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2017.12.07 21:15

8일간의 선형대수학 정오표 Math2017.12.07 21:15

8일간의 선형대수학 책에 오류가 몇 개 있어서 목록을 작성해 둔다.


p.31


연습문제 3.3

\(\color{red}{U} \cap W\)는 벡터공간임을 보여라.


p.47


그림 4.2




p. 74

이 된다. 그런데 \( a_i \ne 0 \)이라고 하였으므로 \( \lambda_i = \lambda_{\color{red}{\ell+1}} \)이 되어 모순이다.


p.125


이 된다. 벡터 \( \mathbf{v}_3 \)의 놈을 계산하면

\[\| \mathbf{v}_3 \|^2 = \left\langle x^2 - \dfrac13,x^2 - \dfrac13 \right\rangle = \int_{-1}^1 \left( x^2 - \frac13 \right)^2 dx = \color{red}{\dfrac{8}{45}} \]

이므로 세 번째 벡터를 \( \mathbf{v}_3 = \frac{\color{red}{3\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}\left( x^2 - \frac13 \right) \)로 고치면 정규벡터가 된다.


p.127


(2) \( X = \begin{bmatrix} x_{ij} \end{bmatrix}\), \( Y = \begin{bmatrix} y_{ij} \end{bmatrix}\)라 하면, \( \color{red}{XY} \)의 대각성분이

\begin{align*} &x_{11}y_{11}+x_{12}y_{21}+\dotsb+x_{1n}y_{n1}, \\ &x_{21}y_{12}+x_{22}y_{22}+\dotsb+x_{2n}y_{n2}, \\ &\dotsc, \\ &x_{n1}y_{1n}+x_{n2}y_{2n}+\dotsb+x_{nn}y_{nn} \end{align*} 이고, \(YX\)의 대각성분이 \[\color{red}{ \begin{align*} &x_{11}y_{11}+x_{21}y_{12}+\dotsb+x_{n1}y_{1n}, \\ &x_{12}y_{21}+x_{22}y_{22}+\dotsb+x_{n2}y_{2n}, \\ &\dotsc, \\ &x_{1n}y_{n1}+x_{2n}y_{n2}+\dotsb+x_{nn}y_{nn} \end{align*} } \] 이므로 \(\operatorname{tr}(XY) = \operatorname{tr}(YX)\)가 성립한다. 그러면


p.129


를 계산하면 \[ \begin{bmatrix} 59 & -1 \\ -1 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \color{red}{36} \\ 5 \end{bmatrix} \] 이고 방정식을 풀면 \(a = \color{red}{\frac{185}{294}}\), \( b = \color{red}{\frac{331}{294}}\)이다.



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2017.09.24 16:32

세 명의 Jordan Math2017.09.24 16:32

고등과학원 동문 워크숍에서 경희대 ㅂㅈㄷ 교수가 고등과학원 시절 농구 동아리를 만들고 동아리 이름을 "조던 앨지브라(Jordan algebra)"라고 지었다는 얘기를 했다. 사실 저 이름은 독일 물리학자 "파스쿠알 요르단"에서 온 거지만, 영어식으로 읽으면 농구 동아리 이름에 어울리기는 한다. ^^ 

수학 분야에 Jordan이라는 이름이 세 명 등장하는데, 첫 번째는 가우스-요르단 소거법(Gauss-Jordan elimination method)에 등장하는 독일 수학자 빌헬름 요르단(Wilhelm Jordan), 두 번째는 군 이론에 크게 공헌한 프랑스 수학자 카미유 조르당(Camille Jordan), 그리고 세 번째가 요르단 대수의 주인공이며 양자역학을 정립하는 데 공헌한 파스쿠알 요르단(Pascual Jordan)이다.

마지막 파스쿠알 요르단의 요르단 대수(Jordan algebra)는 양자역학이나 그와 관련된 내용을 공부하지 않는 이상 별로 들어볼 일이 없지만, 앞의 두 Jordan은 선형대수학 교재에 꼭 나오기 때문에 이공계 학생이라면 한 번쯤은 들어봤을 법한 이름이다.

그런데 두 Jordan의 철자가 같다 보니, 수많은 선형대수학 교재에서 두 사람을 헷갈리게 쓰고 있다. 그래서 많은 교재에서 가우스 소거법을 변형한 가우스-요르단 소거법을 "가우스-조르당 소거법"이라고 잘못 쓴 경우가 많다. 사실 지명도 면에서는 두 번째 Jordan인 카미유 조르당이 수학 분야에서는 압도적으로 유명한 데다, 행렬을 블록으로 대각화한 조르당 표준형(Jordan normal form)을 발견한 사람이 카미유 조르당이다 보니 으레 선형대수학에 나오는 Jordan을 조르당으로 착각하는 게 이해가 되기도 한다.




