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2006.12.14 12:03

각의 삼등분 작도에 성공하셨습니까? Math2006.12.14 12:03

자, 인류의 수학사에 길이 빛날 위대한 대발견을 하셨군요. 어디다 발표해서 인정을 받고는 싶은데, 아무도 관심을 보이지 않아 안타까우십니까? 그렇다면 일단 이 글을 읽어보세요.

1. 무엇으로 작도하였습니까?

수 천년 수학의 역사에서 수많은 수학자들과 아마추어들을 괴롭혔던 그리스의 삼대 작도 문제는 "눈금없는 자"와 "컴퍼스"를 이용하여 원하는 도형을 그리는 것입니다.

각의 삼등분 작도에 성공하신 당신의 작도 방법은 무엇입니까? 혹시 삼각자를 요리조리 갖다 맞추거나, 자에 적당히 눈금 표시를 하거나, 종이를 접거나, 실로 길이를 재거나 하였습니까?

그렇다면 당신은 "그리스의 삼대 작도 문제"가 아닌 전혀 다른 문제를 푼 것입니다. 마치 "2로 나누어 1이 나오는 수를 찾으시오"라는 문제에 대해, "5를 5로 나누었더니 1이 나왔습니다. 따라서 정답은 5입니다."라고 말하는 셈입니다.

"눈금없는 자"와 "컴퍼스"가 아닌 다른 도구를 사용하였다면, 이 글을 더 이상 읽을 필요 없습니다. "각의 삼등분 작도" 따위는 잊고 생업에 힘쓰세요.

2. Wantzel의 증명이 잘못되었다고 생각합니까?

요즘은 세상이 좋아져서, 아마 프랑스의 Wantzel이 "각의 삼등분 작도"가 불가능함을 증명했다는 것 정도는 들어보셨을 겁니다. 증명을 직접 보지는 못했더라도요.

그가 무얼 증명했다고 생각하십니까?

"눈금없는 자"와 "컴퍼스"와 컴퍼스를 써서 각을 이등분하는 것은 아주 쉽습니다. 어떤 각이든 동일한 방법으로 이등분이 가능합니다. 고대 그리스 사람들이 그 다음으로 생각한 것은 당연히 각의 삼등분입니다. 그런데 이게 의외로 쉽지 않았습니다.

물론 삼등분 작도가 쉬운 각들도 있습니다. 예를 들어, 직각을 삼등분하는 것은 컴퍼스 서너 번만 쓰면 되는 간단한 일입니다. 직각이 삼등분되니, 직각의 절반인 45도도 당연히 삼등분됩니다. 22.5도, 11.25도 등등도 삼등분 가능하고, 좀 복잡하긴 해도 9도, 18도, 27도 등등 9의 배수가 되는 각도도 삼등분 가능합니다. 4.5도, 13.5도처럼 이것들을 다시 2등분한 각도 삼등분 작도 가능합니다. 무한히 많은 각이 삼등분 작도 가능하다는 말입니다. 여기서 당연히 나오는 질문은
"삼등분 작도 가능한 각은 무한히 많다. 그렇다면 모든 각이 다 삼등분 작도 가능할까?"
입니다. 여기에 대해 Wantzel이 1837년에 답한 것은,
"그렇지 않다. 삼등분 작도가 안 되는 각이 존재한다."
는 것입니다. Wantzel이 보인 것은 아주 이상한 각도가 아니라, 쉽게 그릴 수 있는 60도가 바로 문제의 각이라는 것이었습니다. 이 세상 어떤 각도 삼등분 작도하는 것이 불가능하다는 말이 절대로 아닙니다.

이해가 안 되십니까? Wantzel의 증명이 엉터리라고 생각하는 것은, 마치 다음 대화와 비슷합니다.

A: 여기도 김씨, 저기도 김씨. 한국인은 모두 김씨일까?
B: 아닌데요. 저는 박씨입니다.
A: 뭐라고? 한국인이 모두 박씨라고? 이런 엉터리....

오해를 깨달으셨다면, 이제 "각의 삼등분 작도" 따위는 잊고 생업에 힘쓰세요.

3. 삼등분된다는 걸 어떻게 확인하였습니까?

