정다면체와 한 점

마틴 가드너(Martin Gardner)의 책 Mathematical Circus에 정삼각형이 대한 흥미로운 등식이 실려 있다. 한 변의 길이가 $d$인 정삼각형 ABC가 있고 한 점 P가 주어질 때, 점 P와 세 점 A, B, C 사이의 거리 $a=\overline{\rm PA}, b=\overline{\rm PB}, c=\overline{\rm PC}$에 대하여 다음과 같은 등식이 성립한다.

$$3(a^4+b^4+c^4+d^4) = (a^2+b^2+c^2+d^2)^2$$

네 문자에 대해 대칭을 이루고 있어서 무척 아름답게 느껴지는 등식이다. 이 결과를 다른 도형으로 일반화할 수 없을까?

1995년에 수학자 John Bentin은 정삼각형을 일반화하여 정사면체, 그리고 이를 $n$-차원에서 일반화한 $n$-정단체(regular simplex)에 대한 등식을 얻었다. $n$개의 꼭짓점을 갖는 $(n-1)$-정단체의 한 모서리의 길이가 $d_0$이고, 한 점 P에서 각 꼭짓점에 이르는 거리가 $d_1, d_2, \dots, d_n$일 때,

$$n(d_0^4+d_1^4+\dots+d_n^4) = (d_0^2+d_1^2+\dots+d_n^2)^2$$

이 성립한다. $n=3$인 경우, 앞서 보았던 정삼각형에 대한 등식이 된다.

 

1997년에 Bentin은 이 결과를 정다각형으로도 일반화하였다. 반지름 $r$인 원에 내접하는 정$n$각형의 각 꼭짓점에서 한 점 P에 이르는 거리를 $d_1, d_2, \dots, d_n$이라 할 때, $d_i^2$들의 평균을 $s^2$, $d_i^4$들의 평균을 $q^4$이라 하면

$$q^4 + 3r^4 = (s^2 + r^2)^2$$

이 성립한다.

정삼각형의 경우, 한 변의 길이가 $d$인 정삼각형의 외접원의 반지름이 $d/\sqrt{3}$이니까, 이 값을 위 등식의 $r$에 대입하면 처음 언급하였던 등식이 된다.

이제 당연한 질문은 이 결과를 다른 정다면체로 확장할 수 있느냐이다. 여기에 대한 연구는 거의 되어 있지 않았는데, 최근에 정육면체와 이를 고차원으로 일반화한 초입방체(hypercube), 그리고 정팔면체와 이를 고차원으로 일반화한 정축체(orthoplex)에 대해서도 비슷한 등식이 성립함이 밝혀졌다.

$n$-차원 초입방체는 $2^n$개의 꼭짓점을 가지고 있다. 각 꼭짓점에서 한 점 P에 이르는 거리들을 $d_1, d_2, \dots, d_{2^n}$이라 하고, $d_i^2$들의 평균을 $s^2$, $d_i^4$들의 평균을 $q^4$이라 하면,

$$q^4 + \frac{4(n+1)}{n^2}r^4 = \left( s^2 + \frac{2}{n}r^2 \right)^2$$

이 성립한다.

$2n$개의 꼭짓점을 가지는 $n$-차원 정축체(orthoplex)에서도 마찬가지로, 각 꼭짓점에서 한 점 P에 이르는 거리들을 $d_1, d_2, \dots, d_{2n}$이라 하고, $d_i^2$들의 평균을 $s^2$, $d_i^4$들의 평균을 $q^4$이라 하면,

$$q^4 + \frac{4(n+1)}{n^2}r^4 = \left( s^2 + \frac{2}{n}r^2 \right)^2$$

이 성립한다.

신기하게도(?) 전혀 다른 두 정다면체에 대한 등식이 똑같이 생겼다. 뿐만 아니라, $n$-정단체(regular simplex)에 대한 등식도 $s^2$과 $q^4$을 이용하여 다시 쓰면 또다시 똑같은 등식 

$$q^4 + \frac{4(n+1)}{n^2}r^4 = \left( s^2 + \frac{2}{n}r^2 \right)^2$$

이 된다. 이것은 우연의 일치일까? 세 종류의 정다면체에 대한 증명은 완전히 별개이지만, 등식 자체가 똑같이 생겼다는 점에서 무언가 통일성 있는 설명이 가능하지 않을까? 어쩌면 정단체는 자기 자신과, 초입방체와 정축체(orthoplex)는 서로 쌍대(dual)라는 사실로 무언가를 설명할 수 있을지도 모르겠다.

다른 정다면체에 대해서는 어떨까? 정십이면체와 정이십면체에 대해 비슷한 결과를 얻을 수 있을까? 그리고 4차원에서는 정단체(4-regular simplex), 초입방체(4-hypercube), 정축체(4-orthoplex) 외에 세 개의 4차원 정다면체가 더 존재한다. 이 도형들에 대해서도 비슷한 결과를 얻을 수 있을까?

요약:

1. 정$n$각형에 대해

$$q^4 + 3r^4 = (s^2 + r^2)^2$$ 이라는 등식이 성립한다.

2. $n$차원 정단체(regular simplex), 초입방체(hypercube), 정축체(orthoplex)에 대하여

$$q^4 + \frac{4(n+1)}{n^2}r^4 = \left( s^2 + \frac{2}{n}r^2 \right)^2$$ 이라는 등식이 성립한다.

3. 위 등식에 대한 통일성 있는 설명을 할 수 있을까?

4. 다른 정다면체에 대해서도 비슷한 등식이 성립할까?