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'정수론'에 해당되는 글 3

  1. 2012.03.09 교수 드립 2 (8)
  2. 2009.10.15 2009년 정수론 중간고사 (13)
  3. 2007.12.03 정삼각형 타일로 만들 수 있는 볼록다각형 (7)
2012. 3. 9. 12:37

교수 드립 2 Life in campus2012. 3. 9. 12:37

나는 시험에 간단한 보너스 문제를 자주 내는 편이다.

2010년 정수론 시험의 3점짜리 보너스 문제는 "알고 있는 가장 큰 소수를 쓰시오"였다. 점수는 크기순으로 셋으로 나누어 배점. 아무렇게나 써서 채점하는 사람을 피곤하는 일을 방지하기 위해 소수가 아니면 자리수만큼 감점한다고 하였다.

3점밖에 안 되는 점수에, 크기순으로 나누어 배점하니까 어마어마하게 큰 소수를 쓸 필요는 전혀 없는 문제였다. 그런데도 문제를 착각해서 "자리수만큼 점수를 준다"고 생각했는지 다른 문제는 모두 거의 0점이면서 이 문제만 6자리 정도의 수를 아무렇게나 쓴 학생도 있었다. 

안타까운 오답이 많았는데, 그 중 하나는 페르마 수 \(2^{32} + 1\)을 쓴 답안이었다. 수업 시간에 \(2^{2^n}+1\) 꼴의 수는 \(n=0,1,2,3,4\)까지는 소수지만 \(n=5\)일 때는 소수가 아니라고 얘기했는데도 이런 답을 쓰다니. 당연히 감점이다. \(2^{32}+1 = 4294967297\)이니까 10점 감점.

아마도 가장 안타까운 오답은 이게 아닐까 싶다. "하하, 교수님의 의도를 알겠습니다. 2009"

한 해 뒤인 2011은 소수인데, 한 해 앞인 2009를 써서 4점을 감점당하다니... 

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Posted by puzzlist

댓글을 달아 주세요

  1. Favicon of http://lime116.tumblr.com BlogIcon 라임에이드 2012.03.09 18:20  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    남들도 다 큰 소수를 적으면 3점을 받기 위해 어마어마하게 큰 소수를 쓸 필요가 있지 않을까요?

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2012.03.09 22:02 신고  댓글주소  수정/삭제

      시험 보는 학생의 1/3이 수십 자리 소수를 쓸 리야 없겠지요. 그런 걸 외우고 있는 사람도 없고. 실제로 2^{16}+1처럼 특별한 형태를 떠올리지 않는 한 네 자리 넘어가기가 힘듭니다. 그래서 2011 정도면 3점 받았습니다.

  2. Favicon of http://redpain.tistory.com BlogIcon RedPain 2012.03.10 08:46 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    가장 큰 소수를 쓴 학생이 어떤 소수를 썼는지도 알 수 있을까요? 그리고 puzzlist님이 예상하신 학부생들이 알만한 큰 소수는 어떤 것들이 있나요?

    중생에게 가르침을...

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2012.03.10 17:37 신고  댓글주소  수정/삭제

      재작년 답안지를 꺼내와서 보기는 어렵고 대충 기억을 떠올려 보면, 제일 큰 소수는 2^16+1이었고 두 세 명이 썼습니다. 2011을 쓴 학생이 많았고, 2^8+1도 있었죠. 2x3x5x7x11+1도 있었네요. 이 정도면 다 3점입니다.
      자리수로 점수를 줬으면 기를 쓰고 메르센 수를 찾아본다든지 했겠지만 여기서는 불필요한 모험이겠죠.
      제 생각에는 기억에 떠올릴 만한 가장 큰 소수는 2^127-1 정도가 아닐까 싶습니다. 저걸 쓴 학생이 있었던 것도 같은데 가물가물.

  3. Favicon of https://www.valken.net BlogIcon 이쁜왕자 2012.03.15 11:53 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    아.. 이런 문제용으로 기발한 답을 하나 외우고 있었는데 말이죠..
    1111111111111111111

  4. 학생 2012.03.21 12:42  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    그러길래 임용 기출문제를 풀어봤었어야지...ㅋㅋ

  5. Favicon of https://blastic.tistory.com BlogIcon Nicatio 2012.04.11 16:30 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    아주 어렸을 때 11111.... 로 계속 되는 숫자중에
    11을 제외한 가장 작은 소수는 몇 자리 수일까 하고 찾아봤었는데
    그게 19자리더라구요... 그걸 외워놓고 있었는데
    이쁜왕자님이 선수를 치셨군요 ㅋㅋㅋ

2009. 10. 15. 16:57

2009년 정수론 중간고사 Math2009. 10. 15. 16:57

Fermat's little Theorem과 관련해서 어떤 문제를 낼까 고민하다 나온 문제.

다음 부정방정식이 정수해를 갖지 않음을 증명하여라.


별로 어려운 문제는 아니지만, 정수론을 배우고 있는 학부생에게 시험 문제로 딱 맞는 수준이 아닐까 싶다.

시험을 본 날짜는 당연히 2009년 10월 14일.