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2017.07.23 19:26

2017년 국제 수학 올림피아드 Math2017.07.23 19:26

2017년 국제수학올림피아드(International Math Olympiad) 최종 결과.


우리나라가 전원 금메달 170점으로 1등을 차지했다. 수없이 1등 하던 중국이 격차가 좀 큰 2등. 대한민국-중국-베트남-미국-이란-일본-싱가포르-태국-대만-영국-러시아 순서. 2016년과 비교하면 일본, 베트남, 태국, 이란의 약진이 두드러진다.


이번 우리나라 팀은 남학생 5명, 여학생 1명. 2006년 이후 처음 여학생이 참가했다.


개인 성적을 보면, 여섯 문제 가운데 다섯 문제에서 7점 만점 받은 이란, 일본, 베트남 학생들이 35점으로 1위. 세 학생 모두 3번 문제는 0점을 받았다. 거의 모든 학생이 0점을 받을 정도로 이번 대회에서 가장 어려웠던 문제였다.


우리나라 김다인 학생은 29점으로 여학생 1위. 우리나라 남학생 둘과 함께 팀내 공동 1위이고, 참가 학생 전체에서는 공동 7위.


2017년 IMO 최종 결과 - IMO 공식 사이트

시험 문제 2017_kor.pdf


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2017.02.15 22:14

Raymond Smullyan 교수 별세 Math2017.02.15 22:14

"이 책의 제목은 무엇인가?"라는 재미있는 논리 퍼즐 책으로 유명한 레이먼드 스멀리언(Raymond Smullyan) 교수가 2월 6일 돌아가셨다고 한다. 향년 97세.


그는 마술사이자 피아니스트이며, 탁월한 논리학자였다. 박사 학위 지도교수는 무려 알론조 처치(Alonzo Church). 그러니까 스멀리언은 앨런 튜링(Alan Turing)과 사형제간이 된다.


평소 "죽음은 두려워할 필요 없다. 어차피 살아 생전에는 오지 않을 일이므로."라고 할 정도로 유쾌한 분이어서 그런지 100년 가까이 장수를 누렸다.



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2017.02.08 19:08

윤옥경 교수님 별세 Math2017.02.08 19:08

2016년 7월 7일 서울대 수학과 명예교수였던 윤옥경 교수님께서 돌아가셨다. 연구년으로 외국에 나가 있느라 귀국하고서야 뒤늦게 부고를 접했다. 향년 87세.


Calculo ergo sum(나는 계산한다. 고로 나는 존재한다)라는 말을 들을 만큼 계산이 빠르고 정확해서 전설적인 일화도 무척이나 많은 분이다. 고등학생들에게는 수학의 정석 머리말에 나오는 이름으로 더 잘 익숙할지도 모르겠다.


늦었지만 고인의 명복을 빌며, 서울대 수학과 뉴스레터에 실린 추모글을 첨부한다. Tistory의 버그로 파일 이름 앞에 공백이 하나 들어가 있다.


윤옥경_교수님을_추모하며.pdf


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2016.10.21 10:48

2017년 수학 달력 Math2016.10.21 10:48

10월 20일부터 10월 23일까지 서울대에서 개최되는 대한수학회 창립 70주년 기념 국제학술대회에서 판매 중인 수학 달력입니다.


구매는 대한수학회(02-565-0361)에 문의하세요.



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2016.10.03 09:02

한 면 안정 다면체와 거북이 Math2016.10.03 09:02

지난 9월 30일은 수학자 리처드 가이(Richard Guy)의 100번째 생일이었다.


수학도들에게는 아마 그의 책 Unsolved Problems in Number TheoryUnsolved Problems in Geometry로 익숙한 이름일 것 같다.


100년의 인생 동안 Guy는 수많은 수학적 업적을 이루었는데,  특히 유희수학(recreational mathematics) 분야에서 많은 공헌을 하여, 그 가운데 일반인이 이해하기 쉬운 재미있는 것들도 아주 많다. 예를 들어, 콘웨이(J. H. Conway)의 유명한 생명 게임(Game of Life)에서 무한히 반복되면서 이동하는 패턴인 글라이더(glider)를 처음 발견한 것도 Guy였다.



