Simplifying, we get \(V_\mbox{pyramid} = \frac{1}{3} V_\mbox{prism}\).
고등학교 교과서를 쓰면서, \(\frac12+\frac14+\frac18+\dotsb = 1\)을 설명하기 위해 정사각형을 절반씩 분할하는 그림을 실었더니, 교과서 심의에서 이 그림에 대해 출처를 제시하라는 지시가 나왔다.
흔히 보는 그림이고 누구나 생각할 수 있는 간단한 그림이어서 별다른 출처가 필요 없다고 했더니, Roger B. Nelsen이 편집한 Proofs Without Words(이하 PWW)에 실린 Warren Page가 원작자라고 다시 수정 지시가 왔다.
저 뻔한 그림이 1981년에 처음으로 만들어졌다는 건 말이 안 되는 소리라 책을 찾아보니, \(\frac12+\frac14+\frac18+\dotsb = 1\)을 설명하는 그림 아래에 \(r + r(1-r) + r(1-r)^2 + \dotsb = 1\)을 설명하는 그림이 붙어있었다. 그러니까 Warren Page가 한 것은 \(\frac12+\frac14+\frac18+\dotsb = 1\)을 일반화한 그림을 만든 것이었다. 학회에서 사람들에게 물어봐도 모두 내 의견에 동의하였다.
이런 상황을 설명하면서 수정 지시를 반영하지 않겠다고 했더니, 다시 별다른 설명도 없이 막무가내로 다시 Warren Page를 인용하라고 지시가 왔다.
황당해서 이번에는 PWW의 편저자인 Nelsen 교수에게 이메일을 보냈다. 내가 발견했던 피타고라스 정리 증명을 PWW 2에 싣기도 했으니 답장을 그냥 무시하지는 않겠지 싶었다. 실은 답장을 기다리는 동안, Claudi Alsina, Roger B. Nelse이 쓴 Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics라는 책 p.73에 \(\frac12+\frac14+\frac18+\dotsb = 1\)에 대한 문제의 그림만 인용 표시 없이 실려 있는 것을 발견하여, Nelsen 교수 자신도 이 그림을 Warren Page의 창작이라고 생각하지 않음을 확인할 수 있었다.
며칠이 지나 답장이 왔다. PWW의 대부분은 오래 전에 발견되었던 사실을 재발견한 경우가 많다면서, Warren Page의 경우도 마찬가지일 것이라고 하였다. 그러면서, "Now I have a question for you."라며 2002년에 각뿔의 부피에 대한 PWW를 예전 내 퍼즐 홈페이지에서 보았는데 그게 내 작품 아니었냐며 다른 곳에 발표되었냐고 물어본다.
그게 바로 위의 그림이다. 10년도 더 지난 옛날 그림을 기억하고 있다가 물어보다니 정말 놀라운 일이었다.
실은 저 방법을 발견하고 얼마 지나지 않아 후배가 보던 책에서 비슷한 그림을 보았다. 당시에 저 그림을 보고, 아마 내가 발견한 방법이 이미 잘 알려진 것인가 보다 싶어 투고할 생각을 전혀 하지 않고 있었다. 나중에 구글 이미지 검색을 해 보니 비슷한 그림을 찾을 수가 없어서, 아마 덜 알려진 방법을 내가 재발견했겠거니 생각하고 있었다.
후배가 보던 책 제목을 잊어버렸는데, Nelsen 교수에게 답장하면서 구글로 책 검색을 해 보니, 아마도 Cromwell의 Polyhedra였던 것 같다. 다시 보니 내 방법과는 다른 듯한데, 위의 그림이 새로운 것인지, 아니면 덜 알려진 방법을 재발견한 것인지 잘 모르겠다.
