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1 글의 목적 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

2 책 제목과 논문 제목 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 
3 사람 이름 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 
4 수식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 
5 몇 가지 주의할 맞춤법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

MathTranslation.pdf


2018.7.29 "프러시아"를 "프로이센"으로 수정. 일부 표현 수정.

2018.7.29 "조건을 만족하는"을 "조건을 충족하는"으로 수정.

2018.7.29 \(ax = xa = a\)를 \(ax = xa = e\)로 수정.

2018.7.29 블로그 url 추가.


2018.7.30 "Contents"를 "차례"로 변경. 일부 비문 수정.





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2018.03.10 13:06

파이 데이와 엉터리 기사들 Math2018.03.10 13:06

2월 14일은 발렌타인 데이, 3월 14일은 화이트 데이. 그러나 요즘은 3월 14일에 새로운 이름이 하나 더 붙었다. 파이 데이(Pi Day).

원주율 \(\pi\)의 근삿값이 3.14라는 데서 착안하여 3월 14일을 원주율의 날, 파이 데이로 정하고 이날 원주율과 관련된 각종 행사가 진행된다. 원주율 자리수 외우기, 원주율 실제로 구해보기, 원주율에서 생일 찾기 등등도 흥미롭고, 파이와 발음이 같다는 데서 착안한 둥근 파이(pie) 먹기도 재미있다.


이런 파이 데이는 언제 처음 시작되었을까? 기록에 따르면 1988년에 샌프란시스코 과학체험관(San Francisco Exploratorium)의 물리학자 래리 쇼(Larry Shaw)가 사람들과 함께 원형 광장 둘레로 행진을 하고 파이를 나눠 먹은 것이 공식적인 첫 파이 데이 행사였다고 한다.


샌프란시스코 과학체험관은 그 이름부터 explorer(탐험가)와 auditorium(강연장)을 합성한 것이어서 이런 행사를 진행하기에 적절한 곳이었다. 3월 14일이 원주율의 근삿값과 같다는 생각이야 누구나 할 수 있는 것이었지만, 파이 데이라는 공식적인 행사가시작된 것은 과학체험관이라는 적절한 장소에 래리 쇼라는 적절한 인물이 있어서 가능했다고 하겠다.



파이 데이 행렬을 이끌고 있는 래리 쇼
출처: http://www.pi314.net/eng/piday.php


일회성에 그칠 수 있었던 이 행사는 매년 3월 14일에 진행되면서 미국 전역으로 퍼져 나갔고, 곧 전세계에서 파이 데이를 기념하기 시작하였다. 2009년에는 미국 하원에서 3월 14일을 국가 공식 기념일로 결의하기도 하였다.


수학을 무서워하는 일반인들도 원주율 정도는 익숙한 개념이니, 파이 데이 행사는 수학에 친숙해질 수 있는 좋은 기회이기도 하였다. 전문 수학자로서도 흥미를 가지고 볼 만한 이벤트여서, 세계 곳곳의 수학과를 통해 파이 데이 행사가 널리 퍼져 나갔다.


우리나라에서도 2000년대 초 포항공대 수학동아리 마르쿠스에서 진행한 파이 데이 행사가 언론에 보도되면서 일반에 알려지기 시작했다. 중고등학교의 파이 데이 행사는 아마 광신고 김흥규 선생님이 처음 시도하신 것 같다. 그런데 언제부터인지 언론에서 보도하는 기사마다 “원주율을 최초로 계산한 수학자”라면서 피에르 자르투(Pierre Jartoux, 1669-1720)라는 잘 알려지지 않은 프랑스 수학자에 대한 언급이 등장하기 시작했다.


원주율을 소수점 아래 두 자리까지 구한 사람은 고대 그리스의 아르키메데스이니 프랑스 수학자 자르투가 원주율을 최초로 계산했다는 말은 당연히 엉터리다. 도대체 자르투라는 수학자는 어떤 사람이기에 원주율을 최초로 계산했다는 오해가 생긴 걸까?


