양군 2008.09.07 14:46  댓글주소  수정/삭제

      예.. 님에게 화를 냈던건 아닌데. 암튼

      >"수학자들끼리는 원래 0)형태를 보면 1)로만 해석한
      >다"라고 합의가 되어 있을 수도 있고, 국어에서 그렇게
      >가르칠 수도 있는건데 어느쪽이든 전 모르니까 여쭈는 거
      >였으니까요.

      뭐 굳이 말하자면 그런 합의가 돼 있다고 보시는게 맞습니다. "나는 오늘 2년만에 집에 들어가서 어머니를 만났다. 그녀는 몹시 화가 난 표정이었다."라는 문장을 소설책에서 읽으면 누구나 '그녀'를 어머니로 해석하는것 하고 마찬가지죠.

      그런데 이런 '합의'가 무슨 규정집 같은 곳에 적혀있는건 아니죠. 이걸 규정집에 적는다면.. 대체 어떤 방식으로 적을것이며 또 그 규정집은 얼마나 두꺼워야 할까요? 그냥 당연한거고, '그녀'가 어머니가 맞느냐, 다른 여성인가는 뒤에 이어지는 문장들을 계속 읽으면 저절로 알수 있는거죠. 그걸 가지고 어떤 외국인이 "그게 왜 하필 어머니냐? 알고보면 누나나 이모일수도 있지 않느냐? 한국의 소설가들 사이에서는 이 대목에서 '그녀'라고 하면 꼭 어머니로 해석해야 된다는 합의가 있느냐?"라고 반복해서 묻는다면, 별로 생산적인 대화를 기대할 수는 없겠죠.

      위의 문제를 저 학생이 제기한 방식으로 해석하면, 원래 출제 의도보다 약간 더 복잡한 명제가 되는데.. 즉 출제위원들이 더 복잡한 명제를 일부러 오해 가능하게 간단하게 줄여 썼다는 얘기가 되는데, 그럴 이유가 있을까요? 그런얘기였습니다. 혹시 제 리플에서 기분나쁜 부분이 있었다면 사과드립니다.

  16. 즈부리우 2008.09.08 02:08  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이정도 차이가 아닐까요.

    1.
    친구)야 이거 한번 풀어봐
    나)뭔데?
    친구)ax=x라는 식이 성립하는데, a가 뭐지?
    나)x에 무슨 조건 없냐?
    친구)x는 임의의 수라는데
    나)1이지 병시나...

    2.
    친구)야 뭐좀 물어보자
    나)뭔데?
    친구)ax=x라는 식이 성립하면 a는 1이냐?
    나)x가 뭔데?
    친구)너 수학 잘한다메 풀어조 징징징
    나)뭐병시나...