케일리-해밀턴 정리

지난 번에 올렸던 케일리-해밀턴 정리는 누가 증명하였을까의 정답(?)을 알아보자.

몇 분이 댓글로 달아주셨듯이, Cayley-Hamilton 정리를 증명한 수학자는 독일의 Frobenius이다.

그런데 왜 이 정리는 Frobenus의 정리가 아니라 Cayley-Hamilton 정리로 알려져 있을까?

원래 이 정리의 내용을 처음으로 발견한 사람은 Hamilton이다. 그의 최대 업적은 사원수(quaternion)를 발견한 것으로, 이것은 삼차원 공간의 회전변환을 기술하기 위하여 개발된 것이다. 1853년에 Hamilton이 보인 것은, 이런 변환을 나타내는 사원수가 특정한 삼차방정식의 근이 된다는 것이었다. 행렬로 바꾸어 표현하면, 삼차원 공간의 회전변환을 나타내는 것은 3차 정사각행렬이므로, 그가 보인 것은 3x3 행렬에 대해 Cayley-Hamilton 정리가 성립함을 보인 것과 마찬가지이다.

Hamilton 시대에는 행렬이라는 개념이 없었으므로, 회전변환을 묘사하기 위해서는 복소수나 사원수를 사용할 수밖에 없었다. 여기에서 벗어나 일반적인 행렬을 다루기 시작한 사람이 Cayley이다. 그는 1857년에 2x2 행렬에 대해 지금 우리가 Cayley-Hamilton 정리라 부르는 관계가 성립함을 보였다. 그러면서 3x3 행렬에 대해서도 확인하였다고 주장하였다. 그러나 그들의 결과는 정식으로 출판되지는 않았고, 강의록이나 다른 수학자와 주고 받은 편지에 간단히 언급된 정도였다.

고등학교에서 배우는 Cayley-Hamilton 정리는 2x2 행렬에 대한 것이니, 이런 점에서는 Cayley-Hamilton 정리를 증명한 사람이 Cayley라고 하는 것도 아주 틀린 말은 아닌 셈이다.

Cayley-Hamilton 정리를 더 일반적인 nxn 행렬로 확장한 결과는 앞서 언급하였던 Frobenius에 의해 1896년에 증명되었다. 증명을 해 본 사람은 알겠지만, Cayley-Hamilton 정리는 추측하기는 쉬워도 일반적인 증명을 하기는 그리 간단치 않다. 그러나 Frobenius는 Cayley와 Hamilton이 2x2와 3x3에 대해 같은 결과를 발견하였다는 사실을 알고서, 관대하게도 자신이 발견한 정리를 Cayley와 Hamilton의 공으로 돌렸다. 이 정리가 Frobenius 정리가 아니라 Cayley-Hamilton 정리로 불리는 이유가 바로 이것이다.

그래서 Cayley-Hamilton 정리를 증명한 사람을 묻는 질문에 대한 정답은 Cayley도 Hamilton도 아닌 Frobenius가 된다. 그런데 여기에도 한 가지 알려지지 않은 사실이 있다. Arthur Buchheim이 1883년에 비슷한 결과를 발표하였다는 것은 거의 알려져 있지 않다. 왜 그의 이름은 잊혀졌을까? 아마도 그가 요절하여 --- 1859년에 태어나 1888년에 죽었다. --- 그의 업적 또한 함께 잊혀졌던 것이 가장 큰 이유일 것이다.

만약 Cayley-Hamilton 정리가 Frobenius 정리로 불렸다면, 나중에 선후 관계를 따져 Buchheim-Frobenius 정리가 될 수도 있었겠지만, Cayley-Hamilton 정리라는 이름에는 Buchheim이 들어갈 자리가 없어 보인다.

참고자료:

Tony Crilly, CAYLEY'S ANTICIPATION OF A GENERALISED CAYLEY-HAMILTON THEOREM

P. Muth, MUTH'S ELEMENTARTHEILER.

E. T. Whittaker, PARALLELISM AND TELEPARALLELISM IN THE NEWER THEORIES OF SPACE.