그가 발견한 것 가운데 unistable polyhedron(=monostable polyhedron)도 비교적 이해하기 쉽다. "한 면 안정 다면체" 정도로 번역할 수 있는 unistable polyhedron은 Conway와 Guy가 출제한 문제[각주:1]에서 비롯되었다. 이 문제는 다음 두 가지를 물었다.

  1. 임의의 균질한 사면체는 적어도 두 면 가운데 한 면을 바닥으로 하여 놓으면 안정됨을 보이시오.
  2. 바닥에 놓았을 때 안정되는 면이 꼭 하나인 균질 볼록 다면체의 예를 드시오.

여기서 다면체가 안정되게 놓인다는 것은 다면체를 놓아두면 어느 쪽으로도 기울지 않고 그대로 있다는 뜻이다. 다시 말해, 다면체의 무게중심이 바닥면을 벗어나지 않는다는 뜻이다. 1969년에 같은 저널에 실린 풀이[각주:2]에서 Guy는 19개의 면으로 이루어진 다면체를 제시하였다. 단면이 17각형인 각기둥 모양의 양쪽을 비스듬히 잘라낸 모양이었다. 이 19면체를 바닥에 어떻게 놓아도 가장 긴 면이 아래로 가게 구른 다음 안정된다. (관련 동영상 참고)


한 면 안정 19면체


이 다면체를 앞, 옆, 위에서 본 그림은 다음과 같다. 여력이 되는 사람은 3D 프린터로 하나쯤 만들어 봐도 재미있을 것 같다.


앞, 옆, 위에서 본 한 면 안정 19면체



Guy는 다음과 같은 방법으로 일반적인 unistable polyhedron을 구성하였다.

  1. 한 내각이 \(180/m\)인 닮은 직각삼각형을 그림과 같이 반복하여 붙여서 \((2m-1)\)각형을 만든다.
  2. 이 다각형을 단면으로 하는 각기둥을 만든 다음 양쪽을 비스듬히 잘라낸다.

Richard Guy의 unistable polyhedron 도면


Guy의 구성 방법으로는 \(m \ge 8\)인 경우, 즉 단면이 17각형 이상인 경우에 가장 긴 면을 바닥으로 하여 놓으면 다면체의 무게중심이 바닥면을 벗어나지 않는다. 구성 방법을 조금 바꾸면 면의 개수를 더 줄일 수 있을 것 같은데, 의외로 전혀 진전이 없다가, 2012년에 Andras Bezdek이 18면 다면체를 구성하였고, 2014년에 Alex Reshetov가 구성한 14면 다면체[각주:3]가 현재 최고 기록이다.


흥미롭게도 자연에서 unistable polyhedron과 비슷한 모양을 발견할 수 있다. 아래 사진의 거북은 인도 별 거북(Indian star tortoise)으로, 이 거북은 등딱지가 unistable polyhedron과 비슷하게 생겨서, 뒤집어지더라도 쉽게 자세를 바로잡을 수 있다고 한다. 이쯤 되면 조물주는 분명히 수학자라는 생각이 든다.



인도 별 거북 (출처: fr.wikipedia.org, Colin M.L. Burnett 제공)



  1. Conway, Guy, Problem 66-12, Stability of Polyhedra, SIAM Review, Vol. 8, No. 3, July, 1966, 381. [본문으로]
  2. Conway, Guy, Problem 66-12, SIAM Review Vol. 11 (1969), 78-82. [본문으로]
  3. A. Reshetov, A unistable polyhedron with 14 faces. Int. J. Comput. Geom. Appl. 24 (2014), 39-60. [본문으로]
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2016.09.09 22:14

레카만 수열의 기묘한 성질 Math2016.09.09 22:14

수학의 세계에는 별별 희한한 수열들이 많다. 피보나치 수열이나 메르센 수처럼 이름 붙은 유명한 수열도 있지만, 해괴한 규칙에 따라 만들어지는 수열도 있고, 뭔가 다른 계산을 하다가 나왔는데 아직 그 정체가 밝혀지지 않은 수열도 있다. 이런 수열들 가운데 비교적 수학적 의미가 있다고 인정되는 것들을 모아놓은 웹사이트가 있다. 수학자 슬론(Neil James Alexander Sloane)이 만든 On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, 줄여서 OEIS가 그것으로, 처음에는 슬론이 종이에 적어 가며 수집한 목록 정도였지만, 지금은 독립된 도메인으로, 내용도 체계적으로 정리되어 있으며, 항목 수만 25만 개가 넘는다. 현재는 OEIS Foundation에서 관리하고 있다.