여기까지 오신 걸 보면, 아마도 60도를 삼등분 작도하는 데 성공하신 분인가 봅니다. 그렇다면 세 개의 각이 모두 20도라는 걸 어떻게 확인하셨습니까?

선 몇 개 그려놓고 눈으로 보니 세 개의 각이 같아 보였습니까? 각도기를 써서 재보았습니까? 컴퍼스로 이리저리 재어보니 세 각이 같았습니까?

불행히도, 종이에 그림을 그릴 때 사용하는 필기구에는 두께가 있습니다. 아무리 정밀하게 그려서 딱 맞아보여도, 그것은 오차가 연필심의 굵기보다 작다는 뜻일 뿐입니다.

정확한 삼등분 작도가 아니라 정밀한 근사 작도라면 방법은 수도 없이 많습니다. 실용적인 목적이라면 삼등분을 하기 위해 각도기를 써도 충분합니다.

"각의 삼등분 작도 문제"는 기술의 문제가 아니라 수학의 문제입니다. "그림을 보면 세 원이 한 점에서 만난다" 같은 말은 수학적으로 증명되지 않는 이상 전혀 의미가 없습니다. 초정밀 필기구로 10m짜리 원을 그렸더니 세번째 원이 문제의 교점을 1mm 벗어날 수도 있는 일 아니겠습니까?

자, 다시 한번 말씀 드립니다. "각의 삼등분 작도"로 시간 낭비하지 말고 생업에 힘쓰세요.

4. 삼등분 작도 증명에 성공했다고 생각합니까?

삼등분 작도가 된다는 증명까지 성공했다고 생각한다면, 죄송하지만 당신은 이미 중증입니다. 이 정도 상황이라면 아무리 오류를 지적해도 통하지 않습니다. 오일러가, 가우스가 살아돌아온다 해도 당신은 절대로 오류를 깨닫지 못합니다.

그럴 리가 없다고 생각하십니까? 여전히 당신의 작도는 완전무결하다고 생각하십니까?

그렇다면 당신의 작도법을 이용하여 20도의 코사인 값을 구해 보세요. 대충의 근사값이 아니라, 정확한 cos20도입니다.

코사인이 무엇인지 잘 모르겠다고요? 코사인이 무엇인지는 알지만 당신의 작도로부터 그 값을 어떻게 구하는지 모르겠다고요? 코사인 20도를 구하기는 했는데, 그 다음 어떻게 해야할지 모르겠다고요?

좋습니다. 그렇다면 그 정도는 제가 봐 드리죠. 단 공짜는 없습니다.

작도법 한 편을 1000만원에 심사해 드리겠습니다. 단, 10쪽을 넘어가면 한 장당 100만원의 추가 비용을 받습니다. 도면 포함 17쪽짜리라면 1000만+7x100만 = 1700만원입니다.

아참, 이재율 씨는 1억을 줘도 상대 안 합니다. 뭘 하든 아무 관심 없으니까 연구실로 찾아오지 마세요.

저에게 각의 삼등분 작도에 대해 문의하고 싶은 분은 심사비부터 준비하세요. 인류의 지성사에 불멸의 이름을 남길지도 모르는데 이 정도면 너무 싸지 않습니까?

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Posted by puzzlist

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  1. 이전 댓글 더보기
  2. kbt222 2006.12.24 23:51  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    puzzlist akpil tolkien
    님들 당신들은 trisector님들을 욕할 입장이 아닌듯합니다. 그분들은 나름대로 확신을 가지고 연구하는사람들입니다. 제가 만난 한분은 정말 존경스러울 정도였습니다. 남이 풀어놓은 것들을 답습만하는것으로 만족하는 님들하고는 차원이 다른 분들입니다. 감히 비아냥거리는 님들의 작태는 너무 역겹습니다. 각성을 하시기를 바랍니다. 안산에 사는 수학도가 님들에게 권하는 것이니 새겨 들으시기 바랍니다. 그러 이만 안녕......

    • ZL 2006.12.25 09:19  댓글주소  수정/삭제

      바로 당신같은 사람들 때문에 문제라는 거요. 확신을 가지고 연구하면 틀려도 좋은 건가? 확신만 있으면, 당신이 아무나 붙잡고 치료하는 의사가 돼도 좋은가? 당신이 뭔데 우리를 '남이 풀어놓은 것을 답습'한다고 단언하는 거요? 당신이야말로 역겨워.

