요즘 인터넷을 뜨겁게 달구고 있는 문제.
48 / 2 ( 9 + 3 ) 또는 48 ÷ 2 ( 9 + 3)의 값은 얼마일까?
문제가 되는 부분은 ( 9 + 3 ) 앞에 생략된 곱셈 기호로, 해석하기에 따라서는 이 식이 ( 48 / 2 ) × ( 9 + 3 ) = 288 일 수도 있고 48 / ( 2 × ( 9 + 3 ) ) = 2 일 수도 있기 때문이다.
어느 쪽이 맞느냐로 갑론을박이고, 오늘 내 연구실에는 학생들도 찾아오고 신문사에서 전화까지 왔다.
결론은?
내 의견은 애초에 식 자체가 혼란스럽게 쓰여졌다는 것이다. 굳이 어느 한쪽을 골라야 한다면, 아니, 그것보다 처음 식을 보았을 때 어느 쪽으로 해석했느냐고 묻는다면, 내 경우는 48 / ( 2 × ( 9 + 3 ) ) = 2 이다. 그렇지만 만약 누군가가 48 / 2 ( 9 + 3 ) = 288 이라고 써 놓았더라도 틀렸다고 하지는 않았을 것이다. 다만, 어느 쪽 수식이든 혼란스러우니 의미가 확실하도록 괄호나 곱셈 기호를 넣거나, 순서를 적당히 바꾸어 쓰는 게 좋지 않겠냐고 했을 것 같다.
곱셈 기호를 생략한다는 것은 곱셈이 자주 쓰여서 조금이라도 편하자고 쓰는 것이고, 당연한 말이지만 이것은 곱셈 기호를 생략해도 혼란이 없을 때 가능한 것이다. 아무리 곱셈 기호를 생략할 수 있다고 해도 2 × 3 = 6 을 2 3 = 6 으로 쓰지는 않으니까. 그러니 곱셈 기호를 생략한 48 / 2 ( 9 + 3 ) 은 별로 좋은 표기라 할 수 없다.
굳이 따지자면, 곱셈 기호를 생략하는 것은 곱하는 두 대상 사이의 기호를 생략하는 것이니, 48 / 2 와 ( 9 + 3 ) 사이의 곱셈 기호를 생략했다고 하는 것보다는 2와 ( 9 + 3 ) 사이의 곱셈 기호를 생략했다고 보는 편이 자연스럽긴 하다. ( 48 / 2 ) × ( 9 + 3 ) 에서는 곱셈 기호 앞에 있는 것이 2가 아니라 48 / 2 이기 때문이다. 예를 들어 a/bc 또는 a÷bc를 보통 a/(b×c)로 생각하는 것도 마찬가지이다.
그렇지만, 곱셈 기호를 생략하는 것이 연산을 왼쪽부터 차례대로 하는 상황에서 단순히 곱셈 기호를 없애는 것으로 생각한다면 ( 48 / 2 ) × ( 9 + 3 ) 이라고 해서 안 될 이유도 없다. 실제로 누군가 Mathematica에 48 / 2 ( 9 + 3 )을 입력해 본 결과 288 이 나왔다고 하는데, 일반적인 수식을 처리할 수 있는 Mathematica가 곱셈 기호가 생략된 수식을 해석하는 방식이 바로 이쪽이기 때문이다. 당연한 말이지만, Mathematica에서 결과가 288이 나왔다고 해서 48 / 2 ( 9 + 3 )을 48 / ( 2 × ( 9 + 3 ) )로 해석하는 것이 무조건 틀렸다고 할 수는 없다.
사실 중학교 수학 교과서에서 곱셈 기호를 생략하는 경우를 설명한 부분을 보면, 48 / 2 ( 9 + 3 )을 무엇으로 해석해야 할지 상당히 모호하다. 그렇지만 이런 상황에 대해 일일이 설명을 하는 것이 오히려 헷갈리게 할 수도 있어서 특별한 언급 없이 그냥 넘어가는 것이 보통이다. 곱셈 기호를 생략해서 수식이 모호하다면 곱셈 기호를 써 넣는 쪽이 올바르니까.
48 / 2 ( 9 + 3 ) 또는 48 ÷ 2 ( 9 + 3)의 값은 얼마일까?
문제가 되는 부분은 ( 9 + 3 ) 앞에 생략된 곱셈 기호로, 해석하기에 따라서는 이 식이 ( 48 / 2 ) × ( 9 + 3 ) = 288 일 수도 있고 48 / ( 2 × ( 9 + 3 ) ) = 2 일 수도 있기 때문이다.
어느 쪽이 맞느냐로 갑론을박이고, 오늘 내 연구실에는 학생들도 찾아오고 신문사에서 전화까지 왔다.
결론은?
내 의견은 애초에 식 자체가 혼란스럽게 쓰여졌다는 것이다. 굳이 어느 한쪽을 골라야 한다면, 아니, 그것보다 처음 식을 보았을 때 어느 쪽으로 해석했느냐고 묻는다면, 내 경우는 48 / ( 2 × ( 9 + 3 ) ) = 2 이다. 그렇지만 만약 누군가가 48 / 2 ( 9 + 3 ) = 288 이라고 써 놓았더라도 틀렸다고 하지는 않았을 것이다. 다만, 어느 쪽 수식이든 혼란스러우니 의미가 확실하도록 괄호나 곱셈 기호를 넣거나, 순서를 적당히 바꾸어 쓰는 게 좋지 않겠냐고 했을 것 같다.
