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지난 2월 11일, 동국대에서 한국 텍학회(KTS) 정기총회 및 학술대회가 있었다.


2017년은 창립 10주년이기도 하여, 기념 문집을 발간했는데, 442쪽이나 되는 양에 내용도 대단히 좋고, 무엇보다 책의 만듦새가 너무나 훌륭하다. TeX으로 책을 만들면 어느 정도까지 가능한지를 보여준다고나 할까.


편집, 조판 모두 KTS에서 하고, 인쇄만 경문사에서 했는데, 기념 문집이다 보니 판매용으로 만든 책이 아니어서, 안타깝게도 총회 현장에서 판매한 것말고는 구매할 수가 없다. 나는 발표자여서 증정용으로 한 부 받았다. 인쇄본 책자가 필요한 분은 경문사에 전화해서 2쇄를 찍어달라고 졸라보라.


다행히 KTS에서 전문을 PDF 파일로 올려놓았으니, TeX에 관심 있는 분이라면 꼭 다운받아서 읽어봤으면 싶다. 정말 주옥 같은 글들이다. TeX으로 달력도 만들고, 악보도 만들고, 바둑 기보도 만든다.


다운로드 사이트: http://conf.ktug.org/2017


아래는 KTUG 게시판에 Progress님이 따로 올려주신, 기념 문집의 차례.





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TAG KTS, TeX, , 텍학회
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2017.02.15 22:14

Raymond Smullyan 교수 별세 Math2017.02.15 22:14

"이 책의 제목은 무엇인가?"라는 재미있는 논리 퍼즐 책으로 유명한 레이먼드 스멀리언(Raymond Smullyan) 교수가 2월 6일 돌아가셨다고 한다. 향년 97세.


그는 마술사이자 피아니스트이며, 탁월한 논리학자였다. 박사 학위 지도교수는 무려 알론조 처치(Alonzo Church). 그러니까 스멀리언은 앨런 튜링(Alan Turing)과 사형제간이 된다.


평소 "죽음은 두려워할 필요 없다. 어차피 살아 생전에는 오지 않을 일이므로."라고 할 정도로 유쾌한 분이어서 그런지 100년 가까이 장수를 누렸다.



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2017.02.08 19:08

윤옥경 교수님 별세 Math2017.02.08 19:08

2016년 7월 7일 서울대 수학과 명예교수였던 윤옥경 교수님께서 돌아가셨다. 연구년으로 외국에 나가 있느라 귀국하고서야 뒤늦게 부고를 접했다. 향년 87세.


Calculo ergo sum(나는 계산한다. 고로 나는 존재한다)라는 말을 들을 만큼 계산이 빠르고 정확해서 전설적인 일화도 무척이나 많은 분이다. 고등학생들에게는 수학의 정석 머리말에 나오는 이름으로 더 잘 익숙할지도 모르겠다.


늦었지만 고인의 명복을 빌며, 서울대 수학과 뉴스레터에 실린 추모글을 첨부한다. Tistory의 버그로 파일 이름 앞에 공백이 하나 들어가 있다.


윤옥경_교수님을_추모하며.pdf


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2017.01.03 01:58

2017 정유년 복면산 Puzzle2017.01.03 01:58

\( ABCD = \left(A \times CA^A + \dfrac{C}{D}\right) \times D \)





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2016.10.21 10:48

2017년 수학 달력 Math2016.10.21 10:48

10월 20일부터 10월 23일까지 서울대에서 개최되는 대한수학회 창립 70주년 기념 국제학술대회에서 판매 중인 수학 달력입니다.


구매는 대한수학회(02-565-0361)에 문의하세요.



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2016.10.08 12:04

태양계의 구성원 Ordinary Life2016.10.08 12:04

우리딸이 5학년 때 만든 자료. Mac에서 Pages로 작성. 교정만 내가 약간 봐 주었다.


분명히 혼자서 다 만든 자료인데, 선생님이 믿어주지 않았다. T_T


이름만 지우고 올림.


