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2017.09.24 16:32

세 명의 Jordan Math2017.09.24 16:32

고등과학원 동문 워크숍에서 경희대 ㅂㅈㄷ 교수가 고등과학원 시절 농구 동아리를 만들고 동아리 이름을 "조던 앨지브라(Jordan algebra)"라고 지었다는 얘기를 했다. 사실 저 이름은 독일 물리학자 "파스쿠알 요르단"에서 온 거지만, 영어식으로 읽으면 농구 동아리 이름에 어울리기는 한다. ^^ 

수학 분야에 Jordan이라는 이름이 세 명 등장하는데, 첫 번째는 가우스-요르단 소거법(Gauss-Jordan elimination method)에 등장하는 독일 수학자 빌헬름 요르단(Wilhelm Jordan), 두 번째는 군 이론에 크게 공헌한 프랑스 수학자 카미유 조르당(Camille Jordan), 그리고 세 번째가 요르단 대수의 주인공이며 양자역학을 정립하는 데 공헌한 파스쿠알 요르단(Pascual Jordan)이다.

마지막 파스쿠알 요르단의 요르단 대수(Jordan algebra)는 양자역학이나 그와 관련된 내용을 공부하지 않는 이상 별로 들어볼 일이 없지만, 앞의 두 Jordan은 선형대수학 교재에 꼭 나오기 때문에 이공계 학생이라면 한 번쯤은 들어봤을 법한 이름이다.

그런데 두 Jordan의 철자가 같다 보니, 수많은 선형대수학 교재에서 두 사람을 헷갈리게 쓰고 있다. 그래서 많은 교재에서 가우스 소거법을 변형한 가우스-요르단 소거법을 "가우스-조르당 소거법"이라고 잘못 쓴 경우가 많다. 사실 지명도 면에서는 두 번째 Jordan인 카미유 조르당이 수학 분야에서는 압도적으로 유명한 데다, 행렬을 블록으로 대각화한 조르당 표준형(Jordan normal form)을 발견한 사람이 카미유 조르당이다 보니 으레 선형대수학에 나오는 Jordan을 조르당으로 착각하는 게 이해가 되기도 한다.




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2017.09.20 22:52

다섯 장의 카드 Puzzle2017.09.20 22:52

티비 프로그램 "문제적 남자"에서 재미있는 문제가 방송되었나 보다. 방송을 보지 않아 정확히는 모르겠으나 대충 이런 내용이었다.

카드 한 벌인 52장의 카드를 잘 섞은 다음 다섯 장을 뽑는다. 그 가운데 마술사 A가 한 장을 골라 숨겨 놓고, 나머지 카드를 잘 배열한다. 이제 눈을 가리고 있던 마술사 B가 넉 장의 카드를 보고서 숨겨 놓은 카드가 무엇인지 맞힌다.

이게 어떻게 가능할까 싶은데, 수학을 잘 이용하면 넉 장의 카드를 놓는 순서만으로 나머지 한 장의 카드에 대한 정보를 전달할 수 있어서 아주 흥미로운 문제이다.


"문제적 남자"에서는 다음과 같이 출제되었다고 한다.



마틴 가드너(Martin Gardner)에 따르면, 이 마술은 1950년에 나온 Math Miracles라는 책에 실려 있고 피치 체니(Fitch Cheney)가 개발한 것이라고 한다. 마틴 가드너는 자기 책 "The Unexpected Hanging"에 이와 비슷하지만 더 기묘한 마술을 소개하고 있다. 그의 글에서는 빅터 아이겐(Victor Eigen)이라는 마술사가 이 마술을 보여 주는 것으로 묘사되어 있다. 참고로, Victor Eigen은 선형대수학에서 나오는 Eigenvector를 이용한 말장난.


"내가 뭘 하려는지 미리 설명해 줄게요."라며 아이겐이 말했다. "아무나 자기 카드 한 벌을 섞은 다음 다섯 장을 뽑습니다. 그리고 거기서 다시 한 장을 뽑아야 하죠. 그러면 남은 넉 장의 카드를 내가 원하는 대로 배열할 거예요. 이 카드 넉 장을 모두 엎어서 주머니에 넣은 다음, 카드를 고른 사람이 들고 내 호텔 방으로 가져 갑니다. 제 아내가 방에서 트릭을 도와주려고 기다리고 있거든요. 이제 주머니 가져간 사람이 문을 세 번 두드린 다음, 문 밑으로 카드를 밀어 넣으면 됩니다. 서로 아무 말도 안 합니다. 그러면 제 아내가 넉 장의 카드를 확인하고서 뽑았던 카드가 무엇인지 맞히는 겁니다."