    • Favicon of http://akpil.egloos.com BlogIcon akpil 2006.12.27 10:58  댓글주소  수정/삭제

      궁금한 게 있는데.. 내가 언제 욕했어요 ?
      저런 사람도 있더라 .. 라는 얘기였는데 ?
      글구 난 전공이 실험물리라서 남들이 풀어놓은 건 큰 관심 없고(그렇다고 무시한다거나 하는 건 아님)., 직접 실험으로 검증된 것을 위주로 받아들입니다.
      즉, 영구기관이 존재한다는 걸 보여주려면 직접 영구기관 들고 와서 보여주면 인정하겠다는 거고, 지구가 평면이고 달은 대기권의 구름 어쩌구 현상이다. 이런 거 얘기하려면 직접 비행기를 타고 대기권에 있다는 달에 가서 사진을 찍어오거나 하면 되는 거라는 얘깁니다.
      자, 그렇다면 영구기관 있다고 주장하시는 분들을 잘 아시는 것 같으니, 영구기관 가져와 보세요. 그럼 인정해 드립니다.

    • Favicon of http://tolkien.withseha.net BlogIcon tolkien 2007.07.08 20:58  댓글주소  수정/삭제

      문제는 현재 제가 알고 있는 (또, 그분들께서 알고 있고 근거로 삼는) 수학체계의 논리로는 불가능하다.라고 증명이 되어 있다.라는 거죠.

      백만번 양보해서...
      다른 세계의 수학에서는 trisector가 맞는 말일수 있라는 가정을 한다면, 방법은 한가지. 임의각을 삼등분하는 것이 가능하다.라는 가설? 주장이 맞는 수학체계를 세우시면 될 듯 합니다.
      (그게 유클리드 기하학은 아닐듯.)

  3. haru 2006.12.25 18:53  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    품성은 존경스러울 지는 몰라도 아무리 확신가지고 연구해봤자 수학에서의 사실은 변하지 않습니다. 물론 이글이 비아냥거리는 투이긴 하나 trisector 들의 괴롭힘(?)에 비할 바가 아니지요. 남이 해놓은 것을 답습해야 하는 이유도 모르는 사람이니 혼자 안드로메다를 가는거죠.. 좀 배우세요..

  4. 나비 2007.06.10 14:24  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    하나 추가합니다.
    분명히 각 x에서 시작해서 x/3 로 끝났는가?
    어떤 트리섹터는 각 x에서 시작해서 중간 과정에서 y를 얻어내고 y/3로 끝냈더군요(본인은 임의각 y를 3등분했다고 주장). x와 y는 일정한 관계식이 있을 테니 y를 x에 관해 나타내면... 각 3등분이 아니라 전혀 엉뚱한 것을 했음을 알 수 있습니다.

  5. 斯文亂賊 2007.08.24 13:06  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    앗! 딴지 걸 거 찾은 거 같습니다. 눈금없는 자와 컴퍼스를 "유한 번"만 써서 작도해야 한다는 제한을 추가하셔야 하는 거 아닌지요? 무한 번 쓰면 할 수 있는 거 같은데...(1/2)-(1/4)+(1/8)-(1/16)+ ...=(1/3) 뭐, 이렇게만 써도 puzzlist님은 이해하실 거라고 봐, 난^^ 튀잣~!=3=3=3

  6. 斯文亂賊 2007.08.24 13:07  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    3등분 작도가능한 각이 무한히 많다고 모든 각이 3등분 작도가능하다면, 하디는 리만가설 증명했겠당~ =3=3=3

  7. 斯文亂賊 2007.08.24 13:11  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    음... 근데 쓰고 보니 "그리스의 삼대 작도문제"라고 써 놓으셨군요...ㅜ.ㅜ 제발 이 문제 가지고 puzzlist님 그만 괴롭혔으면...

  8. 나비 2007.09.11 16:35  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이 문제 풀었다고 주장하는 이들 중에 '고정관념을 깨야 한다'고 주장한다면 그게 완전히 헛소리란 말이죠. 왜냐면 이 문제는 철저하게 고대 그리스 사람들의 고정관념에 입각해서 풀어야 하며, 그 고정관념을 갖는 한 풀 수 없는 문제란 게 증명되었고, 아주 오래 전부터 그 고정관념을 깨고 푼 사람들이 수두룩하니까요.

