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'사칙연산'에 해당되는 글 3

  1. 2008.04.02 사칙연산과 환원주의 (1)
  2. 2008.04.02 사칙연산과 pgr21 (7)
  3. 2008.03.28 사칙연산과 괄호 (10)
2008. 4. 2. 20:58

사칙연산과 환원주의 Math2008. 4. 2. 20:58

사칙연산과 괄호
사칙연산과 pgr21

뭔가 제목이 거창해 보이지만 페이크고...

pgr21 게시판에서 "곱셈을 덧셈보다 먼저 하는 게 당연하다"고 주장하는 사람들의 논리를 보니 일종의 환원주의라는 생각이 든다. 그 논리인즉슨, "곱셈은 덧셈을 간단히 표현한 것이니까 곱셈을 덧셈으로 바꿔 넣는다고 생각하면 곱셈을 먼저 하는 것이 당연하다"라는 것인데, 그냥 척 봐도 반론을 생각할 수 있겠다.

우선, 곱셈이라는 연산이 단순히 덧셈을 간단히 표현한 것은 아니라는 점이다. \(2\times3=6\) 같은 거야 2를 3번 더한 것이지만, \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\)는 어쩌라고? \(\sqrt{2}\)를 \(\sqrt{2}\)번 더하나? 어떤 점에서는 트집 잡기...

또, 곱셈이 덧셈을 간단히 표현한 것이라고 하더라도 문제이다. 왜 굳이 곱셈을 "먼저" 덧셈으로 바꾸어야 한단 말인가? \(1+2\times3\)에서 \(2\times3\)을 \(2+2+2\)로 먼저 바꾸어야 할 논리적인 이유가 있는 것은 아니지 않은가? 이것은 그저 "곱셈을 먼저 계산한다"라는 규칙을 표현만 바꾼 것뿐이다.

이런 예를 생각하면 좀더 분명해질 것 같다. 정수의 뺄셈은 덧셈에 대한 역원을 이용하여 모두 덧셈으로 바꿀 수 있다. 그렇다면 연산에 대한 우선순위를 생각하지 않은 상태에서, \(1-2\times3\)은 \((1+(-2))\times3\)로 바꿀 수도 있고, \(1-(2+2+2)\)로 바꿀 수도 있다. "어느 쪽을 먼저 바꿔 넣느냐"는 것은 결국 "어느 연산을 먼저 하느냐"와 똑같은 얘기가 된다.

아무튼 결론은

루나러브굿 님과 투명드래곤 님 속 터지시겠습니다. -_-;
@ 진도가 안 나가면 이러고 놂.... OTL

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Posted by puzzlist

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  1. 유치원생 2008.04.22 05:07  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    곱셈을 먼저하는 이유가 같은결과를 유도하기 위한 계산을 할때 괄호의 개수를 최대한 적게하기위해 그렇게 정한걸로 알고있습니다.

2008. 4. 2. 17:23

사칙연산과 pgr21 Math2008. 4. 2. 17:23

방문자 유입 경로를 보니 pgr21.com이 여럿 나와 있었다. Unofficial Progamer Ranking Site라고 하는데, 프로고 아마고 게이머와는 관련이 없는 이곳을 어쩌다 오셨나 싶어 보니, 사칙연산에서 왜 덧셈보다 곱셈을 먼저 하는지에 대해 200개가 넘는 댓글로 격론이 벌어지고 있었다.

두뇌 풀 가동!! - prg21.com 유머게시판

질문을 하는 쪽은 "곱셈을 덧셈보다 먼저 하는 논리적인 이유가 있는지"를 묻는데, 일부 사람들이 "곱셈이니까" 정도의 답변(-_-;)을 하다보니 댓글이 무진장 길어진 것이었다.

그 과정에서 내가 썼던 글(사칙연산과 괄호)을 투명드래곤 님이 링크해 놓으셨고.

댓글들을 쭉 읽어본 소감은...

루나러브굿 님, 속 터지시겠습니다. -_-;

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Posted by puzzlist

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  1. Favicon of http://lenji.tistory.com BlogIcon Lenji 2008.04.02 19:09 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    '곱셈을 먼저 하는건 그래야만 올바른 결과가 나오기 때문이라던가, 논리적으로 오류가 생기는 것을 방지하기 위해서이다.' 가 아닌,
    '덧셈부터 먼저 해야 올바른 결과가 나올 수도 있고, 덧셈부터 먼저 해도 논리적 하자는 없으나, 괄호 생략 등의 필요성에 따라 정한 그저 하나의 편의일 뿐' 이라는 것인가요?