기사에는 자르투가 18세기 초에 활동한 수학자이자 선교사로 나오는데, 정확히는 청나라에 파견되었던 예수회(Jesuit) 수도사였다. 그 무렵 로마 교황청에서는 중국 청나라에 선교를 위하여 많은 사제와 수도사를 파견하고 있었다. 자르투보다 100년 정도 앞서 중국에 유럽의 문물을 전하고 유클리드의 원론을 소개했던 유명한 마테오 리치(Matteo Ricci)가 대표적인 인물이라 할 수 있다.


자르투는 미적분을 이용한 무한급수 몇 가지를 청나라 수학자들에게 알려주었고, 이것이 큰 관심을 끌게 된다. 특히 원주율을 구하는 무한급수

\[\pi = 3 \left( 1 + \frac{1}{4 \cdot 3!} + \frac{3^2}{4^2 \cdot 5!} + \frac{3^2 \cdot 5^2}{4^3 \cdot 7!} + \cdots \right)\]

는 청나라 수학자들에게 큰 충격을 안겨주었다.


그때까지 중국에서 원주율을 계산한 방법은 3세기경 유휘(劉徽)가 개발한, 내접 다각형과 외접 다각형의 둘레의 길이를 이용하는 것으로, 오늘날 우리에게 잘 알려져 있는 아르키메데스의 방법과 거의 같다.


중국은 유럽에 비해 매우 효율적인 수체계를 갖고 있었고 사실상 소수 표기도 사용하고 있었기에, 조충지(祖沖之, 429-500)는 유휘의 방법을 발전시켜 3.1415926이라는 어마어마한 근삿값을 계산해낼 수 있었다.



중국 정부에서 발행한 조충지 우표

유럽에서는 16세기에 겨우 이 정도 값을 계산할 수 있었기에 적어도 계산이라는 관점에서는 중국의 수학이 1000년 넘게 앞섰다고 할 수 있다. 그러나 유휘의 방법은 제곱근 계산을 많이 해야 해서 계산이 복잡하고 수렴 속도도 너무 느렸다. 이런 상황에서 사칙연산만으로 원주율을 구할 수 있는 공식이라는 것은 충격이 되기에 충분하였다.


아마도 자르투는 이런 공식들을 알려주기는 하였으나, 공식을 얻는 방법에 대해서는 자세히 알려주지 않은 것 같다. 이런 이유로 청나라 수학자 명안도(明安圖, 1692?~1763?)는 자르투가 전해준 공식을 토대로 독자적인 연구 끝에 새로운 무한급수를 발견하기도 하였다.


자르투는 청나라 황제 강희제의 명에 따라 중국 여러 곳을 측량하고 지도를 만드는 일에 종사했는데, 이후로 원주율과 관련된 기록은 전혀 전하지 않는다. 아마도 그가 원주율과 관련된 일은 청나라 수학자들에게 원주율을 구하는 무한급수를 소개한 정도가 다인 것 같다. 어쩌면 청나라 수학자들 앞에서 원주율을 구하는 계산 시범 정도는 보였을 수도 있겠다. 서양의 수학 지식을 전하였다는 점에서는 의미가 있지만, 자르투가 원주율과 관련하여 특별한 학문적인 공헌을 한 것 같지는 않다. 원주율의 소수점 아래 두 자리에 해당하는 근삿값으로 을 처음으로 구한 사람이 기원전 인물인 아르키메데스이니 자르투가 원주율을 최초로 구한 수학자는 절대 아니다.


유럽에서 16세기에 소수 개념이 발견되었고, 17세기 초에 지금과 같은 소수 표기가 개발되기는 했지만, 그렇다고 해서 18세기 초에 활동한 인물인 자르투가 3.14라는 근삿값을 처음 썼을 리도 없다. 게다가 중국에는 1200년 전에 조충지가 구한 근삿값 3.1415926이 알려져 있었고 유럽에서도 자르투가 태어나기도 전에 소수점 아래 38자리까지 구한 결과가 이미 있었으니 3.14 정도의 근삿값은 아무것도 아니었다.


