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'Math'에 해당되는 글 254

  1. 2006.10.18 천재 소년 송**? (14)
  2. 2006.10.10 Poincare conjecture 다음은 Navier-Stokes equation? (1)
  3. 2006.09.28 Trisectopathy (6)
  4. 2006.09.28 Palindrome of continued fractions
2006. 10. 18. 01:05

천재 소년 송**? Math2006. 10. 18. 01:05

식당에서 저녁을 먹다가 건너편에 앉아있던 아주머니+할머니의 대화 가운데 천재 소년 송** 얘기가 나왔다.

어쩜 그리 똑똑한 애가 있느냐, 벌써 대학도 가지 않았느냐, 뭐 이런 얘기였는데, 솔직히 난 송**이 왜 천재인지 전혀 이해가 안 된다.

처음에 8살 나이로 미적분을 척척 하는 애가 있다는 얘기를 들었을 때, 미적분이야 일종의 계산 기술이니까, 의미도 모른채 공식만 외워서 하는 정도라면 그 나이라고 못 할 리가 없다고 생각했다. 그런 정도로 천재라고 할 수야 없는 일이지. 주변 사람들이 마구 지식을 주입한 좀 똑똑한 아이 정도랄까.

그러다 나중에 대학에 들어갔다는 소식을 듣고는 얘가 진짜 대단한 천재인 줄 알았다. 대학 교수들이 인정할 정도면 그래도 아주 엉터리는 아닐 테니까. 그런데 TV에서 우연히 이 아이가 수학 문제 푸는 걸 봤더니, 이거 완전 이뭐병 수준 아닌가.

문제가 정확히 기억나지는 않는데, 예를 들어 0부터 1까지 x2을 적분하는 문제였다고 하자. 이 아이는 이 문제를 보더니, 구간 [0,1]을 n등분한 다음, 적분을 무한급수로 바꾸었다. 여기에 제곱수에 대한 합 공식을 적용하여 극한값을 구하였다. 그러니까 적분의 공식을 이용해서

을 구한 게 아니라,

을 구한 것이다.

적분을 무한급수로 고치는 것까지 할 줄 아니 대단하지 않냐고 생각하는 사람이 있을지 모르겠는데, 이건 마치 5x6을 구해보라고 했을 때,
"곱셈은 덧셈의 확장이라고 할 수 있어요. 그러니까 5를 6번 더하면 되는데, 5라는 건 페아노 공리계에서 최초의 자연수 1을 다섯 번 더한 것이니까, 결국 1+1+1+1+1을 6번 더하면 돼요."
라면서 30개의 1을 1+1+...+1로 죽 써놓고 일일이 더해서 30이라고 답하는 것과 다를 게 하나도 없다. 뭔가 어려워 보이는 말을 잔뜩 늘어놨지만 정작 곱셈도 할 줄 모르는 셈이다.

저 애는 적분에 대한 개념이 전혀 없으며, 그저 외워서 아는 계산만 할 줄 아는 것 뿐이다. 무한급수 계산을 할 줄 아는 것 같기는 하지만, 그런 무한급수 계산이 복잡해서 만들어진 게 적분이라는 걸 모른다면 수학 센스가 그야말로 꽝이라고 할 수밖에. 이게 무슨 천재라고?

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  1. Favicon of http://wookay.com/w BlogIcon wookay 2006.10.18 11:02  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    천재 맞는 것 같은데요.
    함수형 프로그래밍이 저런식으로 접근하죠.

  2. Favicon of https://www.valken.net BlogIcon 이쁜왕자 2006.10.18 11:30 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저건 적분 공식을 외워서 푸는것보다 더 심각한 상황이군요.. 애초에 '적분이 무엇인지?'를 모른다는 거군요..

  3. 쭝궈에서 2006.10.18 12:57  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    \sin{x} 적분을 저렇게 해서 풀면 인정해 주죠, 뭐...