    돌머리 문과생이 이해하려니까 좀 머리 아프네요....

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2008.04.02 20:22 신고  댓글주소  수정/삭제

      1. 두 수 사이에 연산 기호를 쓰는 방식(infix)에서는 연산의 우선 순위를 표시하기 위한 괄호가 필요하다.
      2. 괄호를 일일이 다 쓰는 것은 보기에 불편하므로 덧셈이든 곱셈이든 괄호 없이 먼저 계산하도록 우선 순위 정하면 편하다.
      3. 덧셈 우선으로 순위를 정한 표기법도 얼마든지 생각할 수 있지만, 현재 우리가 사용하는 표기에서는 곱셈 우선, 즉 곱셈을 먼저 하도록 표시하는 괄호는 생략한다.

      이 정도가 되겠습니다.

  2. Favicon of https://www.valken.net BlogIcon 이쁜왕자 2008.04.03 09:07 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    루나러브굿 님, 속 터지시겠습니다. x2

  3. Favicon of http://agbird.egloos.com BlogIcon gimmesilver 2008.04.03 11:10  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    순환논리의 오류인듯...ㅋ
    2+2*2 = 2+2+2 인 이유는 곱셈을 먼저 했으니까...왜 곱셈을 먼저했냐구? 그래야 2+2*2 = 2+2+2가 되잖아~

    참고로 J라는 언어는 연산자들이 모두 오른쪽 우선 순위를 갖습니다. 그게 더 표기에 편리하기 때문이죠. 관련 글 트랙백겁니다...

  4. Favicon of http://totohero.egloos.com BlogIcon Thomas 2008.04.25 22:10  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    연산자 순서에 당위성은 없지만 그렇게 굳어진 역사적 이유 정도는 있을 수도 있는데 그런 대답 한번 해주는 사람 찾기 힘드니 루나러브굿님, 속 터지시겠습니다x3. 공학도의 입장에서는 MAC 연산을 많이 쓰기에 곱하기가 더하기보다 앞서야 괄호의 갯수를 월등히 줄일 수 있죠^^. 연산자 순서를 굳히는데 기여한 실세 중의 누군가가 신호 처리 분야에 종사했을지도...

  5. 삐리옹 2008.09.22 03:26  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    루나러브굿님, 속 터지시겠습니다x4

2008. 3. 28. 17:35

사칙연산과 괄호 Math2008. 3. 28. 17:35

두 온 아흔 넷. 정말로 진지하게 궁금한 수학적 의문 - 다크초콜릿

예전에 모 방송에서 111+1x2가 얼마냐는 문제에 대해 224를 답으로 한 바람에 여러 사람들이 113과 224로 의견이 나뉘어 싸우는 일이 있었다. 초등학교 교육만 제대로 받았어도 절대 틀릴 수가 없는 문제인데, 어찌된 일인지 224가 정답이라고 우기는 사람이 적지 않았다.

사실 사칙연산에서 덧셈, 뺄셈보다 곱셈, 나눗셈을 먼저 하는 것은 잘 알려진 규칙이지만, 이 규칙이 "그렇게 될 수밖에 없는 것"은 아니다.

우리가 사칙연산을 표현하는 방법은 두 수 사이에 연산자를 쓰는 infix 방식이다. 이 방식의 단점은 연산의 우선 순위를 나타내기 위해 괄호가 필요하다는 점이다. 예를 들어, (1x2)+(3x4)를 괄호 없이 나타내기는 불가능한데, 흔히 쓰는 전자계산기에 M+와 같은 기억용 버튼이 있는 것도 이 때문이다. 참고로 연산자를 뒤에 쓰는 postfix 방식으로는 "(1에 2를 곱한 것)에 (3에 4를 곱한 것)을 더하라", 즉 "1 2 x 3 4 x +"로 괄호 없이 나타낼 수 있다.

egloos의 Rudy 님도 지적했지만, 곱셈과 나눗셈을 먼저 한다는 것은 사실 곱셈과 나눗셈 연산에 있는 괄호를 생략하는 것이다. 즉, 111+1x2는 사실 111+(1x2)를 줄여쓴 것이다. 어차피 infix 방식은 우선 순위를 나타내는 방법이 필요하므로, 덧셈이든 곱셈이든 어느 한 쪽의 괄호를 생략하는 규칙을 정하는 편이 표기를 간단하게 만든다.