슬론은 OEIS에 있는 수열 가운데 가장 좋아하는 것으로 레카만 수열(Recamán sequence)을 들고 있다. OEIS 분류 번호 A005132인 이 수열은 콜롬비아의 수학자 베르나르도 레카만 산토스(Bernardo Recamán Santos)가 제안한 것으로, 규칙이 좀 희한하다. 먼저 \(a_0=0\)으로 둔다. 그 다음부터는 \(a_n = a_{n-1}-n\)으로 계산하되, 만약 이 값이 양수가 아니거나, 양수이더라도 이전 항에 이미 나온 수라면 \(a_n = a_{n-1}+n\)으로 바꾸어 계산한다.


몇 개 항을 계산해 보면, \(n=1\)일 때, \(a_0-1 = -1\)은 양수가 아니므로, \(a_1 = a_0+1 = 1\)이 된다. 이어서, \(n=2\)일 때, \(a_1-2=-1\)이므로 \(a_2 = a_1+2=3\)이 된다. 같은 식으로, \(a_3 = a_2+3=6\)이다. \(n=4\)일 때, \(a_3-4=2\)인데, 이전 단계에서 \(2\)가 나타나지 않았으므로, \(a_4 = 2\)가 된다. 그 다음 항은 \(n\)을 더하여 \(a_5=a_4+5=7\), \(a_6=a_5+6=13\), \(a_7=a_6+7=20\)이고, 여덟 번째 항은 \(n=8\)을 빼서 \(a_8=a_7-8=12\)가 된다. 이런 식으로 70항까지 계산한 결과는 다음과 같다.


0,1,3,6,2,7,13,20,12,21,
11,22,10,23,9,24,8,25,43,62,
42,63,41,18,42,17,43,16,44,15,
45,14,46,79,113,78,114,77,39,78,
38,79,37,80,36,81,35,82,34,83,
33,84,32,85,31,86,30,87,29,88,
28,89,27,90,26,91,157,224,156,225,
155

Recamán 수열500항까지 구한 Recamán 수열



우선 생각해 볼 수 있는 질문이라면, 이 수열의 항이 모두 다를지 그렇지 않으면 같은 값이 나올 수 있을지일 것 같다. \(a_{n-1}-n\)이 이전 항에 나타나면 \(a_{n-1}+n\)을 계산하지만, \(a_{n-1}+n\)이 이전 항에 나타나는 경우에 대해서는 제한하지 않았기 때문이다. 이 질문은 간단히 답할 수 있다. 위에서 구한 항을 보면, \(a_{20}=a_{24}=42\)이므로 Recamán 수열에는 같은 값이 나올 수 있다. \(a_{18}=a_{26}=43\)도 위 표에서 찾을 수 있다.


이 수열에 중복되는 값이 나올 수는 있는 것은 쉽게 알 수 있겠는데, 이 수열이 모든 자연수를 만들어 낼 수는 있을까? 이 수열의 \(n\)번째 항은 앞 항과 \(n\) 차이가 나니까 그럴 것 같아 보이지는 않는다. 하지만 한편으로는 수열이 커졌다가 작아졌다가를 반복하는 형태여서 모든 자연수를 만들어 낼 수도 있을 것처럼 보인다. 어느 쪽이 참일까?


2001년에 AT&T의 앨런 윌크스(Allan Wilks)는 \(10^{15}\)번째 항까지 계산한 결과에 나타나지 않은 가장 작은 자연수가 \(852655 = 5 \times 31 \times 5501\)임을 발표하였다. 2010년에는 인텔의 컴퓨터 공학자인 벤자민 채핀(Benjamin Chaffin)이 \(10^{230}\)번째 항까지 계산해서, 여전히 \(852655\)가 나타나지 않음을 확인하였다. 과연 이 수는 Recamán 수열에 절대 나타나지 않는 수일까?