원주율을 문자 \(\pi\)로 처음 나타낸 사람은 1706년 윌리엄 존스(William Jones, 1675~1749)였고, 오일러(Leonhard Euler, 1707~1783)가 널리 퍼뜨렸으니 원주율을 나타내는 문자 \(\pi\)가 자르투와 관련이 있는 것도 아니다.


그렇다면, 도대체 우리나라에서는 어쩌다 파이 데이 때마다 “원주율을 최초로 계산한 자르투”라는 말도 안 되는 엉터리 기사가 난무하게 되었을까?


아마 사건의 발단은 2004년 어느 신문에 실린 서평인 것 같다. 데이비드 블래트너의 책 《파이의 즐거움》을 소개하면서 파이 데이를 “프랑스의 수학자 자르투가 원주율 값인 3.14를 기리기 위해 제정한 이 날”이라고 표현한 것이 문제였다. 이 문구대로라면 파이 데이를 만든 사람이 자르투라는 말인데, 18세기 초의 자르투가 만든 파이 데이가 지금까지 전해져 온다는 건 이상하다. 분명히 20세기 중반까지도 파이 데이와 같은 행사에 대한 기록을 찾아볼 수가 없으니까. 게다가 유럽 본토를 떠나 머나먼 중국 땅에 머물렀던 사람이 파이 데이를 정하는 게 무슨 의미가 있다고. (자르투는 1701년부터 죽을 때까지 중국에 머물렀다.)


사실 저 책에 자르투가 파이 데이를 정했다는 이야기는 나오지도 않고, Jartoux를 “자토”로 옮기기까지 했으니, 신문의 서평은 책 내용과도 맞지 않다. 어쩌다 자르투가 파이 데이를 제정했다는 말이 나왔는지 알 수 없는 일이다. 파이 데이를 시작한 사람이 누군인지 잘못 안 건 그래도 이해가 되는 일이다. 영문 위키백과사전에 Pi Day 항목이 생긴 게 2004년 7월이고, 2007년 3월이 되어서야 래리 쇼에 대한 언급이 등장하니, 파이 데이를 시작한 사람으로 엉뚱한 인물을 드는 것까지는 그럴 수도 있겠다 싶다. 사실인지 제대로 조사를 안 해 본 것은 문제인데, 자르투라는 인물이 수학자로서는 거의 무명이라 조사하기 어려웠을 수는 있겠다.


진짜 문제는 그 다음이라 할 수 있다. “자르투가 3.14를 기리기 위해 제정한 이 날”이라는 표현을 이상하게 오해하여, “자르투가 3.14를 제정한 것을 기리는 날”로 오해한 기사들이 등장하기 시작한 것이다. 이미 기원전에 3.14에 해당하는 값을 계산했는데, 어떻게 18세기의 자르투가 원주율을 처음 계산했다고 생각할 수 있는지 어이가 없다.


이런 잘못된 기사가 몇 번 등장하자, 그 다음에는 거의 모든 언론이 똑같은 오류를 매년 반복하기 시작하였다. 18세기 수학자가 원주율을 최초로 계산했다는 구절에 아무런 의심도 하지 않은 채.


그 와중에 일부 네티즌이 사실을 확인해 볼 생각은 전혀 하지 않고 두산백과사전의 일부 항목에 자르투가 원주율을 처음으로 계산했다는 내용을 써 넣어서 사태가 더 복잡해졌다.


기자들은 백과사전에 실린 글을 보고 파이 데이 때마다 확신을 가지고 자르투에 대한 내용을 쓰기 시작했고, 이제는 “파이 데이를 만든 자르투”라는 기사조차 찾아볼 수가 없고 모두 “원주율을 처음으로 계산한 자르투”에 대한 기사만 넘쳐난다. 잘못된 정보들이 서로를 입증해 주면서 점점 더 늘어나는 상황이 된 것이다.


