달력

2

« 2020/2 »

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15
  • 16
  • 17
  • 18
  • 19
  • 20
  • 21
  • 22
  • 23
  • 24
  • 25
  • 26
  • 27
  • 28
  • 29

'물리법칙으로 수학 문제 풀기'에 해당되는 글 1

  1. 2008.12.20 중딩용 난문 (8)
2008. 12. 20. 12:06

중딩용 난문 Math2008. 12. 20. 12:06

dc 수학갤러리에 올라온 문제.



삼각형 ABC에서 변 BC의 중점을 D, 변 AB의 사등분점을 E, F, G라 하자. 선분 AD와 세 선분 CE, CF, CG의교점을 각각 H, I, J라 할 때, AH:HI:IJ:JD의 비를 구하여라.

이런 종류의 문제는 체바(Ceva)의 정리메넬라우스(Menelaus)의 정리를 쓰면 간단하지만 정규 교과 과정에서 배우지는 않는다. 중학교 교과서에 나오는 방법으로 풀려면 꽤나 복잡한 문제이고, 그나마 나은 게 고등학교에서 배우는 벡터를 이용하는 것이지만 이 또한 간단치는 않다. 중학생뿐만 아니라 고등학생에게도 난문인 셈.

그런데 이 문제를 물리적인 사고를 통해 직관적으로 해결하는 방법이 있다.

먼저 이 삼각형을, 선분 CG가 겹쳐지도록 한 직선 위에 올렸다고 생각해 보자. 삼각형이 어느 쪽으로도 기울지 않으려면 점 B가 점 A보다 3배 무거우면 된다. 한편, 선분 AD를 직선 위에 올리면, 점 B와 점 C의 무게가 같아야 어느 쪽으로도 기울지 않는다. 따라서 세 점 A, B, C의 무게를 각각 1, 3, 3으로 생각할 수 있다.

이제 바늘 위에 점 J가 오도록 삼각형을 올리면, 이 삼각형은 어느 쪽으로도 기울지 않아야 하는데, 선분 AD를 생각하면, 점 A의 무게는 1이고, 점 D에는 점 B와 점 C의 무게를 합친 6만큼의 무게가 있는 것으로 생각할 수 있다. 따라서 AJ:JD = 6:1이 되어야 한다. 같은 식으로 선분 CG를 생각하면, 점 C의 무게는 3이고 점 G에는 무게 4(=1+3)가 걸려 있는 것으로 생각할 수 있으므로 CJ:JG = 4:3이 된다.

이제 삼각형 AGC를 생각하자. CJ:JG = 4:3이므로, 점 C의 무게를 3, 점 G의 무게를 4로 생각할 수 있다. 이 삼각형의 선분 CF를 직선 위에 올린 경우를 생각하면 점 G의 무게가 점 A 무게의 두 배가 되어야 삼각형이 기울지 않으므로, 세 점 A, G, C의 무게는 2:4:3이 된다. 선분 AJ를 생각하면, 점 J에 점 C와 점 G의 무게를 합친 7의 무게가 걸려 있는 것으로 생각할 수 있으므로 AI:IJ = 7:2가 된다. 같은 식으로 CI:IF = 6:3 = 2:1이 된다. 이것은 점 I가 삼각형 ABC의 무게중심이라는 사실로부터도 알 수 있다.

마지막으로 삼각형 ACE를 생각하면, 세 점 A,F,C의 무게를 2:2:1로 생각할 수 있다. 따라서 AH:HI = 3:2가 된다.

이상의 결과를 정리하면,

AH:HI = 3:2, AI:IJ = 7:2, AJ:JD = 6:1

이고, AH+HI가 7의 배수가 되도록 하면

AH:HI = 3x7:2x7 = 21:14, AI:IJ = 7x5:2x5 = 35:10, AJ:JD = 6:1

이고, 다시 AI+IJ가 6의 배수가 되도록 하면

AH:HI = 21x2:14x2 = 42:28, AI:IJ = 35x2:10x2 = 70:20, AJ:JD = 6x15:1x15 = 90:15

가 되어, 

AH:HI:IJ:JD = 42:28:20:15

임을 알 수 있다.

  @ 책도 논문도 모두 집에 두고 오는 바람에, 문화센터에서 우리 딸 수업이 끝나기를 기다리다 심심해서...

'Math' 카테고리의 다른 글

선생님들, 이런 문제는 내지 마세요 1  (27) 2009.01.16
퍼즐 협회  (2) 2009.01.16
중딩용 난문  (8) 2008.12.20
미디어 다음 오늘의 인물  (3) 2008.12.19
1995의 비밀  (2) 2008.12.17
Winter School 시간표  (7) 2008.12.09
Posted by puzzlist

댓글을 달아 주세요

  1. Favicon of http://morelogue.net/blog BlogIcon erte 2008.12.20 14:44  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    오오 신비하군요. 하지만 고등학교 교내 시험에서 저렇게 풀었다간 0점을 면치 못할것 같은 생각이 드는건 저뿐인가요;; ㅋㅋ

  2. 김대성 2008.12.21 00:37  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    잘 봤습니다. 중학생도 비교적 쉽게 할 수 있습니다. AH:HD을 알고 싶다면, D에서 AH에 평행선으면 됩니다. AB와 교점을 X라고 하면, EX:XB=3:3 AE:EB=2:6이므로, AE:EX=AH:HD=2:3입니다. 또, 다른 방법도 있습니다. A,B에서 CE에 내린 수선의 길이비가 1:3=2:6입니다. 또, D,B에서 CE에 내린 수선의 길이비가 1:2=3:6입니다. 그러므로 A,D에서 CE에 내린 수선의 길이비가 2:3이고 그것은 AH:HD입니다. 선배님 책을 통해서, 좋은 퀴즈를 많이 접하게 되었습니다. 감사합니다. 까마득한 수교과 후배(95)였습니다.

  3. 중딩 2008.12.22 02:05  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    체바의 정리를 이용해서 푸는건 어떻게하는거죠?

    방문객분들 힌트좀 ;;; ㅠㅠ

  4. Favicon of http://blog.naver.com/jadeviki BlogIcon 제이드군 2009.02.11 02:50  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    중학생용 풀이로는 이것이 더 좋지 않을까요?
    원래 그림을 D를 중심으로 180도 회전시킨 그림을 더 그립니다.
    삼각형AHE:삼각형A'HC = 1:4. 따라서 AH:HA'=1:4
    삼각형AIF:삼각형A'IC = 2:3. 따라사 AI:IA'=2:4
    삼각형AJG:삼각형A'JC = 3:4. 따라서 AJ:JA'=3:4
    따라서 AH:HI:IJ:JD
    =
    (1/5):(1/3-1/5):(3/7-1/3):(1/2-3/7)
    1/5 : 2/15 : 2/21 : 1/14

  5. 뒷북 2009.08.31 13:03  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    그냥 D에서 AB에 평행한 직선을 긋는 편이 빠르지 않은가요?
    그 직선이 CA, CE, CF, CG와 만나는 점을 각각 A', E', F', G' 이라고 하면
    AJ:DJ = AG:DG' = 6:1
    AI:DI = AF:DF' = 2:1
    AH:DH = AE:DE' = 2:3
    DJ = 1/7 AD
    DI = 1/3 AD => IJ = 1/3 - 1/7 AD = 4/21 AD
    DH = 3/5 AD => HI = 3/5 - 1/3 AD = 4/15 AD
    AH = 2/5 AD
    고로 비율은 2/5 : 4/15 : 4/21: 1/7 = 42:28:20:15