Jordan 곡선 정리

얼마 전 큰애 데리고 ㄹㄷㅇㄷ에 가서 찍은 사진이다. 그날 사람이 너무 많아서 놀이기구 타려는 줄이 심하게 길었다.

2시간 기다려서 15분 탔음.

줄이 엉키지 않도록 쳐 놓은 울타리 안에서 꼼지락꼼지락 움직이다 보니, 가운데 쓰레기통이 보였다. 울타리를 만들어 놓은 것도 좋은 아이디어지만, 그 사이에 쓰레기통을 배치한 아이디어에 감탄을 했다. 저렇게 해 놓으면 줄은 헝클어지지 않으면서 쓰레기통도 편리하게 이용할 수 있으니 말이다. 이런 일이 가능한 것은 바로 "Jordan의 곡선 정리" 덕분이다. (아, 이 웬 수학 오덕스러운 오바질이냐.)

프랑스 수학자 Jordan의 이 정리는 사실 너무 자명해 보여서, 이게 왜 "정리"인지 이해가 안 될 정도이다. (하지만 증명은 엄청나게 어려움.) 그 내용이란 "단순폐곡선은 구면을 두 개의 영역으로 나눈다"라는 것이다. 여기서 "단순폐곡선"은 끊어지지 않고 연결되어 있는 곡선, 즉 폐곡선 가운데 자기 자신과 만나지 않는 곡선을 뜻한다. 그러니까 고무밴드를 마구 벌려놓되 서로 겹치는 부분이 없게 한다고 생각하면 된다.

이 정리가 너무 당연해 보인다면, 토러스 같은 면을 생각해 보자. 토러스 위에 아주 작은 원을 그린다면, 이 원은 분명히 내부와 외부 두 영역으로 토러스를 나누게 된다. 그런데 토러스의 구멍을 둘러싸는 큰 원(아래 그림에서 분홍색 원)을 그린다면, 이 경우에는 하나의 영역이 될 뿐이다. 아래 그림에서 빨간색 원을 그리는 경우도 마찬가지이다.
 

그림 출처: wikipedia

그러니까 저 울타리는, 사람들이 서 있는 부분인 내부와 쓰레기통이 있는 외부를 완전히 분리한다. 고객은 쓰레기통과 분리되면서도 편리하게 사용할 수 있고, 청소하는 알바 입장에서는 고객들 사이를 비집고 갈 필요 없이 편리하게 쓰레기통을 비울 수 있으니 이거야 말로 윈윈 아닌가.

곡선의 아름다운 자태

 그래서 알바가 쓰레기통에 어떻게 접근하나 지켜 보았다. 사람들이 줄 서 있는 울타리 바깥 쪽에서 통로를 따라 접근할 거라고 생각했는데, 웬 걸, "실례합니다"라면서 울타리를 넘어 최단거리로 쓰레기통을 향해 간다. @_@

그러면, 여기서 다시 이 상황을 수학으로 바꿔 보자. 알바가 쓰레기통에 접근하려면 울타리를 몇 번 넘어야 할까? 물론 이거야 어느 쪽에서 어떤 경로로 오느냐에 따라 달라질 수 있으니 정답이 있을 수 없다. 하지만 이렇게 물으면 어떨까?

알바가 쓰레기통에 접근하기 위해 울타리를 넘는 횟수는 짝수일까, 아니면 홀수일까?

단순폐곡선 밖에서 출발하여 다시 단순폐곡선 밖에 있는 점까지 도달하는 곡선을 아무렇게나 그릴 때, 이 곡선이 원래의 단순폐곡선과 만나는 횟수가 짝수인지 홀수인지를 묻는 것이다. 물론 이 곡선이 단순폐곡선 위의 한 점에서 접하거나 하는 특수한 상황은 제외하고 생각하자. 실제로 예를 들어 세어 보면 알 수 있듯이, 이 경우 만나는 횟수는 반드시 짝수 번이 된다.

이게 뭐 대단한 일인가 싶은 분은 단순폐곡선으로 스마일 마크를 만든 다음 그림을 보자. 그림 한가운데에 있는 빨간 점은 이 폐곡선 안에 있을까 밖에 있을까? 이게 안인지 밖인지 알아내려면 꽤나 헷갈리는데, 바깥 쪽으로 적당한 선을 그려서, 폐곡선과 몇 번 만나는지 세어 보면 간단히 알 수 있다. (바꿔 말하면, 울타리를 짝수 번 넘으면서 바깥 쪽을 향해 움직이면 된다.) 물론 이 그림처럼 전체적인 모습을 한눈에 알 수 있는 경우는 직접 안팎을 판정하는 것이 크게 어려운 일은 아니지만, 첫 번째 사진처럼 시야가 제약되어 있는 경우에는 이런 방법을 쓸 수밖에 없다. 이런 것도 수학의 위력이라고 할 수 있지 않을까?

그림 출처: http://www.oberlin.edu/math/faculty/bosch/making-tspart-page.html

   @ Jordan curve theorem의 증명을 보고 싶은 분은 zariski 님의 포스팅 참조.