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2016.08.24 01:43

대학수학 맛보기 - 미분형식 Math2016.08.24 01:43

지난 번 “대학수학 맛보기”에서 적분 이야기를 했으니, 다음은 미분 이야기를 하면 적당할 것 같다. 뭔가 순서가 바뀐 것 같은 느낌이 든다면, 기분 탓이다. 고등학교에서 미분을 처음 배울 때, 함수 \(y=f(x)\)의 미분을 다음과 같이 정의한다.
\[\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]

그러고 \(dy/dx\)를 “미분계수(differential coefficient)”라고 부른다. 생각해 보면 참으로 기묘하고 마술 같은 식이다. 이름부터 이상하다. 저 값이 어딜 봐서 “계수”라는 말인가? 또, 순진하게(?) 생각하면 \(dx=\lim_{\Delta x \to 0}\Delta x\)처럼 보이는데, 그러면 분모가 \(0\)이 되어 버린다. 그러니까, \(dx\)는 \(\Delta x\)에 해당하는 값이면서 \(0\)은 아니어야 하는 이상한 일이 벌어진다. 아니, 애초에 \(dx\)니 \(dy\)니 하는 게 무엇인지부터 분명하지 않다. 수를 나타낸다고 하면 분모와 분자가 모두 \(0\)인 분수가 되어 말이 안 되고, 수가 아니라고 하면 \(dy\)를 \(dx\)로 나눈다는 게 말이 안 된다.

실제로 뉴턴과 라이프니츠가 미적분학을 개발했을 때 직면한 문제점이 바로 이것이었다. \(dx\)와 \(dy\)는 수도 아니고, 수가 아닌 것도 아닌 정체불명의 그 무엇이었다.

라이프니츠는 \(dx\)와 \(dy\)를 “미분(differential)”이라 부르고 무한소(infinitesimal)로 생각하였다. \(dy\)를 \(dx\)로 나누는 대신
\[dy=(?)dx\]
꼴로 생각하고 물음표에 해당하는 값을 “미분에 붙어있는 수”라는 뜻에서 “미분계수”라고 불렀다. 미분계수가 미분계수로 불리는 이유이다.

아마도 무한소를 생각하는 과정에서 라이프니츠 철학의 핵심 개념인 모나드(monad)를 착안하지 않았을까 싶은데, 무한소를 이용한 설명은 그럴 듯하기는 하지만, 무한소라는 개념 자체가 모호하여 논리적으로는 한계가 있었다. 라이프니츠는 “연산 규칙을 분명하게 정해 놓고 이 규칙들을 적절히 적용하기만 한다면, 그 개념이 다소 모호하다고 해도 합리적이고 올바른 결과를 얻게 된다.”라고 하였다. 어찌 보면 철학자답지 않은 발언 같기도 한데, 어쨌든 그의 통찰력만은 대단했다.

미분 개념의 모호함 때문에, 현행 고등학교 교육과정에서는 미분계수 \(dy/dx\)를 분수처럼 생각하지 않고, \(d/dx\)를 하나의 기호로 다루도록 하고 있다. 이런 이유로, 분수가 아니라는 뜻에서, \(dy/dx\)를 “디 와이 디 엑스”로 읽어야만 한다고 가르치는 경우도 있는데, 그건 좀 심한 것 같다. 어찌 됐든 저 모양은 분수꼴이므로 “디 엑스 분의 디 와이”라고 읽어서 안 될 이유는 없다. 무엇보다도 라이프니츠가 애초에 분수 모양을 의도하고 만든 기호이므로, 분수처럼 생긴 것을 분수처럼 부르지 못하면 억울하지 않은가. 홍길동도 아닌데.

라이프니츠의 착상(의 위력)을 가장 잘 보여주는 것은 아마도 다음 등식
\[\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\times\frac{dy}{dx}\]
일 것 같다. 바로 연쇄 법칙(chain rule)이다. 모양만 놓고 보면 \(dy\)를 약분하면 등식이 성립한다. 실제로 이 증명도 \(dy\)를 약분하는 것과 별로 다르지 않다. 다만 \(dy\)가 \(0\)이 되는 경우, 즉 함수 \(y(x)\)의 증가량이 \(0\)인 경우를 따로 다루는 것이 조금 다를 뿐이다.


고등학교에서 \(dx\)와 \(dy\)를 분리해서 생각하지 않도록 한다지만, 사실 적분만 봐도 이런 원칙은 바로 이상해진다. 적분

\[\int f(x)\,dx\]

는 \(dx\)를 분리해서 표기하고 있으며, \(x=g(t)\)로 치환적분할 때

\[\int f(x)\,dx = \int f(g(t)) \frac{dx}{dt}\,dt\]

는 분모의 \(dt\)와 마지막 \(dt\)가 약분되는 형태를 드러내는 식이고, 무엇보다 저런 치환적분을 할 때 \(x=g(t)\)의 양변을 \(t\)로 미분한다면서

\[dx = g'(t)\,dt\]

라는 계산을 겁도 없이(?) 마구 한다는 점에서 \(dx\)니 \(dy\)니 하는 것을 분리해서 생각하고 있다. 정확히 말하면, 분리해서 생각해도 문제가 잘 풀리도록 기호가 설계되어 있다.