인터넷이 정보의 바다라 불리지만, 한편으로는 정보의 쓰레기장으로 불리기도 한다. 좋은 정보도 많지만 그만큼 잘못된 정보도 많다는 뜻이다. 인터넷에 한번 퍼져나가기 시작한 잘못된 정보는 정정하기가 쉽지 않다. 누가 무언가를 했다는 것을 입증하는 것에 비해 누가 무엇을 하지 않았다는 것을 입증하는 것은 훨씬 어려우니까. 게다가 잘못된 정보라는 사실이 알려진다고 해서 그 정보가 영원히 사라지는 것도 아니다. 자르투가 원주율을 최초로 계산하지 않았다는 사실이 제대로 알려져서 잘못된 기사가 한참 동안 나오지 않다가, 진상을 모르는 신참 기자 하나가 옛날 기사를 참조하여 또다시 이런 기사를 쓸 지도 모르는 일이다. “파이 데이는 원주율을 최초로 계산한 자르투를 기념하기 위하여...”






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2018.02.26 22:47

페르마는 언제 태어났을까? Math2018.02.26 22:47

최근에 페르마의 출생 연도가 새롭게 알려져서, Mathematics Association of America에 소개된 프리드리히 카처(Friedrich Katscher)의 기사 When Was Pierre de Fermat Born?의 내용을 정리하였다.




페르마의 마지막 정리로 유명한 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)는 아마추어 수학자였지만 17세기를 대표하는 수학자라 하기에 손색이 없는 인물이었다. 지금까지 페르마의 생몰연도는 1601년 8월 17일에 태어나 1665년 1월 12일에 사망한 것으로 알려져 왔다.


그런데 최근 독일 카셀 대학(University of Kassel)의 클라우스 바르너(Klaus Barner) 교수가 페르마가 실제로는 1607년 10월 31일과 12월 6일 사이에 태어났음을 밝혀내었다.


페르마가 1601년에 태어났다는 근거는 그의 고향인 보몽(Beaumont)에 남아 있던 세례 기록을 근거로 한 것이었다. 여기에 1601년 8월 20일에 도미니크 페르마(Dominique Fermat)의 아들이 Piere Fermat라는 이름으로 세례를 받은 기록이 있었다. 철자는 약간 다르지만, 이 기록의 피에르가 바로 우리가 아는 그 피에르 드 페르마로 생각되어 왔다.


그런데 바르너 교수가 고문서들을 조사한 결과, Piere의 어머니는 프랑수아즈 카즈노브(Françoise Cazenove)이며, 어머니, 아들, 딸이 1603년 이후에 사망한 것을 알아내었다. 그러니까 1601년에 태어난 피에르 페르마는 우리가 아는 페르마의 배다른 형이었다.


도미니크 페르마는 1603년과 1607년 사이 어느 해인가에 클레르 들롱(Claire de Long)과 재혼을 했으며, 우리가 아는 피에르 드 페르마는 이 두 사람 사이에서 태어났다. 그런데 1607년과 1611년 사이의 세례 기록이 완전히 사라져서 정확한 출생 일자를 알 수가 없었다.


다행히 페르마의 출생 연도는 바르너 교수가 페르마의 묘비석을 발견하면서 확정할 수 있었다. 이 묘비석은 페르마의 큰 아들인 사뮈엘(Samuel de Fermat)이 아버지의 묘지에 세운 것으로, 그 동안 툴루즈(Toulouse) 박물관 창고에 보관되어 있었다고 한다. 이 묘비석 마지막에 새겨진 문구인


OB.[iit] XII. IAN[uarii] .M.DC.LXV. AET[ate] .AN.[norum] .LVII.


는 "1665년 1월 12일 57세로 사망"이라는 뜻이어서, 역산해 보면 페르마는 1607년 1월 13일과 1608년 1월 12일 사이에 태어났음을 알 수 있다. 여기에 추가적인 조사로 바르너 교수는 페르마의 생일이 1607년 10월 31일과 12월 6일 사이임을 알아내었다.

