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'떡밥'에 해당되는 글 2

  1. 2011.04.11 48/2(9+3)에 대한 논쟁을 보며 (16)
  2. 2011.04.11 48/2(9+3) (9)
2011. 4. 11. 22:55

48/2(9+3)에 대한 논쟁을 보며 Math2011. 4. 11. 22:55

논쟁거리도 아니지만, 하여튼 48/2(9+3)의 값이 2인지 288인지로 격렬한 논쟁을 하는 글을 보니 이런 비유가 떠오른다.

누군가 어떤 수 + 1이 얼마인지를 종이에 써서 물었는데, 이 사람이 심한 악필이라, 그 어떤 수가 3 같기도 하고 5 같기도 한, 애매모호한 모양이었다. 보통의 경우라면, "여기 이 숫자가 뭔지 잘 모르겠는데 다시 써 주세요."라고 할 것이다. 그런데 이 종이를 보고 이런 논쟁이 불붙는 것이다.

"이거 당연히 4."
"무슨 소리. 6임."
"그건 3을 5로 잘못 보고 푼 거임. 님 숫자도 못 읽으셈?"
"야 이 ㅂㅅ아, 니 눈엔 이게 3으로 보이냐?"
"님들 진정하세요. 이건 답이 4도 되고 6도 됩니다."
"어떻게 동시에 두 개가 정답이 되나? 껒여!"
"이거 외국에 물어보니 답이 4라고 함다."
"내가 가진 책에는 6이라고 나오는데?"
"수학자 아닌 넘들은 아닥."
"이건 공리에 의해 4임."
"내가 직접 써 보니 6임."
"계산기에 두드려 보니 4임."
"계산기를 믿는 ㅂㅅ은 뭥미?"
"이거 답이 6이라는 건 러셀이 이미 증명했음."
"러셀 책 몇 페이지에 나오는지 말해봐."
"내 친구한테 3+1 써보라니까 이거랑 똑같이 쓰더라."
"위키백과에 이거 6이라고 나와 있음."
"위키백과 고쳐 놓은 넘이 너냐?"
"완벽한 줄 알았던 수학에 이런 허점이 있다니, 인간은 역시 겸손해야 한다."
"그러니까 4=6이라는 거 아냐?"

뭐 이런 식... 

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TAG 곱셈, 떡밥
Posted by puzzlist

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  1. 똥배남편 2011.04.11 23:46  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    교수님 ㅎㅎ 2007****35입니다 ^^
    오늘 하루 이 문제때문에 혼란&즐거움을 느끼고있었는데
    너무 간단한 문제였네요.. ㅠ
    좀 더 노력해야겠습니다.. ㅎㅎㅎ
    그래도 재밌는 논란거리였어요 ㅎㅎㅎㅎ

  2. Favicon of https://blog.hshin.info BlogIcon Ens 2011.04.12 00:31 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이런 논쟁보다는 http://hshin.info/311 이런 걸 해결하는 게 100만배는 재밌지 않을런지.. ㅋㅋ

  3. 2011.04.13 10:51  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2011.04.16 14:57 신고  댓글주소  수정/삭제

      저런 이상한 논쟁에는 끼지 않는 편이...

    • Favicon of http://mycosmostg.blog.me BlogIcon 퍼즐마니아 2011.04.16 17:17  댓글주소  수정/삭제

      선생님 말씀이 옳으신 것 같습니다. 저도 홍보 아니었으면 관심 갖지 않았을 거예요. 유명한 홍보 블로거가 있는데요. 이 글 올린 날 방문자가 38만명을 기록하더군요. 순간 저도 욕심이 나서 ㅋㅋㅋ
      그나저나 40이 되고 보니 새삼 세월 정말 빠르다는 생각이 드네요.
      그럼 선생님 오늘도 행복하시길 바래요.

  4. 경빈 2011.04.13 12:18  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    ~~ 그래도 나름 접근하기 쉬운 주제여서 그런지 저는 부담없이 재밌어한 것 같아요.