이런 엉성한(?) 개념으로 뉴턴, 라이프니츠는 물론, 오일러, 가우스, 코시 등등 수많은 천재 수학자들이 어마어마한 업적을 쌓아올렸다. 그러다 이 개념을 더 정교하게 다듬고 확장하는 과정에서 해석학이라는 분야로 크게 발전하였다. 어떤 면에서는, 미적분학은 좋은 함수가 가지고 있는 좋은 성질을 공부하는 과목이고, 해석학은 나쁜 함수가 가지고 있는 나쁜 성질을 공부하는 과목이라 할 수 있을지도.


고등학교에서 배우는 17세기 수학과는 달리 현대 수학에서는 벡터 개념을 이용하여 \(dx\)와 \(dy\)를 수학적으로 엄밀하게 잘 다룰 수 있다.


함수 \(y=f(x)\)의 그래프를 그렸다고 생각하자. 지금은 좋은 함수의 좋은 성질을 설명하는 것이므로, 이 함수는 미분 가능한 함수로 생각한다. 미분을 한다는 것은 함수에 대한 선형 근사를 찾는 것이라 할 수 있고, 함수의 그래프를 생각하면 각 점에서 접선을 구하는 것이라 할 수 있다. 접점은 주어져 있으므로, 접선의 기울기만 알면 접선을 그릴 수 있다.


이제 접점 \(\mathrm{P}\)를 시점으로 하고 접선의 한 점을 종점으로 하는 벡터를 그리면, 접벡터들의 집합 \(T_{\mathrm{P}}\)는 1차원 벡터 공간이 된다. 이 벡터 공간에서 벡터를 하나 골라 \(\mathbf{v}\)라 하자. 이때 \(dx\)와 \(dy\)는 \(\mathbf{v}\)에 실수를 대응시키는 함수로 생각한다. \(dx(\mathbf{v})\)는 \(x\)축 방향 변화량, \(dy(\mathbf{v})\)는 \(y\)축 방향 변화량을 뜻한다. 아래 그림에서 \(a=dx(\mathbf{v})\)이고 \(b=dy(\mathbf{v})\)이다.




벡터 \(\mathbf{v}\)가 접선에 놓여 있으므로, 두 실수 \(dx(\mathbf{v})\)와 \(dy(\mathbf{v})\)는 일정한 비를 이룬다. 즉,

\[dy(\mathbf{v}) = k \, dx(\mathbf{v})\]

가 되고, 접선의 기울기인 비례상수 \(k\)는 \(\mathbf{v}\)의 크기가 아무리 작아도 일정하다. 이 부분이 바로 무한소를 벡터 개념으로 대체한 것이다. 임의의 \(\mathbf{v}\)에 대하여 위의 등식이 성립하므로, 간단히

\[dy = k\,dx\]

라 둘 수 있다. 그러니까 위 등식은 두 함수 \(dx:T_{\mathrm{P}} \to \mathbb{R}\)와 \(dy:T_{\mathrm{P}} \to \mathbb{R}\)가 비례 관계임을 뜻한다. \(k\)의 값은 접점 \(\mathrm{P}\)의 좌표(의 \(x\)-성분)에 따라 결정되므로, \(x\)에 대한 함수로 생각할 수 있다. 원래 함수 \(y=f(x)\)로부터 유도되어 나오는 이 새로운 함수를 도함수(導函數, derivative)라 하고 \(f'(x)\)로 나타내면,

\[dy=f'(x)\,dx\]

라는 익숙한 등식이 된다. \(dx\)와 \(dy\)가 무엇인지, 분리해서 써도 되는지 고민할 필요가 없다!


함수 \(dx\)처럼 벡터에 실수를 대응시키는 함수를 특별히 미분형식(differential form)이라 부른다. 이제 같은 방식으로 생각하면, 적분이란 미분형식에 작용하는 연산자로 생각할 수 있다. 그러니까, 이런 관점에서는, 적분 \(\int_a^b f(x)\,dx\)에서 기호 \(\int_a^b\)가 적용되는 대상은 함수 \(f(x)\)가 아니라 미분형식 \(f(x)\,dx\)이고, 적분은 [벡터에 실수를 대응시키는 미분형식]에 [실수]를 대응시키는 특별한 연산자가 된다.


