Langley's Adventitious Angles

KIDS의 Killer님이 방명록에서 물어보셨던 풀이.

---

∠A가 20^o이고 AB=AC인 이등변 삼각형 ABC를 생각합시다.

변 AC 위에 점 D를 잡아 ∠CBD가 60^o가 되게 하고, 변 AB 위에 점 E를 잡아 ∠BCE가 50^o가 되게 합시다.

이때 ∠BDE는 몇 도일까요?

이 문제는 보기보다 어려운 걸로 유명하다는군요.

변 CA 위에, ∠CBF = 20^o인 점 F를 잡습니다.

그러면, BC = BF 이고, △BCE가 이등변 삼각형이므로, BC = BF = BE 가 되어, △BEF는 정삼각형이 됩니다.

한편, ∠EBD = 20^o = 1/2×40^o = 1/2 ∠EFD이므로, 원주각과 중심각의 관계에서 세 점 B, D, E는 점 F를 중심으로 하는 하나의 원 위에 있습니다.

따라서, ∠BDE는 ∠BFE의 원주각이 되어, ∠BDE = 30^o.

다음과 같은 재미있는 풀이도 있습니다.

삼각형을 반복해서 정18각형을 만듭니다. (점 A를 O로, 점 B, C를 A₁, A₂로 나타내겠습니다.)

이등변 삼각형 OA₂A₁₄를 생각하면, 선분 A₂E의 연장선이 A₂A₁₄와

일치함을 알 수 있습니다.

한편, A₂A₁₄와 A₆A₁₈이 OA₁에 대해 대칭이므로

선분 A₆A₁₈도 점 E를 지나게 됩니다.

또, OA₃와 A₆A₁₈이 서로를 수직이등분하므로, A₆A₁₈과 A₂O의 교점이 원래 문제의 점 D와 일치합니다.

EDA₁ + A₁DA₂ + A₂DA₃ + A₃DA₆ = EDA₁ + 40^o + 40^o + 70^o = 180^o이므로, EDA₁ = 30^o.