  5. 2011.04.13 17:05  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2011.04.16 15:00 신고  댓글주소  수정/삭제

      답을 알려주셔야... ^^
      오늘 보니 뭔가 zero가 금칙어로 설정되어 있었군요. 그넘의 zero zone인지 뭔지 때문에...

    • 斯文亂賊 2011.04.16 16:11  댓글주소  수정/삭제

      여기다 쓰려니까 표현방법을 찾기가...으음... 아, Zerone 님의 풀이에서요, 우상귀의 두 테트로미노를 다음과 같이 바꾸어 보세요. 첫 행 6, 7번, 둘째 행 6, 7번으로 이루어진 정사각형 테트로미노 하나랑, 첫 행 8번, 둘째 행 8번, 셋째 행 7, 8번으로 이루어진 테트로미노 하나. 아, 물론 반드시 우상귀일 필요는 없지만 글로 표현하려다보니...
      참고로 뒤집거나 회전시켜서 모양과 색깔이 같아지는 폴리오미노를 같은 것으로 취급하면 체스판에서 만들 수 있는 테트로미노는 7가지가 있는 것 같습니다. 그럼...=3=3=3

  6. 질문 2011.04.14 17:47  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    다음은 정답이 2라는 주장인데요.
    오류가 있나요? (퍼온것임)
    오류가 있어보이는데 말로 명쾌히 설명을 못하겠네요.

    -------------------------------------------

    도트곱은 크로스곱보다 먼저 계산된다는거요,,

    a(b+c)는 ab+ac의 공통인수 a로 묶어준겁니다.
    그렇기 때문에 그냥 a(b+c)이것 자체만 봤을때에는 a*(b+c)로 나타낼 수 있지만
    다른 연산이 있어서 중괄호를 함께 살려야 한다는거죠.
    ab+ac는 더이상 계산할 수 없는 하나의 수입니다..
    구지 계산해 보니 a(b+c)라는 형태가 나온거죠.

    a*b(크로스곱)는 'a와 b라는 수가 있을 경우, 두수를 곱해라'가 됩니다.
    ab(도트곱,생략)는 'a와 b라는 수는 계산되어있는 하나의 수지만 더이상 줄여서 나타낼 수 없으므로 도트곱을 생략하여 붙여쓴다'가 되죠.
    '먼저 계산했다'라는 뜻으로, 계산을 먼저 해주는게 옳다는 겁니다,,



    a*b를 이미 수행했는데, 더 줄일 수 없어서 ab로 나타낸거죠.
    a*a를 이미 수행했을경우는 방법을 연구해 줄여 놓은게 a^2인겁니다. a제곱이요.
    a^2는 사실 a*a를 줄인거지만, (a*a)로 나타내는게 더 맞습니다.
    1/a^2=1/(a*a)인겁니다.
    1/a^2를 괄호를 안살린 상태로 전개하고 다시 분수꼴로 만들면 1/a^2=1/a*a=(1/a)*a<왼쪽부터계산>=a/a=1이라는 웃지못할 헤프닝이 벌어지게 됩니다..

    그러므로 생략된 연산을 살릴경우에는 괄호도 함께 살려주어야 하며, ab를 a*b꼴로 고칠때도 생략된 괄호가 살아나 (a*b)로 고치는게 더 맞다는 소리입니다.
    즉, a(b+c)도 마찬가지로 {a*(b+c)}가 옳은 표현이라는 소리죠...

  7. 斯文亂賊 2011.04.14 22:39  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    엉뚱 댓글2: 다섯 가지 뜻으로 읽힐 수 있다는 문장인 TIME FLIES LIKE AN ARROW가 생각나는군요.^^ 광고문구 '나를 따르라'도 생각나고요(이 글귀가 붙은 광고판에는 '17년 숙성 위스키'라고 적힌 술병이 그려져 있었음^^)=3=3=3

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2011.04.16 15:03 신고  댓글주소  수정/삭제

      사실 수식이란 "도구"일 뿐인데, 정작 수학자들은 잘 쓰고 있는 걸 왜 이렇게들 대단한 문제라도 되는양 난리인지 모르겠습니다.