사실 이런 개념 없이도 미분계수를 정의하고, 주어진 함수를 미분하고 적분하는 것은 얼마든지 할 수 있다. 실제로 고등학교 수학 교과서에서 그렇게 하고 있으니까. 그럼에도 이런 복잡해 보이는 고생을 사서 하는 이유는, 이와 같이 한 개념을 엄밀하게 정의하면 그 개념을 확장하는 것이 매우 논리적이고 자연스러워지기 때문이다.


예를 들어, 2변수 함수 \(z=f(x,y)\)에서 “미분”을 어떻게 정의할 수 있을까? 이 경우는 변수가 두 개이므로, \(dz/dx\)나 \(dz/dy\) 하나만으로는 함수를 묘사하기가 어렵다. 이제 앞서 보았던 미분형식을 생각하면, 우리가 해야할 일은 \(dz(\mathbf{v})\)를 \(dx(\mathbf{v})\)와 \(dy(\mathbf{v})\)에 대한 식으로 나타내는 것임을 알 수 있다. 여기서 벡터 \(\mathbf{v}\)는 당연히 \(z=f(x,y)\)로 주어지는 곡면의 접평면에 속하는 벡터가 된다. 1변수 함수에서 접선에 속하는 접벡터를 생각했던 것처럼, 2변수 함수에서는 접평면에 속하는 접벡터를 생각하는 것이다.


벡터 \(\mathbf{v}\)가 점 \(\mathrm{P}\)에서 접하는 평면 위에 놓여 있다고 하면, 세 축 방향의 증가량들 사이의 관계식은

\[dz(\mathbf{v}) = (♠︎)\,dx(\mathbf{v}) + (♡)\,dy(\mathbf{v})\]

라는 일차식 형태로 표현되고, \(dy(\mathbf{v})=0\)인 벡터 \(\mathbf{v}\)에 대하여 생각하면 첫 번째 계수 (♠︎)는 \(y\)를 상수로 생각한 상태에서 \(f(x,y)\)를 \(x\)로 미분한 것과 같다. 이 미분계수를 \(\left.\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right|_{\mathrm{P}}\)로 나타낸다. 같은 식으로, \(dx(\mathbf{v})=0\)인 경우를 생각하면 두 번째 계수 (♡)는 \(x\)를 상수로 생각한 상태에서 \(f(x,y)\)를 \(y\)로 미분한 것과 같고, 이 미분계수는 \(\left.\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right|_{\mathrm{P}}\)로 나타낸다. 이제 전체 결과를 정리하면

\[dz = \left.\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right|_{\mathrm{P}}\,dx + \left.\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right|_{\mathrm{P}}\,dy\]

가 된다.


이로써 우리는 변수가 몇 개이든 함수가 하나 주어지면 그 미분을 같은 방식으로 정의할 수 있다. 이런 게 바로 일반화의 위력이고 수학의 위력이라 하겠다.


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Posted by puzzlist
2016.07.09 07:34

정다면체와 한 점 Math2016.07.09 07:34

마틴 가드너(Martin Gardner)의 책 Mathematical Circus에 정삼각형이 대한 흥미로운 등식이 실려 있다. 한 변의 길이가 \(d\)인 정삼각형 ABC가 있고 한 점 P가 주어질 때, 점 P와 세 점 A, B, C 사이의 거리 \(a=\overline{\rm PA}, b=\overline{\rm PB}, c=\overline{\rm PC}\)에 대하여 다음과 같은 등식이 성립한다.

\[3(a^4+b^4+c^4+d^4) = (a^2+b^2+c^2+d^2)^2\]



네 문자에 대해 대칭을 이루고 있어서 무척 아름답게 느껴지는 등식이다. 이 결과를 다른 도형으로 일반화할 수 없을까?


1995년에 수학자 John Bentin은 정삼각형을 일반화하여 정사면체, 그리고 이를 \(n\)-차원에서 일반화한 \(n\)-정단체(regular simplex)에 대한 등식을 얻었다. \(n\)개의 꼭짓점을 갖는 \((n-1)\)-정단체의 한 모서리의 길이가 \(d_0\)이고, 한 점 P에서 각 꼭짓점에 이르는 거리가 \(d_1, d_2, \dots, d_n\)일 때,

\[n(d_0^4+d_1^4+\dots+d_n^4) = (d_0^2+d_1^2+\dots+d_n^2)^2\]

이 성립한다. \(n=3\)인 경우, 앞서 보았던 정삼각형에 대한 등식이 된다.

