산술평균과 기하평균의 부등식

양의 실수 x, y가 을 만족할 때, x+y의 최소값을 구하라.

많은 학생들이 이런 종류의 문제를 풀 때, "산술평균 값은 산술평균-기하평균 부등식에서 등식이 성립할 때 최소값이 된다"는 전혀 잘못된 착각을 하는 것 같다. 그래서 다음과 같은 결과로부터 최소값이 16이라는 오류를 흔히 범하곤 한다.

그럼 이 부등식이 잘못된 것일까? 그럴 리가! 저 부등식 자체는 전혀 문제가 없다. 다만 저 부등식에서 등식이 성립하는 경우가 없는 게 문제일 뿐이다. 그러니까 왼쪽 값이 16이 되는 경우가 없으니까 최소값도 16이 아닌 것이다.

왜 이런 일이 생기는지는 좀더 간단한 예를 생각하면 이해하기 쉽다. 양의 실수 x에 대해 산술평균-기하평균의 부등식으로부터 가 성립한다. 이 부등식은 x=1일 때 등호가 성립하는데, 그림을 보면 알겠지만, 왼쪽 값의 최소값이 1일 리는 절대로 없다. 그저 x=1일 때 양변이 같은 값을 가진다는 것뿐.

여기서 알 수 있듯이 산술평균-기하평균의 부등식 자체는 최소값이나 최대값과는 아무 상관이 없다. 다만 이 부등식에서 최소값이나 최대값이 나오는 경우가 있을 뿐이다. 다음 두 그림은 모두 성립하는 부등식이지만, 의 값이 1이 되는 경우는 없다.

위의 문제를 산술평균-기하평균의 부등식을 제대로 써서 풀면 다음과 같다. 여기서 등식이 성립하는 경우가 존재하므로 왼쪽의 최소값은 16이 아니라 18이다. 의 최소값이 1이 아니라 2인 것처럼.