자세한 내용은 Quanta Magazine에 실린 기사 Elliptic Curve ‘Murmurations’ Found With AI Take Flight를 참고하세요.

https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/

악명 높았던 페르마의 마지막 정리를 증명하는 데도 사용되었던 타원곡선은 풍성한 성과와 함께 정수론 분야의 핵심적인 주제가 되고 있다.

최근에 코네티컷 주립대의 이규환 교수가 타원곡선의 신기한 현상을 발견하였다. 타원곡선의 특징을 나타내는 어떤 값을 동료 연구자들과 함께 AI를 이용하여 계산하였는데, 연속적이지 않고 이산적인 정수론적 개념은 기계학습을 이용한 예측이 잘 안 될 것이라는 예상과 달리, 아주 높은 정확도로 이 값들을 계산할 수 있었다.

기계학습이 늘 그렇듯, 잘 작동하는 이유를 알기는 어려웠는데, 이규환 교수가 학부생에게 이 결과들을 연구해 보라고 했더니, 놀라운 현상이 발견되었다. 타원곡선들을 rank 0과 rank 1로 나눈 다음, 계산했던 값들을 소수에 따라 평균을 내어 그래프를 만들어 보니, 마치 수많은 새들이 무리지어 날아가는 것처럼 물결치는 듯한 패턴이 나타났다.

이규환 교수는 이것을 murmuration이라 불렀다. 개별적인 계산으로는 잘 드러나지 않고 수많은 대상을 집단적으로 관찰할 때 드러나는 현상은 컴퓨터를 이용하지 않고는 인간이 감지하지가 쉽지 않다. AI는 이것을 알았기에 이전 연구에서 놀라울 정도로 정확한 값을 예측할 수 있었고.

이후 관련 연구가 쏟아지면서 타원곡선과 관련 분야에서 새로운 발견과 증명이 잇따르고 있다.

지난 연말 온라인 논문 투고 사이트인 arXiv.org에 흥미로운 논문이 게재되었다.

제목은 Constellations in prime elements of number fields, 저자는 일본 도호쿠 대학(Tohoku University)의 Wataru Kai, Masato Mimura, Akihiro Munemasa, Shin-ichiro Seki, Kiyoto Yoshino의 다섯 명이었다.

이 논문은 유명한 그린-타오 정리(Green-Tao Theorem)를 일반화한 것이다. GT 정리는 소수만으로 이루어진 임의의 길이의 등차수열이 존재한다는 것으로, 예를 들어 3-5-7은 길이 3, 5-11-17-23은 길이 4인 등차수열이다.

이 정리를 대수적 수체(algebraic field)로 확장하여, 대수적 정수 가운데 소수에 해당하는 수들의 집합을 생각할 때, 어떤 모양의 배열이든 항상 찾을 수 있다는 것이 일본 수학자들이 얻은 아름다운 결과였다.

며칠 전 KAIST 수학과에서 주관하여, 이 결과에 대한 강연이 온라인으로 개최되었다. 공저자인 Wataru Kai 교수가 발표를 시작하면서, 2006년에 시작했던 우리나라 드라마 "눈의 여왕"을 언급해서 깜짝 놀랐다. 내가 이 드라마의 자문위원 가운데 한 명이었기 때문이다.

저 문제는 드라마 막바지에 제시되는데, 지금은 고등과학원(KIAS)에 계신 김정한 교수님이 작가들에게 제시한 것이었다. 사실 너무 유명한 문제였고, 방송이 시작된 해인 2006년에 필즈 메달을 수상한 Terence Tao의 대표적 업적이어서, 나는 드라마에 사용하기에는 곤란하다고 반대했지만 작가들이 비주얼을 그런대로 잘 살려내어 나쁘지 않은 선택이었다.

강연이 끝나기 전에 나가야 해서 끝까지 못 들어 아쉬웠는데, 호스트였던 교수가 발표자에게 이 문제에 관심을 가지게 된 계기를 물어보고 나에게 답변을 전해주었다.

공저자 중의 한 명인 Shin-ichiro Seki 교수가 학생일 때 드라마 "눈의 여왕"을 처음 보았고, 드라마에 나온 GT 정리에 관심이 생겨 세부적인 부분까지 모두 공부했다고.

작년(2020년), 코로나 바이러스 때문에 학회고 뭐고 아무 데도 못 가는 상황에서, 도호쿠 대학 교수들이 Seki 교수에게 GT 정리를 가르쳐 달라고 했고, 이 강연을 바탕으로 일반적인 대수적 수체로 확장한 문제에 도전하여 결국 해결한 것이었다.

이 이야기를 "눈의 여왕" 작가들에게 전했더니 아주 기뻐하며 일본 수학자들에게 감사 인사를 전해달라고 했다.

트위터와 페이스북에도 이 이야기를 올렸는데, 어제 이 이야기의 주인공인 Shin-ichiro Seki 교수가 트위터에 댓글을 달았다!

고등학생 때 K-드라마 팬이던 어머니께서 "눈의 여왕"을 추천해서 보게 되었고, 드라마뿐만 아니라 GT 정리와도 사랑에 빠졌다고. 이렇게 시작된 인연이 멋진 정리를 증명하는 데 이르렀고, 증명을 발표하는 현장에 그 드라마  자문을 맡았던 사람이 참석했고, 이 흥미로운 이야기가 작가에게도 전해졌으니 정말 놀랍고 신기한 인연이었다.

이 블로그에서 "눈의 여왕"과 관련된 글은 태그 "#눈의 여왕"을 이용하여 확인하시라.

1092쪽. 36500원.

구매처: book.naver.com/bookdb/book_detail.nhn?bid=14013099

대한수학회 2020년 수학달력 나왔습니다. 

네이버 쇼핑몰 https://smartstore.naver.com/geobooks/products/3502395042

알라딘 https://www.aladin.co.kr/shop/wproduct.aspx?ItemId=208385898

대한수학회 수학달력 제작 중.

보통 탁상 달력은 한쪽에 그림, 반대쪽에 1일부터 말일까지 한 달 표시를 하고 있다.

수학달력에서는 그림에 해당하는 쪽에, 설명이 필요한 내용을 크게 그려주는 형식이었는데, 이게 생각보다 눈이 가지 않는 데다, 일자 칸에 메모할 공간이 없어서 불편하다는 의견이 있었다. 그래서 달력 형식을 바꿔 보는 중.

보통 달력의 그림에 해당하는 쪽에 일자별로 메모할 수 있게 빈칸을 그렸다. 이것만 하면 심심해서, 각 달에 태어난 수학자 초상화를 넣어 보았다.