'극한' 태그의 글 목록

2009. 2. 14. 22:58

평균값 정리와 1/2 Math2009. 2. 14. 22:58

예전 홈페이지에 올렸던 글인데, 방명록에 요청하신 분이 있어 다시 올린다.

평균값 정리로부터 나오는 어떤 값의 극한값을 묻는 문제로, 정석에서는 특정한 함수를 주고 그 값을 묻는다. 어느 선생님은 "내가 해 본 웬만한 함수는 다 1/2이 나오더라"라고 하셨다는데, 그 이유까지는 알 수 없었다고 한다.

기본적으로 함수 $f$ 가 Taylor series로 표현 가능하고 $f''(a) \ne 0$ 이면 $\lim_{h \to 0} \theta = 1/2$ 이 되는데, 이런 조건을 만족하지 않으면서도 1/2이 나오는 경우도 없지는 않겠지만 생각해 보지 않았다.

> $f(a+h) - f(a) = h f'(a+\theta h)$ 인 $0 < \theta < 1$ 이 존재한다.

> 저 식에서 $\lim_{h \to 0}\theta$ 를 구해야하는 건데,

> 웬만한 함수들은 전부 1/2 이 나오네요.

> 왜 저 값이 1/2 이 나오는지, 혹 1/2 이 안 나오는 다른 함수가 있는지.

> 아시는 분은 좀 알려주셨으면 합니다.

함수 $f$ 가 analytic, 즉 Taylor series로 표현 가능하면 항상 1/2이 나옵니다. 고등학교에서 배우는 함수는 거의 모두 analytic이니까 "웬만한 함수에 대해 1/2"인 게 당연하죠.

Taylor series를 이용하면,

$f(a+h) = f(a) + h f'(a) + h^2 f''(a)/2! + h^3 f'''(a)/3! + ...$

다시 $f'$ 을 Taylor 전개하면,

$f'(a) = f'(a + \theta h) - \theta h f''(a + \theta h) + \theta^2 h^2 f'''(a + \theta h)/2! + ...$

첫번째 식에 대입하고, $f(a + h) - f(a) = h f'(a + \theta h)$ 로 바꾸면,

$h f'(a + \theta h) =$	$h f'(a + \theta h) - \theta h^2 f''(a + \theta h) + \theta^2 h^3 f'''(a + \theta h)/2! + ...$
	$+ h^2 f''(a)/2! + h^3 f'''(a)/3! + ...$

식을 정리하고, 양변을 $h^2$ 으로 나눈 다음 $h \to 0$ 하면,

$\lim_{h \to 0} \theta \times f''(a) = f''(a)/2$

따라서, $\lim_{h \to 0} \theta = 1/2.$

물론, $f''(a) \ne 0$ 이란 조건은 주어져 있어야죠.

Posted by puzzlist

«이전 1 다음»