참고문헌과 페르마의 묘비석 사진은 MAA의 해당 기사를 참고하라.


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2018.01.01 02:18

2018 무술년 복면산 Puzzle2018.01.01 02:18

\(ABCD = D \times \left( A^D + \dfrac{A}{D} - \dfrac{D}{A} \right) \)



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2017.12.07 21:15

8일간의 선형대수학 정오표 Math2017.12.07 21:15

8일간의 선형대수학 책에 오류가 몇 개 있어서 목록을 작성해 둔다.


p.31


연습문제 3.3

\(\color{red}{U} \cap W\)는 벡터공간임을 보여라.


p.47


그림 4.2




p.74


이 된다. 그런데 \( a_i \ne 0 \)이라고 하였으므로 \( \lambda_i = \lambda_{\color{red}{\ell+1}} \)이 되어 모순이다.


p.92


오늘로부터 10일의 날씨가


p.125


이 된다. 벡터 \( \mathbf{v}_3 \)의 놈을 계산하면

\[\| \mathbf{v}_3 \|^2 = \left\langle x^2 - \dfrac13,x^2 - \dfrac13 \right\rangle = \int_{-1}^1 \left( x^2 - \frac13 \right)^2 dx = \color{red}{\dfrac{8}{45}} \]

이므로 세 번째 벡터를 \( \mathbf{v}_3 = \frac{\color{red}{3\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}\left( x^2 - \frac13 \right) \)로 고치면 정규벡터가 된다.


p.127


(2) \( X = \begin{bmatrix} x_{ij} \end{bmatrix}\), \( Y = \begin{bmatrix} y_{ij} \end{bmatrix}\)라 하면, \( \color{red}{XY} \)의 대각성분이

\begin{align*} &x_{11}y_{11}+x_{12}y_{21}+\dotsb+x_{1n}y_{n1}, \\ &x_{21}y_{12}+x_{22}y_{22}+\dotsb+x_{2n}y_{n2}, \\ &\dotsc, \\ &x_{n1}y_{1n}+x_{n2}y_{2n}+\dotsb+x_{nn}y_{nn} \end{align*} 이고, \(YX\)의 대각성분이 \[\color{red}{ \begin{align*} &x_{11}y_{11}+x_{21}y_{12}+\dotsb+x_{n1}y_{1n}, \\ &x_{12}y_{21}+x_{22}y_{22}+\dotsb+x_{n2}y_{2n}, \\ &\dotsc, \\ &x_{1n}y_{n1}+x_{2n}y_{n2}+\dotsb+x_{nn}y_{nn} \end{align*} } \] 이므로 \(\operatorname{tr}(XY) = \operatorname{tr}(YX)\)가 성립한다. 그러면


p.129


를 계산하면 \[ \begin{bmatrix} 59 & -1 \\ -1 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \color{red}{36} \\ 5 \end{bmatrix} \] 이고 방정식을 풀면 \(a = \color{red}{\frac{185}{294}}\), \( b = \color{red}{\frac{331}{294}}\)이다.



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2017.09.24 16:32

세 명의 Jordan Math2017.09.24 16:32

고등과학원 동문 워크숍에서 경희대 ㅂㅈㄷ 교수가 고등과학원 시절 농구 동아리를 만들고 동아리 이름을 "조던 앨지브라(Jordan algebra)"라고 지었다는 얘기를 했다. 사실 저 이름은 독일 물리학자 "파스쿠알 요르단"에서 온 거지만, 영어식으로 읽으면 농구 동아리 이름에 어울리기는 한다. ^^ 

수학 분야에 Jordan이라는 이름이 세 명 등장하는데, 첫 번째는 가우스-요르단 소거법(Gauss-Jordan elimination method)에 등장하는 독일 수학자 빌헬름 요르단(Wilhelm Jordan), 두 번째는 군 이론에 크게 공헌한 프랑스 수학자 카미유 조르당(Camille Jordan), 그리고 세 번째가 요르단 대수의 주인공이며 양자역학을 정립하는 데 공헌한 파스쿠알 요르단(Pascual Jordan)이다.

