논쟁거리도 아니지만, 하여튼 48/2(9+3)의 값이 2인지 288인지로 격렬한 논쟁을 하는 글을 보니 이런 비유가 떠오른다.

누군가 어떤 수 + 1이 얼마인지를 종이에 써서 물었는데, 이 사람이 심한 악필이라, 그 어떤 수가 3 같기도 하고 5 같기도 한, 애매모호한 모양이었다. 보통의 경우라면, "여기 이 숫자가 뭔지 잘 모르겠는데 다시 써 주세요."라고 할 것이다. 그런데 이 종이를 보고 이런 논쟁이 불붙는 것이다.

"이거 당연히 4."
"무슨 소리. 6임."
"그건 3을 5로 잘못 보고 푼 거임. 님 숫자도 못 읽으셈?"
"야 이 ㅂㅅ아, 니 눈엔 이게 3으로 보이냐?"
"님들 진정하세요. 이건 답이 4도 되고 6도 됩니다."
"어떻게 동시에 두 개가 정답이 되나? 껒여!"
"이거 외국에 물어보니 답이 4라고 함다."
"내가 가진 책에는 6이라고 나오는데?"
"수학자 아닌 넘들은 아닥."
"이건 공리에 의해 4임."
"내가 직접 써 보니 6임."
"계산기에 두드려 보니 4임."
"계산기를 믿는 ㅂㅅ은 뭥미?"
"이거 답이 6이라는 건 러셀이 이미 증명했음."
"러셀 책 몇 페이지에 나오는지 말해봐."
"내 친구한테 3+1 써보라니까 이거랑 똑같이 쓰더라."
"위키백과에 이거 6이라고 나와 있음."
"위키백과 고쳐 놓은 넘이 너냐?"
"완벽한 줄 알았던 수학에 이런 허점이 있다니, 인간은 역시 겸손해야 한다."
"그러니까 4=6이라는 거 아냐?"

뭐 이런 식... 

요즘 인터넷을 뜨겁게 달구고 있는 문제.

48 / 2 ( 9 + 3 ) 또는 48 ÷ 2 ( 9 + 3)의 값은 얼마일까?

문제가 되는 부분은 ( 9 + 3 ) 앞에 생략된 곱셈 기호로, 해석하기에 따라서는 이 식이 ( 48 / 2 ) × ( 9 + 3 ) = 288 일 수도 있고 48 / ( 2 × ( 9 + 3 ) ) = 2 일 수도 있기 때문이다.

어느 쪽이 맞느냐로 갑론을박이고, 오늘 내 연구실에는 학생들도 찾아오고 신문사에서 전화까지 왔다.

결론은?

내 의견은 애초에 식 자체가 혼란스럽게 쓰여졌다는 것이다. 굳이 어느 한쪽을 골라야 한다면, 아니, 그것보다 처음 식을 보았을 때 어느 쪽으로 해석했느냐고 묻는다면, 내 경우는 48 / ( 2 × ( 9 + 3 ) ) = 2 이다. 그렇지만 만약 누군가가 48 / 2 ( 9 + 3 ) = 288 이라고 써 놓았더라도 틀렸다고 하지는 않았을 것이다. 다만, 어느 쪽 수식이든 혼란스러우니 의미가 확실하도록 괄호나 곱셈 기호를 넣거나, 순서를 적당히 바꾸어 쓰는 게 좋지 않겠냐고 했을 것 같다.

곱셈 기호를 생략한다는 것은 곱셈이 자주 쓰여서 조금이라도 편하자고 쓰는 것이고, 당연한 말이지만 이것은 곱셈 기호를 생략해도 혼란이 없을 때 가능한 것이다. 아무리 곱셈 기호를 생략할 수 있다고 해도 2 × 3 = 6 을 2 3 = 6 으로 쓰지는 않으니까. 그러니 곱셈 기호를 생략한 48 / 2 ( 9 + 3 ) 은 별로 좋은 표기라 할 수 없다.

굳이 따지자면, 곱셈 기호를 생략하는 것은 곱하는 두 대상 사이의 기호를 생략하는 것이니, 48 / 2 와  (  9 + 3 )  사이의 곱셈 기호를 생략했다고 하는 것보다는 2와 ( 9 + 3 ) 사이의 곱셈 기호를 생략했다고 보는 편이 자연스럽긴 하다. ( 48 / 2 ) × ( 9 + 3 ) 에서는 곱셈 기호 앞에 있는 것이 2가 아니라 48 / 2 이기 때문이다. 예를 들어 a/bc 또는 a÷bc를 보통 a/(b×c)로 생각하는 것도 마찬가지이다.