나는 내가 카드를 뽑아도 되겠냐고 물었고, 이후 절차는 아이겐이 지시하는 대로 진행되었다. 나는 내 카드 한 벌에서 다섯 장의 카드를 고르고, 거기서 스페이드 6을 뽑았다. 아이겐은 카드는 건드리지 않았다. 그는 카드에 표시를 해서 다른 정보를 전할 가능성을 배제하고 싶어했다. 게다가, 카드는 아래위를 뒤집으면 뒷면 무늬가 미묘하게 달라지기도 한다. 이런 한 방향 무늬를 이용하면 어떤 카드는 바로, 어떤 카드는 반대로 놓아서 정보를 전달할 수 있다. 카드를 담는 도구를 이용하여 정보를 전달할 수도 있다. 예를 들어, 봉투에 카드 앞면이 보이게 넣는지, 뒷면이 보이게 넣는지, 또 봉투를 봉하는지, 열린 채로 보내는지 등이 가능하다. 심지어 봉투를 이용하느냐 하지 않느냐도 정보가 될 수 있다. 아이겐이 부인에게 보낼 사람을 고를 수 있다면, 이 선택도 정보가 될 수 있다. 머리색이 짙은지 옅은지, 기혼인지 미혼인지, 성의 머릿글자가 A부터 M까지인지, M부터 Z까지인지 등등. 물론 그의 부인이 카드를 가져온 사람을 어떤 방법으로든지 보아야 하지만. 그러나 아이겐이 이 모든 절차를 미리 이야기했고, 카드를 건드리지 않으려고 조심했으니 이 모든 가능성은 배제된다.


아이겐이 말한 순서에 따라 나는 카드 넉 장을 배열했고, 그에게 방 번호를 묻고 막 출발하려고 할 때 멜 스토버가 말했다. "잠깐만 기다리게. 자네에게 방 번호를 주는 시간으로 정보를 전달할지도 모르잖아? 시간이 어떤 구간에 이를 때까지 대화하면서 늦추는 것도 정보가 될 수 있지. " 아이겐은 머리를 흔들며, "시간 구간 같은 건 상관 없어요. 그래도 원한다면 언제든지 원할 때 출발하시죠."


우리는 시카고의 카드 전문가인 에드 말로가 카드 섞기를 오차 없이 여덟 번 반복하면 원래 배열로 돌아온다는 시범을 보며 15분을 기다렸다. 말로의 시범이 끝난 후 나는 카드 넉 장을 들고 아이겐의 방으로 찾아갔다. 노크 세 번. 그리고 카드를 뒤집은 채 문 밑으로 밀어 넣었다. 발걸음 소리가 들렸다. 카드 더미가 시야에서 사라졌다. 잠시 후, 아이겐 부인의 목소리가 들렸다. "당신의 카드는 스페이드 6이로군요." 도대체 아이겐은 이 정보를 아내에게 어떻게 전한 걸까?


카드 52장 모두에 순서를 매겼다고 생각하면, 넉 장의 카드를 배열하여 전할 수 있는 정보는 4!=24이다. 맞혀야 할 카드는 52-4=48이니 카드 넉 장을 배열하여 전할 수 있는 정보는 정확히 48의 절반에 대한 것이다. 그러니 아이겐은 전달되는 정보가 어느 절반에 대한 것인지를 추가로 보내야 한다. 도대체 어떻게 한 것일까? 정답은 각자 생각해 보시라.




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2017.07.23 19:26

2017년 국제 수학 올림피아드 Math2017.07.23 19:26

2017년 국제수학올림피아드(International Math Olympiad) 최종 결과.


우리나라가 전원 금메달 170점으로 1등을 차지했다. 수없이 1등 하던 중국이 격차가 좀 큰 2등. 대한민국-중국-베트남-미국-이란-일본-싱가포르-태국-대만-영국-러시아 순서. 2016년과 비교하면 일본, 베트남, 태국, 이란의 약진이 두드러진다.


이번 우리나라 팀은 남학생 5명, 여학생 1명. 2006년 이후 처음 여학생이 참가했다.


개인 성적을 보면, 여섯 문제 가운데 다섯 문제에서 7점 만점 받은 이란, 일본, 베트남 학생들이 35점으로 1위. 세 학생 모두 3번 문제는 0점을 받았다. 거의 모든 학생이 0점을 받을 정도로 이번 대회에서 가장 어려웠던 문제였다.


우리나라 김다인 학생은 29점으로 여학생 1위. 우리나라 남학생 둘과 함께 팀내 공동 1위이고, 참가 학생 전체에서는 공동 7위.