 

1997년에 Bentin은 이 결과를 정다각형으로도 일반화하였다. 반지름 \(r\)인 원에 내접하는 정\(n\)각형의 각 꼭짓점에서 한 점 P에 이르는 거리를 \(d_1, d_2, \dots, d_n\)이라 할 때, \(d_i^2\)들의 평균을 \(s^2\), \(d_i^4\)들의 평균을 \(q^4\)이라 하면

\[q^4 + 3r^4 = (s^2 + r^2)^2\]

이 성립한다.

정삼각형의 경우, 한 변의 길이가 \(d\)인 정삼각형의 외접원의 반지름이 \(d/\sqrt{3}\)이니까, 이 값을 위 등식의 \(r\)에 대입하면 처음 언급하였던 등식이 된다.


이제 당연한 질문은 이 결과를 다른 정다면체로 확장할 수 있느냐이다. 여기에 대한 연구는 거의 되어 있지 않았는데, 최근에 정육면체와 이를 고차원으로 일반화한 초입방체(hypercube), 그리고 정팔면체와 이를 고차원으로 일반화한 정축체(orthoplex)에 대해서도 비슷한 등식이 성립함이 밝혀졌다.


\(n\)-차원 초입방체는 \(2^n\)개의 꼭짓점을 가지고 있다. 각 꼭짓점에서 한 점 P에 이르는 거리들을 \(d_1, d_2, \dots, d_{2^n}\)이라 하고, \(d_i^2\)들의 평균을 \(s^2\), \(d_i^4\)들의 평균을 \(q^4\)이라 하면,

\[q^4 + \frac{4(n+1)}{n^2}r^4 = \left( s^2 + \frac{2}{n}r^2 \right)^2\]

이 성립한다.


\(2n\)개의 꼭짓점을 가지는 \(n\)-차원 정축체(orthoplex)에서도 마찬가지로, 각 꼭짓점에서 한 점 P에 이르는 거리들을 \(d_1, d_2, \dots, d_{2n}\)이라 하고, \(d_i^2\)들의 평균을 \(s^2\), \(d_i^4\)들의 평균을 \(q^4\)이라 하면,

\[q^4 + \frac{4(n+1)}{n^2}r^4 = \left( s^2 + \frac{2}{n}r^2 \right)^2\]

이 성립한다.


신기하게도(?) 전혀 다른 두 정다면체에 대한 등식이 똑같이 생겼다. 뿐만 아니라, \(n\)-정단체(regular simplex)에 대한 등식도 \(s^2\)과 \(q^4\)을 이용하여 다시 쓰면 또다시 똑같은 등식 

\[q^4 + \frac{4(n+1)}{n^2}r^4 = \left( s^2 + \frac{2}{n}r^2 \right)^2\]

이 된다. 이것은 우연의 일치일까? 세 종류의 정다면체에 대한 증명은 완전히 별개이지만, 등식 자체가 똑같이 생겼다는 점에서 무언가 통일성 있는 설명이 가능하지 않을까? 어쩌면 정단체는 자기 자신과, 초입방체와 정축체(orthoplex)는 서로 쌍대(dual)라는 사실로 무언가를 설명할 수 있을지도 모르겠다.


다른 정다면체에 대해서는 어떨까? 정십이면체와 정이십면체에 대해 비슷한 결과를 얻을 수 있을까? 그리고 4차원에서는 정단체(4-regular simplex), 초입방체(4-hypercube), 정축체(4-orthoplex) 외에 세 개의 4차원 정다면체가 더 존재한다. 이 도형들에 대해서도 비슷한 결과를 얻을 수 있을까?


요약:

1. 정\(n\)각형에 대해 \[q^4 + 3r^4 = (s^2 + r^2)^2\]이라는 등식이 성립한다.

2. \(n\)차원 정단체(regular simplex), 초입방체(hypercube), 정축체(orthoplex)에 대하여 \[q^4 + \frac{4(n+1)}{n^2}r^4 = \left( s^2 + \frac{2}{n}r^2 \right)^2\]이라는 등식이 성립한다.

3. 위 등식에 대한 통일성 있는 설명을 할 수 있을까?

4. 다른 정다면체에 대해서도 비슷한 등식이 성립할까?

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