그렇지만, 곱셈 기호를 생략하는 것이 연산을 왼쪽부터 차례대로 하는 상황에서 단순히 곱셈 기호를 없애는 것으로 생각한다면 ( 48 / 2 ) × ( 9 + 3 ) 이라고 해서 안 될 이유도 없다. 실제로 누군가 Mathematica에 48 / 2 ( 9 + 3 )을 입력해 본 결과 288 이 나왔다고 하는데, 일반적인 수식을 처리할 수 있는 Mathematica가 곱셈 기호가 생략된 수식을 해석하는 방식이 바로 이쪽이기 때문이다. 당연한 말이지만, Mathematica에서 결과가 288이 나왔다고 해서 48 / 2 ( 9 + 3 )을 48 / ( 2 × ( 9 + 3 ) )로 해석하는 것이 무조건 틀렸다고 할 수는 없다.

사실 중학교 수학 교과서에서 곱셈 기호를 생략하는 경우를 설명한 부분을 보면, 48 / 2 ( 9 + 3 )을 무엇으로 해석해야 할지 상당히 모호하다. 그렇지만 이런 상황에 대해 일일이 설명을 하는 것이 오히려 헷갈리게 할 수도 있어서 특별한 언급 없이 그냥 넘어가는 것이 보통이다. 곱셈 기호를 생략해서 수식이 모호하다면 곱셈 기호를 써 넣는 쪽이 올바르니까.

갑자기 방문자 수가 늘어서 확인해 보니, "격자 곱셈"을 검색해서 온 분들이 많았다. 스펀지가 시청률이 별로 높지 않은 걸로 아는데 격자 곱셈은 꽤 재미있는 주제였나 보다.

검색 엔진에 나오는 사이트를 몇 군데 둘러봤는데, 잘못된 정보가 많아서 내가 하나 쓰기로 했다.

이 곱셈법은 고대 인도에서 사용하던 것이다. 어떤 사이트에는 중국에서 사용하던 것이라고 되어 있던데 뭔가 착각을 한 것 같다. 이 곱셈법은 0을 이용한 십진 표기법이 있어야 가능한 것인데, 한자로 수를 표기하는 방법은 이것과는 거리가 멀기 때문이다. 물론 산가지 같은 것을 써서 똑같은 과정을 거칠 수는 있지만, 적어도 "필산(筆算)"과는 거리가 있다.

스펀지에서는 선을 그어서 곱셈을 했지만, 이것 그냥 쇼일 뿐이다. 가로 선 3개, 세로 선 2개를 그어 교점의 개수를 세어 3x2=6을 구하는 것과 같은데, 당연히 선을 긋는 대신 숫자를 쓰는 쪽이 훨씬 간편하고 효율적이다.

예를 들어 123x45를 격자 곱셈법으로 계산하면 다음과 같다.
1. 윗줄 왼쪽 첫 번째 칸에는 1x4의 결과를, 그 다음 칸에는 2x4의 결과를, 마지막 칸에는 3x4의 결과를 십의 자리 수와 일의 자리 수를 나누어 쓴다.
2. 아랫줄도 마찬가지.
3. 그 다음 대각선을 따라 수들을 더한다. 이때 받아올림을 생각하여 더한다. 왼쪽 첫 번째 칸에는 4뿐이지만, 그 다음 대각선에서 1+8+1+5=15가 나오므로 십의 자리 수 1을 왼쪽에 더하여 5535를 얻는다.
방법을 보면 당연하지만 이것은 10을 X로 표현하는 로마 숫자 체계에는 적용하기 어렵다. 이 방법을 유럽에 전한 사람은 Fibonacci로 알려져 있는데, 그는 자신의 저서 Liber Abaci에서 인도-아라비아 숫자를 이용한 십진 기수법과 함께 소개하였다. 스펀지에는 Pacioli가 전한 것으로 되어 있던데, Fibonacci가 이삼백 년 먼저 살았던 사람이다.

이 격자 곱셈은 사실 우리가 지금 사용하고 있는 곱셈법과 별로 다르지 않다. 위의 123x45를 약간 달리 쓰면 다음과 같다.

점선 위쪽은 123x5, 아래쪽은 123x4를 풀어 쓴 것이다. 현재 우리가 쓰는 곱셈법은 123x5와 123x4를 여러 단계로 나누어 쓰지 않고 받아올림을 이용하여 한 번에 구한다는 점이 다를 뿐이다.

KBS 홈페이지에 다시 보기가 올라와 있어서 대충 살펴보았다. 서울교대 교수님이 설명을 한 것 같은데 자막이 흐려서 알아볼 수가 없었다.

처음에 나한테 연락이 왔을 때, 선 긋는 건 페이크고 그걸 숫자로 바꿔서 하면 현재 우리가 보통 사용하는 곱셈법과 똑같다고 그렇게 강조했건만 그런 내용은 싹 빠졌다.

하기야 시사교양 프로그램이 아니라 연예오락 프로그램이니 당연한 일이기도 하지만...

지난 주에 촬영이 취소되었던 "격자 곱셈법"이 9월 29일 토요일 스펀지에서 방영되었다.

방송을 보지 못해서 설명을 어떻게 했는지 모르겠다.

혹시 보신 분?