2017년 IMO 최종 결과 - IMO 공식 사이트

시험 문제 2017_kor.pdf


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2017.06.07 13:47

멍청하면서 자신만만한 Other interests2017.06.07 13:47

이 그림은 정말 진리 같다.


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2017.05.03 16:00

바둑룰의 이해 Other interests2017.05.03 16:00

UNIST 물리학과의 김재업 교수가 "바둑룰의 이해"라는 책을 썼다.

우리나라에서야 다들 똑같은 규칙에 따라 바둑을 두고 있지만, 사실 세계적으로 사용되고 있는 바둑룰은 하나가 아니다. 현대 한국 바둑이 일본 바둑의 영향을 받아서 한국 바둑룰과 일본 바둑룰은 거의 같지만, 미묘한 부분에서 차이가 있다. 잘 알려진 것으로는 집수가 아니라 돌수를 세는 중국룰이 있다.

이외에도 다양한 바둑룰이 있는데, 사실 현행 어떤 바둑룰도 완벽하게 모든 상황을 해결하지는 못한다. 이 책에는 정말 기기묘묘한 상황이 수도 없이 제시되어 있어서, 바둑이 얼마나 오묘한 게임인지를 실감하게 한다.

김재업 교수는 기존 바둑룰이 가지고 있는 문제점들을 분석하고, 여기서 더 나아가 현재 알려져 있는 모든 문제 상황을 해결할 수 있는 바둑룰까지 제시하고 있다. 바둑을 좋아하는 사람이라면, 바둑의 심오한 세계를 느껴보고 싶은 사람이라면 꼭 한번 볼 만한 책이라 생각된다.

안타깝게도 이 책의 가치를 알아보는 사람이 많지 않아서, 이 놀라운 책을 출판해 주는 곳이 없었다. 마땅히 관심을 보여야 할 한국기원은 시큰둥했고, 이 책을 조판한 프로그램인 TeX을 이용한 출판을 할 수 있는 경문사는 수학 전문 출판사이다 보니 출판에 난색을 보였다. 어쩔 수 없이 김재업 교수는 교보문고 POD 서비스인 PurPle을 통해 자비출판을 해야했다. 그래서 교보문고를 통해서만 주문할 수 있고, 주문 후 제작 배송이 이루어져서 받을 때까지 시간이 좀 걸린다.

관심 있는 분들을 위하여 차례를 올려둔다. 더 세부적인 차례는 교보문고의 해당 페이지를 참고하시라.

제 1 장 바둑이란 어떤 게임인가 11

제 2 장 삶과 죽음, 그리고 빅 19

제 3 장 삶과 죽음의 모호성 35

제 4 장 계가법 65

제 5 장 이상적인 바둑룰이 갖추어야 할 조건 97

제 6 장 한국룰 105

제 7 장 일본룰 127

제 8 장 중국룰 197

제 9 장 AGA룰 217

제 10 장 동형반복과 동형반복 금지 227

제 11 장 응씨룰 289

제 12 장 새로운 바둑룰의 제안 301

제 13 장 인공지능과 바둑룰 343

부록 A 패와 패따냄 349
부록 B 마지막 순서넘김돌의 처리법 353
부록 C 기권의 시점 357
부록 D 시간제한 규정 359

참고 문헌 363

찾아보기 365




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2017.03.11 00:14

8일간의 선형대수학 정오표 Math2017.03.11 00:14

8일간의 선형대수학 책에 오류가 몇 개 있어서 목록을 작성해 둔다.


p. 74

이 된다. 그런데 \( a_i \ne 0 \)이라고 하였으므로 \( \lambda_i = \lambda_{\color{red}{\ell+1}} \)이 되어 모순이다.


p.125


이 된다. 벡터 \( \mathbf{v}_3 \)의 놈을 계산하면

\[\| \mathbf{v}_3 \|^2 = \left\langle x^2 - \dfrac13,x^2 - \dfrac13 \right\rangle = \int_{-1}^1 \left( x^2 - \frac13 \right)^2 dx = \color{red}{\dfrac{8}{45}} \]

이므로 세 번째 벡터를 \( \mathbf{v}_3 = \frac{\color{red}{3\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}\left( x^2 - \frac13 \right) \)로 고치면 정규벡터가 된다.


