자세한 내용은 Quanta Magazine에 실린 기사 Elliptic Curve ‘Murmurations’ Found With AI Take Flight를 참고하세요.

https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/

악명 높았던 페르마의 마지막 정리를 증명하는 데도 사용되었던 타원곡선은 풍성한 성과와 함께 정수론 분야의 핵심적인 주제가 되고 있다.

최근에 코네티컷 주립대의 이규환 교수가 타원곡선의 신기한 현상을 발견하였다. 타원곡선의 특징을 나타내는 어떤 값을 동료 연구자들과 함께 AI를 이용하여 계산하였는데, 연속적이지 않고 이산적인 정수론적 개념은 기계학습을 이용한 예측이 잘 안 될 것이라는 예상과 달리, 아주 높은 정확도로 이 값들을 계산할 수 있었다.

기계학습이 늘 그렇듯, 잘 작동하는 이유를 알기는 어려웠는데, 이규환 교수가 학부생에게 이 결과들을 연구해 보라고 했더니, 놀라운 현상이 발견되었다. 타원곡선들을 rank 0과 rank 1로 나눈 다음, 계산했던 값들을 소수에 따라 평균을 내어 그래프를 만들어 보니, 마치 수많은 새들이 무리지어 날아가는 것처럼 물결치는 듯한 패턴이 나타났다.

이규환 교수는 이것을 murmuration이라 불렀다. 개별적인 계산으로는 잘 드러나지 않고 수많은 대상을 집단적으로 관찰할 때 드러나는 현상은 컴퓨터를 이용하지 않고는 인간이 감지하지가 쉽지 않다. AI는 이것을 알았기에 이전 연구에서 놀라울 정도로 정확한 값을 예측할 수 있었고.

이후 관련 연구가 쏟아지면서 타원곡선과 관련 분야에서 새로운 발견과 증명이 잇따르고 있다.

20세기 초 미국의 퍼즐 작가 샘 로이드는 삽화의 모양을 잘라 정사각형을 만드는 문제를 내었다. 저 모양은 정사각형을 대각선을 따라 사등분한 다음 한 조각을 떼어낸 것으로, 주교가 쓰는 관 모양을 닮아서 이 분할 퍼즐을 mitre puzzle이라 한다. 

로이드는 조각 개수가 가장 작은 분할을 찾아보라고 문제를 내었고, 조각 4개 짜리 답을 제시하였다. 진짜 절묘해 보이는 풀이인데…

사실 로이드의 답은 틀렸다. 오른쪽 모양이 정사각형에 가깝기는 하지만, 실제로는 가로 세로가 48:49인 직사각형이 되는 것을 간단한 계산으로 확인할 수 있다. 로이드 정도 되는 사람이 이걸 왜 몰랐을까? 

로이드와 쌍벽을 이루며 동시대에 활동했던 영국의 헨리 듀드니는 로이드의 오류를 지적하면서 조각 5개짜리 답을 제시하였다. (그림은 마지막에.)
수학퍼즐 분야에서 협력자이면서 경쟁자였던 두 사람의 관계를 보여주는 장면이랄까. 

나중에 미치 갤런트가 새로운 5조각 풀이를 발견했지만, 이후로 특별한 연구는 없었던 것 같다.  그러다 20세기말쯤 내가 새로운 5조각 풀이를 하나 더 찾았고, 몇년 전에 중국의 푸웨이가 참신한 5조각 풀이 하나와 6조각 풀이 몇개를 찾았다. 역시 그림은 마지막에.

2024년 1월쯤, 한국 최고의 퍼즐 작가라 할 만한 안진후님이 또다른 5조각 풀이를 발견하였다. 이로써 주교관 퍼즐의 5조각 풀이는 다섯 가지가 되었다. 아직 4조각 풀이는 발견되지 않았는데, 아마 불가능할 듯. 

혹시 새로운 분할 발견하신 분?

푸웨이 傅薇의 기존 풀이 해설과 관련 강연 영상. 
折纸思路新解百年数学题
2019年10月20日纪念马丁加德纳聚会活动下午场（二）

2024년 5월 드디어 4조각짜리 풀이가 유명한 퍼즐 작가 Vesa Timonen에 의해 발견되었다.

도형 분할 문제를 풀기 위한 프로그램을 작성하여 돌려본 결과, 한 조각을 뒤집어 사용하는 4조각짜리 풀이를 최초로 발견하였다.

자세한 정보는 https://mathstodon.xyz/@vesatimonen/112513347111148808 참고.

논문이라는 걸 본 적도 없는 사람 같은데, 내가 논문이 있건 없건 무슨 상관인지 모르겠다. 그저 남 비난하고 욕하는 걸로 만족감을 느끼는 전형적인 2번남. 일베 말투도 이런 인간들의 특징. 읽어보지도 않은 책 욕하는 것도 전형적인 특징.

이 글에 붙은 댓글. 수준이 적나라하게 드러나 보이는데 부끄럽지도 않은가 보다. 이런 댓글이 조열제 교수님까지 욕보인다는 건 생각 못하겠지. 애초에 경상대 학생도 아니겠지만.

참 별별 희한한 놈들이 댓글을 다네. 어디가 멍청한 소린지도 모르겠지. 그러니 저런 멍청한 댓글이나 달고 있겠지만.

자기 멋대로 남을 재단하고 빈정거리는 못된 버릇은 평생 못 고치겠지.

사람 사이의 최소한의 예의도 지킬 줄 모르는 사람은 차단밖에 답이 없음.