마지막 파스쿠알 요르단의 요르단 대수(Jordan algebra)는 양자역학이나 그와 관련된 내용을 공부하지 않는 이상 별로 들어볼 일이 없지만, 앞의 두 Jordan은 선형대수학 교재에 꼭 나오기 때문에 이공계 학생이라면 한 번쯤은 들어봤을 법한 이름이다.

그런데 두 Jordan의 철자가 같다 보니, 수많은 선형대수학 교재에서 두 사람을 헷갈리게 쓰고 있다. 그래서 많은 교재에서 가우스 소거법을 변형한 가우스-요르단 소거법을 "가우스-조르당 소거법"이라고 잘못 쓴 경우가 많다. 사실 지명도 면에서는 두 번째 Jordan인 카미유 조르당이 수학 분야에서는 압도적으로 유명한 데다, 행렬을 블록으로 대각화한 조르당 표준형(Jordan normal form)을 발견한 사람이 카미유 조르당이다 보니 으레 선형대수학에 나오는 Jordan을 조르당으로 착각하는 게 이해가 되기도 한다.




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2017.09.20 22:52

다섯 장의 카드 Puzzle2017.09.20 22:52

티비 프로그램 "문제적 남자"에서 재미있는 문제가 방송되었나 보다. 방송을 보지 않아 정확히는 모르겠으나 대충 이런 내용이었다.

카드 한 벌인 52장의 카드를 잘 섞은 다음 다섯 장을 뽑는다. 그 가운데 마술사 A가 한 장을 골라 숨겨 놓고, 나머지 카드를 잘 배열한다. 이제 눈을 가리고 있던 마술사 B가 넉 장의 카드를 보고서 숨겨 놓은 카드가 무엇인지 맞힌다.

이게 어떻게 가능할까 싶은데, 수학을 잘 이용하면 넉 장의 카드를 놓는 순서만으로 나머지 한 장의 카드에 대한 정보를 전달할 수 있어서 아주 흥미로운 문제이다.


"문제적 남자"에서는 다음과 같이 출제되었다고 한다.



마틴 가드너(Martin Gardner)에 따르면, 이 마술은 1950년에 나온 Math Miracles라는 책에 실려 있고 피치 체니(Fitch Cheney)가 개발한 것이라고 한다. 마틴 가드너는 자기 책 "The Unexpected Hanging"에 이와 비슷하지만 더 기묘한 마술을 소개하고 있다. 그의 글에서는 빅터 아이겐(Victor Eigen)이라는 마술사가 이 마술을 보여 주는 것으로 묘사되어 있다. 참고로, Victor Eigen은 선형대수학에서 나오는 Eigenvector를 이용한 말장난.


"내가 뭘 하려는지 미리 설명해 줄게요."라며 아이겐이 말했다. "아무나 자기 카드 한 벌을 섞은 다음 다섯 장을 뽑습니다. 그리고 거기서 다시 한 장을 뽑아야 하죠. 그러면 남은 넉 장의 카드를 내가 원하는 대로 배열할 거예요. 이 카드 넉 장을 모두 엎어서 주머니에 넣은 다음, 카드를 고른 사람이 들고 내 호텔 방으로 가져 갑니다. 제 아내가 방에서 트릭을 도와주려고 기다리고 있거든요. 이제 주머니 가져간 사람이 문을 세 번 두드린 다음, 문 밑으로 카드를 밀어 넣으면 됩니다. 서로 아무 말도 안 합니다. 그러면 제 아내가 넉 장의 카드를 확인하고서 뽑았던 카드가 무엇인지 맞히는 겁니다."