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Posted by puzzlist

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  1. 시퍼렁어 2009.10.15 18:10  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    설마저거 다 치환해서 대입해야?.... orz

  2. Favicon of http://zariski.egloos.com BlogIcon 추유호 2009.10.15 23:07  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    좋은 문제군요. ^^
    문제를 푸는 쪽 보다 만드는 쪽이 더 어려울 것 같습니다. ㅎㅎㅎ

  3. mathdr 2009.10.16 00:54  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    절묘한 퍼즐감각이 스며 있는 문제군요 ㅎ

  4. ksshiny 2009.10.16 09:43  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    mod 7을 이용한 무한강하법이군요 ㅎㅎ

  5. 현하 2009.10.16 12:58  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    멍.. ; 무한 강하법요..?

  6. interface 2009.10.16 14:14  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    그런데, 정답률이 어떻게 되는지요? 학생들이 많이 풀었나요?

  7. ksshiny 2009.10.16 16:53  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    급하게 리플을 달았었는데 다시 보니 무한강하법까지 안 가는군요. -ㅅ-; 죄송합니다. 아무튼 mod 7로 보아 모든 것들이 7의 배수가 되어야 하는데 우변은 7^6의 배수가 아님을 이끌어내면 됩니다.

  8. 담마 2009.10.17 22:32  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    2009가 7의 배수라서 우변은 7의 배수인데 좌변은 x_i중 7의 배수가 아닌게 있으면 법 7로 0이될수 없고 x_i가 모두 7의배수면 양변을 7로 나누면 우변은 7의배수가 아니고 좌변은 7^5의 배수가 되서 그렇죠.

  9. 담마 2009.10.22 21:27  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이런 그럼 7의 제곱으로 나누죠 뭐

  10. 2009.10.24 15:44  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    x_1 ,..., x_6 이 모두 7 의 배수이어야 하는것은 보일수 있고,
    그러면 ,

    7^6 (Zahlen) = 7^2 41 10^14

    irony~

2007. 12. 3. 20:38

정삼각형 타일로 만들 수 있는 볼록다각형 Math2007. 12. 3. 20:38

예전에 퍼즐 홈페이지를 운영할 때, 똑같은 크기의 정삼각형 타일을 변과 변이 맞닿도록 붙여서 만들 수 있는 볼록다각형의 변의 개수를 묻는 퍼즐을 만든 적이 있다. 이 문제는 내가 쓴 책에도 실었는데, 크게 어려운 문제는 아니다. 아기자기한 전형적인 수학 퍼즐.

이 문제를 KIDS bbs에 올렸을 때, valken(이쁜왕자)가 문제를 살짝 오해(?)하는 바람에 원래의 퍼즐과는 전혀 다른 "수학 문제"가 만들어졌다.

똑같은 크기의 정삼각형 모양 타일이 여러 개 주어져 있다. 이때, 이 타일들을 변과 변이 맞닿도록 붙이면 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형의 볼록다각형을 만들 수 있다.
한 예로 49개의 타일을 모두 써서 삼각형을 만들 수 있고, 다시 분해하여 남김없이 조합하면 볼록사각형, 볼록오각형, 볼록육각형을 차례로 만들 수 있다.
타일의 갯수가 49보다 큰 제곱수일 때도 이런 일이 항상 가능함을 증명하여라.

컴퓨터로 확인해 보니 웬만한 제곱수면 모두 가능해서 이런 추측을 했던 것인데, 그때 증명을 하지는 못해서 책을 쓰면서도 "미해결 문제"로 실어 놓았다. 누군가가 풀어주기를 바라면서.

나중에 학교로 돌아온 다음, 어느 학회에서 지루해 하는 두 선배에게 이 문제를 풀어보라고 주었다. 형식은 저래도 내용은 거의 전형적인 정수론 문제다.

한 시간쯤 지났을 때, 정ㄱㅎ 선배는 A4 한 장에 큼직한 글씨로 문제를 풀어왔다. 아주 깔끔한 풀이였다. 그리고 문제를 조금 늦게 들은 김ㅂㅁ 선배가 그림을 이용한 간단한 증명을 보여주었는데, 그 분량이 무려 포스트잇 한 장. 흠좀무...

@ Keating 님의 블로그에서 이 문제가 수학과 Quiz로 출제되었다는 옛날 글을 보고서.

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Posted by puzzlist

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  1. Favicon of http://www.valken.com BlogIcon 이쁜왕자 2007.12.03 21:01  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    역시 세상에 천재는 많군요..

  2. Favicon of http://www.valken.com BlogIcon 이쁜왕자 2007.12.04 22:41  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    전 아직 이 문제 못 풀었는데.. -_-

  3. Favicon of https://ggomjirak.tistory.com BlogIcon 꼼지락 2007.12.06 03:27 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    음. 지금 한 번 생각해보고 있는데, 육각형에서 막혀버렸네요;;

  4. 손님 2007.12.08 00:16  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    풀었는데 A4두장 분량은 나오는군요^^;;;
    깔끔한 답 공개부탁드립니다.