  9. HXH 2007.10.30 19:22  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    우..인터넷에 너무 이상한 말이 많아서
    하마터면 넘어갈 뻔하다가
    이글 읽고 제정신을 찾았습니다
    잘하셨어요 굳~

  10. Favicon of http://blog.naver.com/jisw0424 BlogIcon jinsw0424 2010.02.08 12:58  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    속이 다 후련하군요. 감사합니다.

  11. Aleph 2011.02.27 20:26  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    속이 후련 ㅎㅎ

  12. phu54321 2011.04.24 21:35  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    80도를 4등분해서 20도를 얻는다는 괘변론자도 봤습니다.

    60도를 80도를 이용해서 3등분 할 수 있고
    80 = 60 * (4 / 3)이므로 60도로 80도를 작도할 수 있다.

    ㄷㄷ

    • snoops 2018.04.25 21:28  댓글주소  수정/삭제

      저기...죄송합니다 지나가는 문과 고등학생입니다... 오타가 나신 듯 한데 신경쓰여서... '괘변'이 아니라 '궤변'입니다.

  13. phu54321 2011.04.24 21:36  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    (저건 괘변이 분명합니다)

  14. tera 2016.06.24 16:04  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    80도는 어떻게 구했냐고 묻고싶네요

  15. 블베 2017.08.28 17:09  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    심심풀이로, ㄱㄱㅇ 씨의 작도법을 파훼(?)해 보았습니다.
    3등분 가능한 45도로부터 벤치마크를 찾았다고 주장하던데,
    2등분점과 4등분점으로부터 각각 각을 이루는 선에 평행선을 그어서 만난 점이 '벤치마크'이고
    이 점을 3등분선을 지나는 선이 만난다, 그러므로 벤치마크를 이용하면 모든 각의 3등분이 가능하다고 주장을 하고 있었으나,
    파헤쳐본 결과, 45도의 벤치마크점도 15도 작도선과 0.0006 차이로 지나가지 않는 것을 확인했습니다.
    말하자면 애초부터 엉터리였지만, 파헤쳐보니 '아마추어 입장에서' 나름 재미는 있었네요.

  16. 블베 2017.08.29 15:15  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    오늘 ㅌㄱㄴ이 쓴 글의 댓글을 보니 본인도 오랜 싸움에 지쳤는지 더이상의 문제제기를 하지 말아달라는 뉘앙스로 적었더군요 ㅋㅋ
    (싸움이랬자 그 본인은 각종 정의와 성질을 곡해해서 만든 억지 주장이고 지적하는 사람들이 올바른 것이었음에도)
    아무튼 더이상의 검증을 받지 않으려는 자체로 "당신이 말한 '각의 3등분 불가능은 없다' 라는 주장이 실패한 것으로 받아들이겠습니다. 어차피 실패하는게 당연했지만" 이런 식으로 카운터 펀치를 날려 줬네요 ㅋㅋ

  17. 익명의밀고자 2017.09.25 13:38  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이재율씨는 누구? ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

  18. 한수아래 2017.09.26 19:00  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    (저는 삼등분가가 아닙니다.)
    삼대 작도 불능 문제 2번은 임의의 정육면체에 대해 부피가 2배인 정육면체를 작도하는 것입니다. 각의 3등분과 정육면체 2배화 모두 세제곱근을 다루는 문제입니다. 이 질문에서는 2번 문제가 해결되었다고 가정하고 1번 문제를 해결하려 합니다. 부피가 1인 정육면체와 부피가 2인 정육면체, 그리고 자와 컴퍼스를 가지고 임의의 각을 3등분할 수 있나요? 불가능하다면, 부피를 알고 있는 유한한 개수의 정육면체를 가지고 임의의 각을 3등분할 수 있나요?

  19. CO 2018.02.01 06:40  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    ㄹㅇ루다가 창렬

  20. BlogIcon Lunar 2019.01.05 22:26  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    와,,,trisector가 있긴 있나보군요.

  21. 노리 2019.06.03 19:56  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이형님 강하다