나는 내가 카드를 뽑아도 되겠냐고 물었고, 이후 절차는 아이겐이 지시하는 대로 진행되었다. 나는 내 카드 한 벌에서 다섯 장의 카드를 고르고, 거기서 스페이드 6을 뽑았다. 아이겐은 카드는 건드리지 않았다. 그는 카드에 표시를 해서 다른 정보를 전할 가능성을 배제하고 싶어했다. 게다가, 카드는 아래위를 뒤집으면 뒷면 무늬가 미묘하게 달라지기도 한다. 이런 한 방향 무늬를 이용하면 어떤 카드는 바로, 어떤 카드는 반대로 놓아서 정보를 전달할 수 있다. 카드를 담는 도구를 이용하여 정보를 전달할 수도 있다. 예를 들어, 봉투에 카드 앞면이 보이게 넣는지, 뒷면이 보이게 넣는지, 또 봉투를 봉하는지, 열린 채로 보내는지 등이 가능하다. 심지어 봉투를 이용하느냐 하지 않느냐도 정보가 될 수 있다. 아이겐이 부인에게 보낼 사람을 고를 수 있다면, 이 선택도 정보가 될 수 있다. 머리색이 짙은지 옅은지, 기혼인지 미혼인지, 성의 머릿글자가 A부터 M까지인지, M부터 Z까지인지 등등. 물론 그의 부인이 카드를 가져온 사람을 어떤 방법으로든지 보아야 하지만. 그러나 아이겐이 이 모든 절차를 미리 이야기했고, 카드를 건드리지 않으려고 조심했으니 이 모든 가능성은 배제된다.


아이겐이 말한 순서에 따라 나는 카드 넉 장을 배열했고, 그에게 방 번호를 묻고 막 출발하려고 할 때 멜 스토버가 말했다. "잠깐만 기다리게. 자네에게 방 번호를 주는 시간으로 정보를 전달할지도 모르잖아? 시간이 어떤 구간에 이를 때까지 대화하면서 늦추는 것도 정보가 될 수 있지. " 아이겐은 머리를 흔들며, "시간 구간 같은 건 상관 없어요. 그래도 원한다면 언제든지 원할 때 출발하시죠."


우리는 시카고의 카드 전문가인 에드 말로가 카드 섞기를 오차 없이 여덟 번 반복하면 원래 배열로 돌아온다는 시범을 보며 15분을 기다렸다. 말로의 시범이 끝난 후 나는 카드 넉 장을 들고 아이겐의 방으로 찾아갔다. 노크 세 번. 그리고 카드를 뒤집은 채 문 밑으로 밀어 넣었다. 발걸음 소리가 들렸다. 카드 더미가 시야에서 사라졌다. 잠시 후, 아이겐 부인의 목소리가 들렸다. "당신의 카드는 스페이드 6이로군요." 도대체 아이겐은 이 정보를 아내에게 어떻게 전한 걸까?


카드 52장 모두에 순서를 매겼다고 생각하면, 넉 장의 카드를 배열하여 전할 수 있는 정보는 4!=24이다. 맞혀야 할 카드는 52-4=48이니 카드 넉 장을 배열하여 전할 수 있는 정보는 정확히 48의 절반에 대한 것이다. 그러니 아이겐은 전달되는 정보가 어느 절반에 대한 것인지를 추가로 보내야 한다. 도대체 어떻게 한 것일까? 정답은 각자 생각해 보시라.




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2017.07.23 19:26

2017년 국제 수학 올림피아드 Math2017.07.23 19:26

2017년 국제수학올림피아드(International Math Olympiad) 최종 결과.


우리나라가 전원 금메달 170점으로 1등을 차지했다. 수없이 1등 하던 중국이 격차가 좀 큰 2등. 대한민국-중국-베트남-미국-이란-일본-싱가포르-태국-대만-영국-러시아 순서. 2016년과 비교하면 일본, 베트남, 태국, 이란의 약진이 두드러진다.