태양계-박xx.pdf



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2016.10.03 09:02

한 면 안정 다면체와 거북이 Math2016.10.03 09:02

지난 9월 30일은 수학자 리처드 가이(Richard Guy)의 100번째 생일이었다.


수학도들에게는 아마 그의 책 Unsolved Problems in Number TheoryUnsolved Problems in Geometry로 익숙한 이름일 것 같다.


100년의 인생 동안 Guy는 수많은 수학적 업적을 이루었는데,  특히 유희수학(recreational mathematics) 분야에서 많은 공헌을 하여, 그 가운데 일반인이 이해하기 쉬운 재미있는 것들도 아주 많다. 예를 들어, 콘웨이(J. H. Conway)의 유명한 생명 게임(Game of Life)에서 무한히 반복되면서 이동하는 패턴인 글라이더(glider)를 처음 발견한 것도 Guy였다.



그가 발견한 것 가운데 unistable polyhedron(=monostable polyhedron)도 비교적 이해하기 쉽다. "한 면 안정 다면체" 정도로 번역할 수 있는 unistable polyhedron은 Conway와 Guy가 출제한 문제[각주:1]에서 비롯되었다. 이 문제는 다음 두 가지를 물었다.

  1. 임의의 균질한 사면체는 적어도 두 면 가운데 한 면을 바닥으로 하여 놓으면 안정됨을 보이시오.
  2. 바닥에 놓았을 때 안정되는 면이 꼭 하나인 균질 볼록 다면체의 예를 드시오.

여기서 다면체가 안정되게 놓인다는 것은 다면체를 놓아두면 어느 쪽으로도 기울지 않고 그대로 있다는 뜻이다. 다시 말해, 다면체의 무게중심이 바닥면을 벗어나지 않는다는 뜻이다. 1969년에 같은 저널에 실린 풀이[각주:2]에서 Guy는 19개의 면으로 이루어진 다면체를 제시하였다. 단면이 17각형인 각기둥 모양의 양쪽을 비스듬히 잘라낸 모양이었다. 이 19면체를 바닥에 어떻게 놓아도 가장 긴 면이 아래로 가게 구른 다음 안정된다. (관련 동영상 참고)


한 면 안정 19면체


이 다면체를 앞, 옆, 위에서 본 그림은 다음과 같다. 여력이 되는 사람은 3D 프린터로 하나쯤 만들어 봐도 재미있을 것 같다.


앞, 옆, 위에서 본 한 면 안정 19면체



Guy는 다음과 같은 방법으로 일반적인 unistable polyhedron을 구성하였다.

  1. 한 내각이 \(180/m\)인 닮은 직각삼각형을 그림과 같이 반복하여 붙여서 \((2m-1)\)각형을 만든다.
  2. 이 다각형을 단면으로 하는 각기둥을 만든 다음 양쪽을 비스듬히 잘라낸다.

Richard Guy의 unistable polyhedron 도면


Guy의 구성 방법으로는 \(m \ge 8\)인 경우, 즉 단면이 17각형 이상인 경우에 가장 긴 면을 바닥으로 하여 놓으면 다면체의 무게중심이 바닥면을 벗어나지 않는다. 구성 방법을 조금 바꾸면 면의 개수를 더 줄일 수 있을 것 같은데, 의외로 전혀 진전이 없다가, 2012년에 Andras Bezdek이 18면 다면체를 구성하였고, 2014년에 Alex Reshetov가 구성한 14면 다면체[각주:3]가 현재 최고 기록이다.


흥미롭게도 자연에서 unistable polyhedron과 비슷한 모양을 발견할 수 있다. 아래 사진의 거북은 인도 별 거북(Indian star tortoise)으로, 이 거북은 등딱지가 unistable polyhedron과 비슷하게 생겨서, 뒤집어지더라도 쉽게 자세를 바로잡을 수 있다고 한다. 이쯤 되면 조물주는 분명히 수학자라는 생각이 든다.