그렇다면 왜 하필 곱셈과 나눗셈에 있는 괄호를 생략하는 것일까? 앞서 말한 대로 반드시 그래야만 하는 것은 아니다. 곱셈, 나눗셈이 아니라 덧셈, 뺄셈에 있는 괄호를 생략한다고, 즉 사칙연산에서 덧셈, 뺄셈을 곱셈, 나눗셈보다 먼저 한다고 처음부터 규칙을 정했다고 해도 문제가 생기지는 않는다. 다만 지금과 같은 규칙이 정해진 것은 곱셈, 나눗셈의 괄호를 생략하는 쪽이 조금이라도 편한 점이 있기 때문이다.

여러 가지 이유를 생각할 수 있겠지만, 기본적으로 다음 두 가지 정도를 생각할 수 있을 것 같다.

첫째는 Rudy 님의 설명처럼 분배법칙을 간단히 나타내기 위해서이다.

A+BxC를 "곱셈 우선"과 "덧셈 우선"의 두 관점에서 괄호를 써서 나타내어 보면,
 
A+(BxC) = A+(BxC), (A+B)xC = (AxC)+(BxC)

인데, 보다시피 곱셈에 붙어 있는 괄호가 더 많으니 곱셈 쪽의 괄호를 생략하는 편이 낫다.

두번째로는 덧셈은 계산이 간단하지만 곱셈은 상대적으로 어렵다는 점이다.

수식을 나타낼 때, 때로는 그 결과를 끝까지 계산해서 나타내는 것이 불편할 때가 있다. 이 경우 수식을 적당히 정리해서 간단한 형태를 만드는데, 예를 들어 (123x456)+789와 123x(456+789)를 생각해 보자.

이 경우, 456+789와 같은 덧셈은 간단하게 하나의 수로 고칠 수 있지만 123x456을 하나의 수로 고치는 것은 좀 불편하다. 그렇다면 이 수식은 (123x456)+789와 123x1245로 나타낼 수 있고, 역시 곱셈 쪽의 괄호를 생략하는 편이 조금이나마 효율적이다.

그건 그렇고 KTX에서 인터넷이 되니 좋구먼~

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  1. Favicon of https://ramanujan.tistory.com BlogIcon thanggle 2008.03.28 17:54 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    Almost 실시간 댓글... 그냥 지나가려다가... 잘 댕겨오이소.

  2. DREAM 2008.03.29 00:35  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    와우.. 이런글 때문에 제가 매일 여기 들어옵니다.

  3. intherye 2008.03.29 01:58  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    근데 곱셈 우선을 사람들이 쫌 교조적으로 따르는 것 같은 느낌이 들 때도 있는 것이...

    그 연예인들 나와서 사칙 계산 맞추는 프로 같은 경우, 전체 식을 딱 써주고 풀라는 것이 아니라 "백십일, 더하기 일, 곱하기 이"하는 식으로 구술해주곤 하거든요. 이럴 땐, 특히나 식이 길 땐 쌀집 계산기 쓰듯이 앞에서부터 순서대로 적용시키는 게, 이치에도 맞고, 출제의 의도에도 부합하는 것 같은데, 나중에 그 중에서도 곱셈을 먼저 했어야 한다는둥 아득바득 따져대는 경우가 있던 걸로 기억해용. -,.-

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2008.04.01 08:12 신고  댓글주소  수정/삭제

      수학과 학생들이 MT 가서 하는 놀이 가운데 하나가, "3, 더하기, 1, 곱하기, 4, 빼기, 1, 은"하면 다음 학생이 (3+1)*4-1=15를 답하는 것이었습니다. 그냥 불러주는 식이라면 차례대로 하는 게 합리적이겠지요. 그렇지만 111+1x2는 종이에 써서 보여주고 답하는 형식이었습니다.

  4. 손님 2008.03.29 10:41  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    세 번째 문단 마지막 문장에서 '1에 2를 곱한 것'이 아닌지 ^^;

  5. EOP 2008.03.29 18:55  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    문자가 들어가는 식까지 고려한다면, 곱셈을 먼저 하기로 약속하고 괄호를 생략하는 것이 백배 천배는 더 보기에 깔끔할 것 같습니다만... ^^

  6. 2008.04.01 02:07  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

  7. Favicon of https://www.valken.net BlogIcon 이쁜왕자 2008.04.03 09:13 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    '편리성' 말고는 정말 다른 이유는 없는 것 같네요..
    수식에서 Sigma (a*n) 같은 형태의 sum of product 는 너무너무 흔하게 나오지만,, Pi (1 + 1/n) 같은 Product of sum 형태는 거의 안나오니깐요..