최근 한국산 콘텐츠들이 세계적인 인기를 끌고 있다. K-Pop과 K-Drama의 인기는 이미 세계적이며, 아카데미 영화제를 휩쓴 기생충도 유명하다. 얼마전에 넷플릭스(Netflix)에서 방송된 오징어 게임(Squid Game)은 전세계에서 그야말로 선풍적인 인기를 끌고 있다. 온갖 분야에서 한국인이 활약하는 모습을 보고 있으니 참 감격스럽다.

현재 세계에서 가장 유명한 퍼즐 작가라면 영국의 알렉스 벨로스(Alex Bellos)를 꼽을 수 있겠다. 다양한 퍼즐 책을 써서 세계적으로 인기를 끌었으며, 한국어로도 여러 권 번역이 되었다. 현재 영국의 신문 가디언(The Guardian)에 Alex Bellos's Monday puzzle을 격주로 연재하고 있다. 벨로스는 여러 퍼즐 작가들의 작품도 소개하고 있는데, 2021년 10월 4일 칼럼에서는 한국의 퍼즐 작가인 한동규 님의 걸작 분할 퍼즐을 소개하였다. 넷플릭스 오징어 게임의 스틸 한 장면과 함께.

사진도 그렇고, 제목도 "Can you solve it? Another game of brutal genius from South Korea"로 했으니, 최근의 한국 콘텐츠 인기를 의식하고 지은 게 분명한 제목이다.

세 종류의 분할 문제를 소개하고 있는데, 첫 번째 문제와 두 번째 문제는 크게 어렵지 않지만, 두 번째 문제를 참고로 하여 첫 번째 문제의 다른 풀이를 찾는 것은 조금 까다롭다. 가장 어려운 것은 체스의 킹(king)과 룩(Rook)을 맞바꾸는 세 번째 문제. 제목도 캐슬링(castling)이다. 벨로스가 "Marvel at its humour and elegance – and best of luck!"이라고 한 것처럼 정말 멋진 문제이다.

도전해 보기를!

지난 연말 온라인 논문 투고 사이트인 arXiv.org에 흥미로운 논문이 게재되었다.

제목은 Constellations in prime elements of number fields, 저자는 일본 도호쿠 대학(Tohoku University)의 Wataru Kai, Masato Mimura, Akihiro Munemasa, Shin-ichiro Seki, Kiyoto Yoshino의 다섯 명이었다.

이 논문은 유명한 그린-타오 정리(Green-Tao Theorem)를 일반화한 것이다. GT 정리는 소수만으로 이루어진 임의의 길이의 등차수열이 존재한다는 것으로, 예를 들어 3-5-7은 길이 3, 5-11-17-23은 길이 4인 등차수열이다.

이 정리를 대수적 수체(algebraic field)로 확장하여, 대수적 정수 가운데 소수에 해당하는 수들의 집합을 생각할 때, 어떤 모양의 배열이든 항상 찾을 수 있다는 것이 일본 수학자들이 얻은 아름다운 결과였다.

며칠 전 KAIST 수학과에서 주관하여, 이 결과에 대한 강연이 온라인으로 개최되었다. 공저자인 Wataru Kai 교수가 발표를 시작하면서, 2006년에 시작했던 우리나라 드라마 "눈의 여왕"을 언급해서 깜짝 놀랐다. 내가 이 드라마의 자문위원 가운데 한 명이었기 때문이다.

저 문제는 드라마 막바지에 제시되는데, 지금은 고등과학원(KIAS)에 계신 김정한 교수님이 작가들에게 제시한 것이었다. 사실 너무 유명한 문제였고, 방송이 시작된 해인 2006년에 필즈 메달을 수상한 Terence Tao의 대표적 업적이어서, 나는 드라마에 사용하기에는 곤란하다고 반대했지만 작가들이 비주얼을 그런대로 잘 살려내어 나쁘지 않은 선택이었다.

강연이 끝나기 전에 나가야 해서 끝까지 못 들어 아쉬웠는데, 호스트였던 교수가 발표자에게 이 문제에 관심을 가지게 된 계기를 물어보고 나에게 답변을 전해주었다.

공저자 중의 한 명인 Shin-ichiro Seki 교수가 학생일 때 드라마 "눈의 여왕"을 처음 보았고, 드라마에 나온 GT 정리에 관심이 생겨 세부적인 부분까지 모두 공부했다고.

작년(2020년), 코로나 바이러스 때문에 학회고 뭐고 아무 데도 못 가는 상황에서, 도호쿠 대학 교수들이 Seki 교수에게 GT 정리를 가르쳐 달라고 했고, 이 강연을 바탕으로 일반적인 대수적 수체로 확장한 문제에 도전하여 결국 해결한 것이었다.

이 이야기를 "눈의 여왕" 작가들에게 전했더니 아주 기뻐하며 일본 수학자들에게 감사 인사를 전해달라고 했다.

트위터와 페이스북에도 이 이야기를 올렸는데, 어제 이 이야기의 주인공인 Shin-ichiro Seki 교수가 트위터에 댓글을 달았다!

고등학생 때 K-드라마 팬이던 어머니께서 "눈의 여왕"을 추천해서 보게 되었고, 드라마뿐만 아니라 GT 정리와도 사랑에 빠졌다고. 이렇게 시작된 인연이 멋진 정리를 증명하는 데 이르렀고, 증명을 발표하는 현장에 그 드라마  자문을 맡았던 사람이 참석했고, 이 흥미로운 이야기가 작가에게도 전해졌으니 정말 놀랍고 신기한 인연이었다.

이 블로그에서 "눈의 여왕"과 관련된 글은 태그 "#눈의 여왕"을 이용하여 확인하시라.

1092쪽. 36500원.

구매처: book.naver.com/bookdb/book_detail.nhn?bid=14013099

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