2011. 4. 11. 15:47

48/2(9+3) Math2011. 4. 11. 15:47

요즘 인터넷을 뜨겁게 달구고 있는 문제.

48 / 2 ( 9 + 3 ) 또는 48 ÷ 2 ( 9 + 3)의 값은 얼마일까?

문제가 되는 부분은 ( 9 + 3 ) 앞에 생략된 곱셈 기호로, 해석하기에 따라서는 이 식이 ( 48 / 2 ) × ( 9 + 3 ) = 288 일 수도 있고 48 / ( 2 × ( 9 + 3 ) ) = 2 일 수도 있기 때문이다.

어느 쪽이 맞느냐로 갑론을박이고, 오늘 내 연구실에는 학생들도 찾아오고 신문사에서 전화까지 왔다.

결론은?

내 의견은 애초에 식 자체가 혼란스럽게 쓰여졌다는 것이다. 굳이 어느 한쪽을 골라야 한다면, 아니, 그것보다 처음 식을 보았을 때 어느 쪽으로 해석했느냐고 묻는다면, 내 경우는 48 / ( 2 × ( 9 + 3 ) ) = 2 이다. 그렇지만 만약 누군가가 48 / 2 ( 9 + 3 ) = 288 이라고 써 놓았더라도 틀렸다고 하지는 않았을 것이다. 다만, 어느 쪽 수식이든 혼란스러우니 의미가 확실하도록 괄호나 곱셈 기호를 넣거나, 순서를 적당히 바꾸어 쓰는 게 좋지 않겠냐고 했을 것 같다.

곱셈 기호를 생략한다는 것은 곱셈이 자주 쓰여서 조금이라도 편하자고 쓰는 것이고, 당연한 말이지만 이것은 곱셈 기호를 생략해도 혼란이 없을 때 가능한 것이다. 아무리 곱셈 기호를 생략할 수 있다고 해도 2 × 3 = 6 을 2 3 = 6 으로 쓰지는 않으니까. 그러니 곱셈 기호를 생략한 48 / 2 ( 9 + 3 ) 은 별로 좋은 표기라 할 수 없다.

굳이 따지자면, 곱셈 기호를 생략하는 것은 곱하는 두 대상 사이의 기호를 생략하는 것이니, 48 / 2 와  (  9 + 3 )  사이의 곱셈 기호를 생략했다고 하는 것보다는 2와 ( 9 + 3 ) 사이의 곱셈 기호를 생략했다고 보는 편이 자연스럽긴 하다. ( 48 / 2 ) × ( 9 + 3 ) 에서는 곱셈 기호 앞에 있는 것이 2가 아니라 48 / 2 이기 때문이다. 예를 들어 a/bc 또는 a÷bc를 보통 a/(b×c)로 생각하는 것도 마찬가지이다.

그렇지만, 곱셈 기호를 생략하는 것이 연산을 왼쪽부터 차례대로 하는 상황에서 단순히 곱셈 기호를 없애는 것으로 생각한다면 ( 48 / 2 ) × ( 9 + 3 ) 이라고 해서 안 될 이유도 없다. 실제로 누군가 Mathematica에 48 / 2 ( 9 + 3 )을 입력해 본 결과 288 이 나왔다고 하는데, 일반적인 수식을 처리할 수 있는 Mathematica가 곱셈 기호가 생략된 수식을 해석하는 방식이 바로 이쪽이기 때문이다. 당연한 말이지만, Mathematica에서 결과가 288이 나왔다고 해서 48 / 2 ( 9 + 3 )을 48 / ( 2 × ( 9 + 3 ) )로 해석하는 것이 무조건 틀렸다고 할 수는 없다.

사실 중학교 수학 교과서에서 곱셈 기호를 생략하는 경우를 설명한 부분을 보면, 48 / 2 ( 9 + 3 )을 무엇으로 해석해야 할지 상당히 모호하다. 그렇지만 이런 상황에 대해 일일이 설명을 하는 것이 오히려 헷갈리게 할 수도 있어서 특별한 언급 없이 그냥 넘어가는 것이 보통이다. 곱셈 기호를 생략해서 수식이 모호하다면 곱셈 기호를 써 넣는 쪽이 올바르니까.