이번 우리나라 팀은 남학생 5명, 여학생 1명. 2006년 이후 처음 여학생이 참가했다.


개인 성적을 보면, 여섯 문제 가운데 다섯 문제에서 7점 만점 받은 이란, 일본, 베트남 학생들이 35점으로 1위. 세 학생 모두 3번 문제는 0점을 받았다. 거의 모든 학생이 0점을 받을 정도로 이번 대회에서 가장 어려웠던 문제였다.


우리나라 김다인 학생은 29점으로 여학생 1위. 우리나라 남학생 둘과 함께 팀내 공동 1위이고, 참가 학생 전체에서는 공동 7위.


2017년 IMO 최종 결과 - IMO 공식 사이트

시험 문제 2017_kor.pdf


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2017.06.07 13:47

멍청하면서 자신만만한 Other interests2017.06.07 13:47

이 그림은 정말 진리 같다.


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Posted by puzzlist
2017.05.03 16:00

바둑룰의 이해 Other interests2017.05.03 16:00

UNIST 물리학과의 김재업 교수가 "바둑룰의 이해"라는 책을 썼다.

우리나라에서야 다들 똑같은 규칙에 따라 바둑을 두고 있지만, 사실 세계적으로 사용되고 있는 바둑룰은 하나가 아니다. 현대 한국 바둑이 일본 바둑의 영향을 받아서 한국 바둑룰과 일본 바둑룰은 거의 같지만, 미묘한 부분에서 차이가 있다. 잘 알려진 것으로는 집수가 아니라 돌수를 세는 중국룰이 있다.

이외에도 다양한 바둑룰이 있는데, 사실 현행 어떤 바둑룰도 완벽하게 모든 상황을 해결하지는 못한다. 이 책에는 정말 기기묘묘한 상황이 수도 없이 제시되어 있어서, 바둑이 얼마나 오묘한 게임인지를 실감하게 한다.

김재업 교수는 기존 바둑룰이 가지고 있는 문제점들을 분석하고, 여기서 더 나아가 현재 알려져 있는 모든 문제 상황을 해결할 수 있는 바둑룰까지 제시하고 있다. 바둑을 좋아하는 사람이라면, 바둑의 심오한 세계를 느껴보고 싶은 사람이라면 꼭 한번 볼 만한 책이라 생각된다.

안타깝게도 이 책의 가치를 알아보는 사람이 많지 않아서, 이 놀라운 책을 출판해 주는 곳이 없었다. 마땅히 관심을 보여야 할 한국기원은 시큰둥했고, 이 책을 조판한 프로그램인 TeX을 이용한 출판을 할 수 있는 경문사는 수학 전문 출판사이다 보니 출판에 난색을 보였다. 어쩔 수 없이 김재업 교수는 교보문고 POD 서비스인 PurPle을 통해 자비출판을 해야했다. 그래서 교보문고를 통해서만 주문할 수 있고, 주문 후 제작 배송이 이루어져서 받을 때까지 시간이 좀 걸린다.

관심 있는 분들을 위하여 차례를 올려둔다. 더 세부적인 차례는 교보문고의 해당 페이지를 참고하시라.

제 1 장 바둑이란 어떤 게임인가 11

제 2 장 삶과 죽음, 그리고 빅 19

제 3 장 삶과 죽음의 모호성 35

제 4 장 계가법 65

제 5 장 이상적인 바둑룰이 갖추어야 할 조건 97

제 6 장 한국룰 105

제 7 장 일본룰 127

제 8 장 중국룰 197

제 9 장 AGA룰 217

제 10 장 동형반복과 동형반복 금지 227

제 11 장 응씨룰 289

제 12 장 새로운 바둑룰의 제안 301

제 13 장 인공지능과 바둑룰 343

부록 A 패와 패따냄 349
부록 B 마지막 순서넘김돌의 처리법 353
부록 C 기권의 시점 357
부록 D 시간제한 규정 359

참고 문헌 363

찾아보기 365




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