곱셈 기호를 생략한다는 것은 곱셈이 자주 쓰여서 조금이라도 편하자고 쓰는 것이고, 당연한 말이지만 이것은 곱셈 기호를 생략해도 혼란이 없을 때 가능한 것이다. 아무리 곱셈 기호를 생략할 수 있다고 해도 2 × 3 = 6 을 2 3 = 6 으로 쓰지는 않으니까. 그러니 곱셈 기호를 생략한 48 / 2 ( 9 + 3 ) 은 별로 좋은 표기라 할 수 없다.
굳이 따지자면, 곱셈 기호를 생략하는 것은 곱하는 두 대상 사이의 기호를 생략하는 것이니, 48 / 2 와 ( 9 + 3 ) 사이의 곱셈 기호를 생략했다고 하는 것보다는 2와 ( 9 + 3 ) 사이의 곱셈 기호를 생략했다고 보는 편이 자연스럽긴 하다. ( 48 / 2 ) × ( 9 + 3 ) 에서는 곱셈 기호 앞에 있는 것이 2가 아니라 48 / 2 이기 때문이다. 예를 들어 a/bc 또는 a÷bc를 보통 a/(b×c)로 생각하는 것도 마찬가지이다.
그렇지만, 곱셈 기호를 생략하는 것이 연산을 왼쪽부터 차례대로 하는 상황에서 단순히 곱셈 기호를 없애는 것으로 생각한다면 ( 48 / 2 ) × ( 9 + 3 ) 이라고 해서 안 될 이유도 없다. 실제로 누군가 Mathematica에 48 / 2 ( 9 + 3 )을 입력해 본 결과 288 이 나왔다고 하는데, 일반적인 수식을 처리할 수 있는 Mathematica가 곱셈 기호가 생략된 수식을 해석하는 방식이 바로 이쪽이기 때문이다. 당연한 말이지만, Mathematica에서 결과가 288이 나왔다고 해서 48 / 2 ( 9 + 3 )을 48 / ( 2 × ( 9 + 3 ) )로 해석하는 것이 무조건 틀렸다고 할 수는 없다.
사실 중학교 수학 교과서에서 곱셈 기호를 생략하는 경우를 설명한 부분을 보면, 48 / 2 ( 9 + 3 )을 무엇으로 해석해야 할지 상당히 모호하다. 그렇지만 이런 상황에 대해 일일이 설명을 하는 것이 오히려 헷갈리게 할 수도 있어서 특별한 언급 없이 그냥 넘어가는 것이 보통이다. 곱셈 기호를 생략해서 수식이 모호하다면 곱셈 기호를 써 넣는 쪽이 올바르니까.
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말씀하신대로 헷갈리는 일이 없을 정도에서 곱셈 기호를 생략하는 것이고, 혹시라도 누군가가 오해할 소지가 있는 경우에는 괄호를 확실히 표시해 주면 충분할 텐데... 왜 이런 사소한 문제로 난리법석인지 모르겠습니다. 수학자들은 신경도 안 쓰는데, 어찌 비수학자들만... 인터넷 트래픽 낭비같아요 -_-;;
동감입니다.
저에게도 많이 묻던데.. '관심없다' 라고 말했답니다.
근데, 이 문제의 발단 혹은 시작은 어딘지 아시는지요?
아마 Ask Dr.Math에서 누가 물었던 질문에 엄청나게 진지한 답변이 달리면서 시작된 것 같습니다. 방금 찾아보니 2000년 글이네요. 우리나라에서는 어디서 시작됐는지 모르겠습니다.
지적인 능력을 내보이며
식자연하며 토의에 의견을 보태고 싶은 욕구는 누구나 있습니다.
그런데 울 나라 교육 여건이나 사회적 환경이 그런 욕구를 극소수에게만 충족시켜주고 나머지 대다수에게는 패배감과 열등감을 심어주죠.
이런 떡밥이 왔을 때, 초등학교 과정을 거친 사람이면 누구나(초딩때는 다들 아주 못하지는 않으니까) 이런 욕구를 풀 수 있기 때문에 열심히 달려드는 것 같습니다.
이런건 지적 허세라고 할 수 있는데, 사실 대학에도 그런 학생들이 많죠.
전공을 깊이 공부하지 않은 채 지적 허세를 부리려하는 사람은 어디에나 있기 마련입니다.
대학 수학에서 1, 2학년 내용으로 이런 적당한 떡밥 하나만 던져주면, 지금 사태와 비슷하게 전국의 이공계, 상경계 대학생들은 물려고 달려들게 할 수 있을텐데요. ^^
원래 모든 토론은 어느 정도는 지적 허세니까 뭐...
문제는 수학(과 관련된) 문제에는 반드시 만장일치의 정답이 있다고 생각한다는 점이겠지요.
인터넷 서핑을 하다보니,
48 / 2 ( 9 + 3 ) 또는 48 ÷ 2 ( 9 + 3)
에서 ÷ 2 를 썻기 때문에(/ 같은 분수가 아닌)
÷ 2 ( 9+3) 을 분배법칙을 적용하려면 ÷ 2를 1/2 로 고친뒤 적용해야 한다고 하는 학도도 있던데,
저는 아! 하고 수용해버렸습니다.
교수님께서는 어떻게 생각하시는지요.
그냥 모든 주장이 ( 48 / 2 ) × ( 9 + 3 ) 이나 48 / ( 2 × ( 9 + 3 ) )의 어느 한 쪽으로 결정해 놓고 거기에 맞춰 설명하고 있을 뿐입니다. 그러니 올바른 설명은 하나도 없는 셈.
아. 그렇군요. 틀에 갇혀있는 설명이네요.
답변 감사합니다.~