p.127


(2) \( X = \begin{bmatrix} x_{ij} \end{bmatrix}\), \( Y = \begin{bmatrix} y_{ij} \end{bmatrix}\)라 하면, \( \color{red}{XY} \)의 대각성분이

\begin{align*} &x_{11}y_{11}+x_{12}y_{21}+\dotsb+x_{1n}y_{n1}, \\ &x_{21}y_{12}+x_{22}y_{22}+\dotsb+x_{2n}y_{n2}, \\ &\dotsc, \\ &x_{n1}y_{1n}+x_{n2}y_{2n}+\dotsb+x_{nn}y_{nn} \end{align*} 이고, \(YX\)의 대각성분이 \[\color{red}{ \begin{align*} &x_{11}y_{11}+x_{21}y_{12}+\dotsb+x_{n1}y_{1n}, \\ &x_{12}y_{21}+x_{22}y_{22}+\dotsb+x_{n2}y_{2n}, \\ &\dotsc, \\ &x_{1n}y_{n1}+x_{2n}y_{n2}+\dotsb+x_{nn}y_{nn} \end{align*} } \] 이므로 \(\operatorname{tr}(XY) = \operatorname{tr}(YX)\)가 성립한다. 그러면


p.129


를 계산하면 \[ \begin{bmatrix} 59 & -1 \\ -1 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \color{red}{36} \\ 5 \end{bmatrix} \] 이고 방정식을 풀면 \(a = \color{red}{\frac{185}{294}}\), \( b = \color{red}{\frac{331}{294}}\)이다.



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Posted by puzzlist

지난 2월 11일, 동국대에서 한국 텍학회(KTS) 정기총회 및 학술대회가 있었다.


2017년은 창립 10주년이기도 하여, 기념 문집을 발간했는데, 442쪽이나 되는 양에 내용도 대단히 좋고, 무엇보다 책의 만듦새가 너무나 훌륭하다. TeX으로 책을 만들면 어느 정도까지 가능한지를 보여준다고나 할까.


편집, 조판 모두 KTS에서 하고, 인쇄만 경문사에서 했는데, 기념 문집이다 보니 판매용으로 만든 책이 아니어서, 안타깝게도 총회 현장에서 판매한 것말고는 구매할 수가 없다. 나는 발표자여서 증정용으로 한 부 받았다. 인쇄본 책자가 필요한 분은 경문사에 전화해서 2쇄를 찍어달라고 졸라보라.


다행히 KTS에서 전문을 PDF 파일로 올려놓았으니, TeX에 관심 있는 분이라면 꼭 다운받아서 읽어봤으면 싶다. 정말 주옥 같은 글들이다. TeX으로 달력도 만들고, 악보도 만들고, 바둑 기보도 만든다.


다운로드 사이트: http://conf.ktug.org/2017


아래는 KTUG 게시판에 Progress님이 따로 올려주신, 기념 문집의 차례.





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TAG KTS, TeX, , 텍학회
Posted by puzzlist
2017.02.15 22:14

Raymond Smullyan 교수 별세 Math2017.02.15 22:14

"이 책의 제목은 무엇인가?"라는 재미있는 논리 퍼즐 책으로 유명한 레이먼드 스멀리언(Raymond Smullyan) 교수가 2월 6일 돌아가셨다고 한다. 향년 97세.


그는 마술사이자 피아니스트이며, 탁월한 논리학자였다. 박사 학위 지도교수는 무려 알론조 처치(Alonzo Church). 그러니까 스멀리언은 앨런 튜링(Alan Turing)과 사형제간이 된다.


평소 "죽음은 두려워할 필요 없다. 어차피 살아 생전에는 오지 않을 일이므로."라고 할 정도로 유쾌한 분이어서 그런지 100년 가까이 장수를 누렸다.



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2017.02.08 19:08

윤옥경 교수님 별세 Math2017.02.08 19:08

2016년 7월 7일 서울대 수학과 명예교수였던 윤옥경 교수님께서 돌아가셨다. 연구년으로 외국에 나가 있느라 귀국하고서야 뒤늦게 부고를 접했다. 향년 87세.


Calculo ergo sum(나는 계산한다. 고로 나는 존재한다)라는 말을 들을 만큼 계산이 빠르고 정확해서 전설적인 일화도 무척이나 많은 분이다. 고등학생들에게는 수학의 정석 머리말에 나오는 이름으로 더 잘 익숙할지도 모르겠다.


늦었지만 고인의 명복을 빌며, 서울대 수학과 뉴스레터에 실린 추모글을 첨부한다. Tistory의 버그로 파일 이름 앞에 공백이 하나 들어가 있다.


윤옥경_교수님을_추모하며.pdf


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2017.01.03 01:58

2017 정유년 복면산 Puzzle2017.01.03 01:58

\( ABCD = \left(A \times CA^A + \dfrac{C}{D}\right) \times D \)





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