인도 별 거북 (출처: fr.wikipedia.org, Colin M.L. Burnett 제공)



  1. Conway, Guy, Problem 66-12, Stability of Polyhedra, SIAM Review, Vol. 8, No. 3, July, 1966, 381. [본문으로]
  2. Conway, Guy, Problem 66-12, SIAM Review Vol. 11 (1969), 78-82. [본문으로]
  3. A. Reshetov, A unistable polyhedron with 14 faces. Int. J. Comput. Geom. Appl. 24 (2014), 39-60. [본문으로]
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2016.09.14 14:03

종이접기 물고기 Other interests2016.09.14 14:03

유지원 박사님의 오리가미 물고기 이야기를 보고 떠오른 생각.


로버트 랭의 물고기
로버트 랭의 물고기 CP

저 물고기는 현존 최고의 origamist라 할 만한 Robert Lang(본업은 물리학자)의 작품으로, CP(crease pattern)로 보는 것과는 달리 단계가 꽤 많아서 깔끔하게 접기가 만만치 않다. 내가 좋아하는 물고기는 Davor Vinko의 작품으로 CP도 훨씬 간단하고, 아주 금방 접어낼 수 있다. 
(풀칠은 해야 한다.)


그런데 Vinko의 물고기는 꼬리 부분에 안팎이 뒤집히는 부분이 있어서 양면이 다른 색종이로 접으면 색이 뒤섞여서 덜 예쁘다. 그래서 Vinko의 model도 양면이 같은 종이로 접었다.

Vinko는 나중에 이 부분을 물고기 머리 부분에 종이를 한 번 뒤집어 접는 방법으로 해결하여 더 멋진 작품을 만들었다. 꼬리 부분에 색이 섞이지도 않으면서, 머리 부분만 다르게 색을 넣어서 아주 멋지다.


접는 방법(diagram)은 여기(1/2)여기(2/2).

Vinko의 물고기에서 인상적인 부분은 눈인데, 종이를 우그려 넣는 방식이 재미있다. Vinko는 이런 방식을 이전에 다른 작품에도 시도했는데, 물고기에서 아주 잘 구현되었다. Vinko는 이 방식을 이용하여 부엉이도 만들었다.



부엉이의 큰 눈에 아주 잘 어울리는 방식이다.


이 방식은 다른 origamist에게도 영감을 주어, Lang만큼이나 지존인 Joseph Wu 선생은 이런 작품을 만들어내었다.

 

Owl (inspired by Davor Vinko)

더 발전하여 이런 것도.


Horned Owl

Wu 선생은 CP도 공개하셨으나, 나는 CP만 보고도 접어내는 analyst 수준이 아니다 보니 구경만. -_- 아무튼 종이접기의 새로운 표현 방식이 다양한 작품으로 발전해 가는 것을 보니 정말 멋지다.


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2016.09.11 05:22

유니코드와 상대성 이론 Blog & Blogger2016.09.11 05:22

얼마 전에 인터넷에서 화제가 된 머그(mug)가 있었다. "I ♡ UNICODE"라는 문장에서 유니코드(unicode)로 표현된 하트 ♡가 깨져서 네모로 나타난 것이었다.



아주 기발한 유머였다. 인터넷에서도 아주 호평.

이 유머를 보다가, 유니코드가 깨져서 네모로 나타나는 걸 이용한 장난 하나가 떠올랐다.


어차피 \(E = mc^2\)을 "E = m c square"로 읽으니까 유니코드가 깨져도 말이 되는 상황이다. ㅋㅋ



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2016.09.09 22:14

레카만 수열의 기묘한 성질 Math2016.09.09 22:14

수학의 세계에는 별별 희한한 수열들이 많다. 피보나치 수열이나 메르센 수처럼 이름 붙은 유명한 수열도 있지만, 해괴한 규칙에 따라 만들어지는 수열도 있고, 뭔가 다른 계산을 하다가 나왔는데 아직 그 정체가 밝혀지지 않은 수열도 있다. 이런 수열들 가운데 비교적 수학적 의미가 있다고 인정되는 것들을 모아놓은 웹사이트가 있다. 수학자 슬론(Neil James Alexander Sloane)이 만든 On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, 줄여서 OEIS가 그것으로, 처음에는 슬론이 종이에 적어 가며 수집한 목록 정도였지만, 지금은 독립된 도메인으로, 내용도 체계적으로 정리되어 있으며, 항목 수만 25만 개가 넘는다. 현재는 OEIS Foundation에서 관리하고 있다.


