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2006.12.14 12:03

각의 삼등분 작도에 성공하셨습니까? Math2006.12.14 12:03

자, 인류의 수학사에 길이 빛날 위대한 대발견을 하셨군요. 어디다 발표해서 인정을 받고는 싶은데, 아무도 관심을 보이지 않아 안타까우십니까? 그렇다면 일단 이 글을 읽어보세요.

1. 무엇으로 작도하였습니까?

수 천년 수학의 역사에서 수많은 수학자들과 아마추어들을 괴롭혔던 그리스의 삼대 작도 문제는 "눈금없는 자"와 "컴퍼스"를 이용하여 원하는 도형을 그리는 것입니다.

각의 삼등분 작도에 성공하신 당신의 작도 방법은 무엇입니까? 혹시 삼각자를 요리조리 갖다 맞추거나, 자에 적당히 눈금 표시를 하거나, 종이를 접거나, 실로 길이를 재거나 하였습니까?

그렇다면 당신은 "그리스의 삼대 작도 문제"가 아닌 전혀 다른 문제를 푼 것입니다. 마치 "2로 나누어 1이 나오는 수를 찾으시오"라는 문제에 대해, "5를 5로 나누었더니 1이 나왔습니다. 따라서 정답은 5입니다."라고 말하는 셈입니다.

"눈금없는 자"와 "컴퍼스"가 아닌 다른 도구를 사용하였다면, 이 글을 더 이상 읽을 필요 없습니다. "각의 삼등분 작도" 따위는 잊고 생업에 힘쓰세요.

2. Wantzel의 증명이 잘못되었다고 생각합니까?

요즘은 세상이 좋아져서, 아마 프랑스의 Wantzel이 "각의 삼등분 작도"가 불가능함을 증명했다는 것 정도는 들어보셨을 겁니다. 증명을 직접 보지는 못했더라도요.

그가 무얼 증명했다고 생각하십니까?

"눈금없는 자"와 "컴퍼스"와 컴퍼스를 써서 각을 이등분하는 것은 아주 쉽습니다. 어떤 각이든 동일한 방법으로 이등분이 가능합니다. 고대 그리스 사람들이 그 다음으로 생각한 것은 당연히 각의 삼등분입니다. 그런데 이게 의외로 쉽지 않았습니다.

물론 삼등분 작도가 쉬운 각들도 있습니다. 예를 들어, 직각을 삼등분하는 것은 컴퍼스 서너 번만 쓰면 되는 간단한 일입니다. 직각이 삼등분되니, 직각의 절반인 45도도 당연히 삼등분됩니다. 22.5도, 11.25도 등등도 삼등분 가능하고, 좀 복잡하긴 해도 9도, 18도, 27도 등등 9의 배수가 되는 각도도 삼등분 가능합니다. 4.5도, 13.5도처럼 이것들을 다시 2등분한 각도 삼등분 작도 가능합니다. 무한히 많은 각이 삼등분 작도 가능하다는 말입니다. 여기서 당연히 나오는 질문은
"삼등분 작도 가능한 각은 무한히 많다. 그렇다면 모든 각이 다 삼등분 작도 가능할까?"
입니다. 여기에 대해 Wantzel이 1837년에 답한 것은,
"그렇지 않다. 삼등분 작도가 안 되는 각이 존재한다."
는 것입니다. Wantzel이 보인 것은 아주 이상한 각도가 아니라, 쉽게 그릴 수 있는 60도가 바로 문제의 각이라는 것이었습니다. 이 세상 어떤 각도 삼등분 작도하는 것이 불가능하다는 말이 절대로 아닙니다.

이해가 안 되십니까? Wantzel의 증명이 엉터리라고 생각하는 것은, 마치 다음 대화와 비슷합니다.

A: 여기도 김씨, 저기도 김씨. 한국인은 모두 김씨일까?
B: 아닌데요. 저는 박씨입니다.
A: 뭐라고? 한국인이 모두 박씨라고? 이런 엉터리....

오해를 깨달으셨다면, 이제 "각의 삼등분 작도" 따위는 잊고 생업에 힘쓰세요.

3. 삼등분된다는 걸 어떻게 확인하였습니까?

여기까지 오신 걸 보면, 아마도 60도를 삼등분 작도하는 데 성공하신 분인가 봅니다. 그렇다면 세 개의 각이 모두 20도라는 걸 어떻게 확인하셨습니까?

선 몇 개 그려놓고 눈으로 보니 세 개의 각이 같아 보였습니까? 각도기를 써서 재보았습니까? 컴퍼스로 이리저리 재어보니 세 각이 같았습니까?

불행히도, 종이에 그림을 그릴 때 사용하는 필기구에는 두께가 있습니다. 아무리 정밀하게 그려서 딱 맞아보여도, 그것은 오차가 연필심의 굵기보다 작다는 뜻일 뿐입니다.

정확한 삼등분 작도가 아니라 정밀한 근사 작도라면 방법은 수도 없이 많습니다. 실용적인 목적이라면 삼등분을 하기 위해 각도기를 써도 충분합니다.

"각의 삼등분 작도 문제"는 기술의 문제가 아니라 수학의 문제입니다. "그림을 보면 세 원이 한 점에서 만난다" 같은 말은 수학적으로 증명되지 않는 이상 전혀 의미가 없습니다. 초정밀 필기구로 10m짜리 원을 그렸더니 세번째 원이 문제의 교점을 1mm 벗어날 수도 있는 일 아니겠습니까?

자, 다시 한번 말씀 드립니다. "각의 삼등분 작도"로 시간 낭비하지 말고 생업에 힘쓰세요.

4. 삼등분 작도 증명에 성공했다고 생각합니까?

삼등분 작도가 된다는 증명까지 성공했다고 생각한다면, 죄송하지만 당신은 이미 중증입니다. 이 정도 상황이라면 아무리 오류를 지적해도 통하지 않습니다. 오일러가, 가우스가 살아돌아온다 해도 당신은 절대로 오류를 깨닫지 못합니다.

그럴 리가 없다고 생각하십니까? 여전히 당신의 작도는 완전무결하다고 생각하십니까?

그렇다면 당신의 작도법을 이용하여 20도의 코사인 값을 구해 보세요. 대충의 근사값이 아니라, 정확한 cos20도입니다.

코사인이 무엇인지 잘 모르겠다고요? 코사인이 무엇인지는 알지만 당신의 작도로부터 그 값을 어떻게 구하는지 모르겠다고요? 코사인 20도를 구하기는 했는데, 그 다음 어떻게 해야할지 모르겠다고요?

좋습니다. 그렇다면 그 정도는 제가 봐 드리죠. 단 공짜는 없습니다.

작도법 한 편을 1000만원에 심사해 드리겠습니다. 단, 10쪽을 넘어가면 한 장당 100만원의 추가 비용을 받습니다. 도면 포함 17쪽짜리라면 1000만+7x100만 = 1700만원입니다.

아참, 이재율 씨는 1억을 줘도 상대 안 합니다. 뭘 하든 아무 관심 없으니까 연구실로 찾아오지 마세요.

저에게 각의 삼등분 작도에 대해 문의하고 싶은 분은 심사비부터 준비하세요. 인류의 지성사에 불멸의 이름을 남길지도 모르는데 이 정도면 너무 싸지 않습니까?
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Posted by puzzlist