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Posted by puzzlist

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  1. agsg 2011.04.11 16:18  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    말씀하신대로 헷갈리는 일이 없을 정도에서 곱셈 기호를 생략하는 것이고, 혹시라도 누군가가 오해할 소지가 있는 경우에는 괄호를 확실히 표시해 주면 충분할 텐데... 왜 이런 사소한 문제로 난리법석인지 모르겠습니다. 수학자들은 신경도 안 쓰는데, 어찌 비수학자들만... 인터넷 트래픽 낭비같아요 -_-;;

  2. Favicon of https://blog.hshin.info BlogIcon Ens 2011.04.11 16:38 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저에게도 많이 묻던데.. '관심없다' 라고 말했답니다.
    근데, 이 문제의 발단 혹은 시작은 어딘지 아시는지요?

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2011.04.11 19:20 신고  댓글주소  수정/삭제

      아마 Ask Dr.Math에서 누가 물었던 질문에 엄청나게 진지한 답변이 달리면서 시작된 것 같습니다. 방금 찾아보니 2000년 글이네요. 우리나라에서는 어디서 시작됐는지 모르겠습니다.

  3. Favicon of http://cafe.naver.com/ideamate BlogIcon profcool 2011.04.11 18:20  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    지적인 능력을 내보이며
    식자연하며 토의에 의견을 보태고 싶은 욕구는 누구나 있습니다.
    그런데 울 나라 교육 여건이나 사회적 환경이 그런 욕구를 극소수에게만 충족시켜주고 나머지 대다수에게는 패배감과 열등감을 심어주죠.
    이런 떡밥이 왔을 때, 초등학교 과정을 거친 사람이면 누구나(초딩때는 다들 아주 못하지는 않으니까) 이런 욕구를 풀 수 있기 때문에 열심히 달려드는 것 같습니다.
    이런건 지적 허세라고 할 수 있는데, 사실 대학에도 그런 학생들이 많죠.
    전공을 깊이 공부하지 않은 채 지적 허세를 부리려하는 사람은 어디에나 있기 마련입니다.
    대학 수학에서 1, 2학년 내용으로 이런 적당한 떡밥 하나만 던져주면, 지금 사태와 비슷하게 전국의 이공계, 상경계 대학생들은 물려고 달려들게 할 수 있을텐데요. ^^

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2011.04.11 19:23 신고  댓글주소  수정/삭제

      원래 모든 토론은 어느 정도는 지적 허세니까 뭐...
      문제는 수학(과 관련된) 문제에는 반드시 만장일치의 정답이 있다고 생각한다는 점이겠지요.

  4. Favicon of http://thinkist.kr BlogIcon garon 2011.04.12 10:55  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    인터넷 서핑을 하다보니,
    48 / 2 ( 9 + 3 ) 또는 48 ÷ 2 ( 9 + 3)
    에서 ÷ 2 를 썻기 때문에(/ 같은 분수가 아닌)
    ÷ 2 ( 9+3) 을 분배법칙을 적용하려면 ÷ 2를 1/2 로 고친뒤 적용해야 한다고 하는 학도도 있던데,
    저는 아! 하고 수용해버렸습니다.
    교수님께서는 어떻게 생각하시는지요.

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2011.04.12 11:31 신고  댓글주소  수정/삭제

      그냥 모든 주장이 ( 48 / 2 ) × ( 9 + 3 ) 이나 48 / ( 2 × ( 9 + 3 ) )의 어느 한 쪽으로 결정해 놓고 거기에 맞춰 설명하고 있을 뿐입니다. 그러니 올바른 설명은 하나도 없는 셈.

  5. Favicon of http://thinkist.kr BlogIcon garon 2011.04.12 11:51  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    아. 그렇군요. 틀에 갇혀있는 설명이네요.
    답변 감사합니다.~