슬론은 OEIS에 있는 수열 가운데 가장 좋아하는 것으로 레카만 수열(Recamán sequence)을 들고 있다. OEIS 분류 번호 A005132인 이 수열은 콜롬비아의 수학자 베르나르도 레카만 산토스(Bernardo Recamán Santos)가 제안한 것으로, 규칙이 좀 희한하다. 먼저 \(a_0=0\)으로 둔다. 그 다음부터는 \(a_n = a_{n-1}-n\)으로 계산하되, 만약 이 값이 양수가 아니거나, 양수이더라도 이전 항에 이미 나온 수라면 \(a_n = a_{n-1}+n\)으로 바꾸어 계산한다.


몇 개 항을 계산해 보면, \(n=1\)일 때, \(a_0-1 = -1\)은 양수가 아니므로, \(a_1 = a_0+1 = 1\)이 된다. 이어서, \(n=2\)일 때, \(a_1-2=-1\)이므로 \(a_2 = a_1+2=3\)이 된다. 같은 식으로, \(a_3 = a_2+3=6\)이다. \(n=4\)일 때, \(a_3-4=2\)인데, 이전 단계에서 \(2\)가 나타나지 않았으므로, \(a_4 = 2\)가 된다. 그 다음 항은 \(n\)을 더하여 \(a_5=a_4+5=7\), \(a_6=a_5+6=13\), \(a_7=a_6+7=20\)이고, 여덟 번째 항은 \(n=8\)을 빼서 \(a_8=a_7-8=12\)가 된다. 이런 식으로 70항까지 계산한 결과는 다음과 같다.


0,1,3,6,2,7,13,20,12,21,
11,22,10,23,9,24,8,25,43,62,
42,63,41,18,42,17,43,16,44,15,
45,14,46,79,113,78,114,77,39,78,
38,79,37,80,36,81,35,82,34,83,
33,84,32,85,31,86,30,87,29,88,
28,89,27,90,26,91,157,224,156,225,
155

Recamán 수열500항까지 구한 Recamán 수열



우선 생각해 볼 수 있는 질문이라면, 이 수열의 항이 모두 다를지 그렇지 않으면 같은 값이 나올 수 있을지일 것 같다. \(a_{n-1}-n\)이 이전 항에 나타나면 \(a_{n-1}+n\)을 계산하지만, \(a_{n-1}+n\)이 이전 항에 나타나는 경우에 대해서는 제한하지 않았기 때문이다. 이 질문은 간단히 답할 수 있다. 위에서 구한 항을 보면, \(a_{20}=a_{24}=42\)이므로 Recamán 수열에는 같은 값이 나올 수 있다. \(a_{18}=a_{26}=43\)도 위 표에서 찾을 수 있다.


이 수열에 중복되는 값이 나올 수는 있는 것은 쉽게 알 수 있겠는데, 이 수열이 모든 자연수를 만들어 낼 수는 있을까? 이 수열의 \(n\)번째 항은 앞 항과 \(n\) 차이가 나니까 그럴 것 같아 보이지는 않는다. 하지만 한편으로는 수열이 커졌다가 작아졌다가를 반복하는 형태여서 모든 자연수를 만들어 낼 수도 있을 것처럼 보인다. 어느 쪽이 참일까?


2001년에 AT&T의 앨런 윌크스(Allan Wilks)는 \(10^{15}\)번째 항까지 계산한 결과에 나타나지 않은 가장 작은 자연수가 \(852655 = 5 \times 31 \times 5501\)임을 발표하였다. 2010년에는 인텔의 컴퓨터 공학자인 벤자민 채핀(Benjamin Chaffin)이 \(10^{230}\)번째 항까지 계산해서, 여전히 \(852655\)가 나타나지 않음을 확인하였다. 과연 이 수는 Recamán 수열에 절대 나타나지 않는 수일까?

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