  4. 엄상일 2006.10.19 03:30  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    적분 공식 외어서 푸는것보다
    적분 정의대로 풀수 있다는게 더 대단한 거 같기도 합니다. 우리나라 학생들 중에 정의 정확하게 알고 적용하는 애들도 사실 몇명 안될 수 있습니다.

    근데 적분이 무슨 천재성과 관련이 있습니까. 구구단 잘 왼다고 천재 아닌 것과 같습니다. 그런점에서 진짜 천재성은 다른 식으로 파악해봐야 겠지요.
    4색정리를 풀라고 시킨다든지... ㅋㅋ...

  5. bs1818 2006.10.19 15:55  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    제가 보기엔 적분의 정의대로 적분을 할수 있다고 해서 절대 천재라고 불릴수 없을꺼 같은데요.. 개념만큼 중요한거도 공식의 활용이죠.. 정의만 알아서는 제대로 뭘 할수 있을까요;

  6. 손님 2006.10.22 11:02  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    하지만 미적분의 기본정리를 이용해서 푼다고 해도 '단순히 공식을 외워서 푸는 것 아니냐'라는 의심을 피할 수는 없는 것 아닌가요; 이렇게 푸나 저렇게 푸나 의심을 받을 수 밖에 없는 건가.. -.-;

  7. 봉필선 2006.10.24 16:04  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    괜히들 트집잡는 것 같아.
    천재를 어떻게 정의해야 하는지는 어려운 문제지만
    그 아이의 나이를 생각할때 충분히 천재라고 할 수 있겠다.

    댓글도 그렇고 모두들 그 아이를 어른으로 가정하고 논리를 전개하고 있잖아.

    결국 아이의 천재성을 어느 정도 인정한다는 것 아닌가?
    그렇지 않다면 8살짜리 어린애가 저런 문제를 푸는 것을
    달리 무엇이라 설명할텐가?

  8. 斯文亂賊 2007.08.23 16:58  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    음... 저는 고등학교 졸업할 때만 해도 미적분 아주 쉽다고 생각했는데... 대학 신입생 때 마침내 [연속]이 뭔지도 모르고 있다는 사실을 깨닫고는 학교수학에 심한 배신감을...
    참고로 그 때 본 문제는 이거였습니다.

    (0,1)에서 함수 f가 이렇게 정의되었습죠.
    첫째, x가 유리수(유비수?)이면 f(x)= 1/q (x를 기약분수 p/q로 표시할 수 있다고 전제함)
    둘째, x가 무리수이면 f(x)= 0

    문제는 [연속인 점과 불연속인 점을 모두 찾아라]였습니다. ㅠ.ㅠ (문과는 저런 거 안 배웠어유~ 흑흑...)

  9. Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2007.08.23 22:42 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    대1에게는 너무 어려운 문젠데요.

  10. 斯文亂賊 2007.08.24 00:01  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    제가 입학하던 해에도 신입생(이과) 수학교재 거의 맨 처음 나온 문제였던 듯...^^

  11. youbeebee 2008.03.06 17:53  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    아마 방송에서 좀 있어보이려고 그렇게 풀라고 하지 않았을까요?

2006. 10. 10. 23:42

Poincare conjecture 다음은 Navier-Stokes equation? Math2006. 10. 10. 23:42

egloos 시절부터 내 블로그의 제목이 Pomp On Math & Puzzle이긴 하지만 진짜 수학 얘기는 그렇게 많이 쓰지 않은 것 같다. 진짜 수학 블로그라면 Mark Chu-Carroll이 운영하는 Good Math, Bad Math가 유명할 것 같은데, 연휴 전날인 10월 4일에 이 블로그에 놀라운 뉴스가 올라왔다. 바로 100만 달러의 상금이 걸려 있는 Clay Millennium Problem 가운데 하나인 Navier-Stokes equation이 풀린 것 같다는 것.


왼쪽은 Claude Navier, 오른쪽은 George Gabriel Stokes.

추석 내내 딸아이랑 놀아주느라 완전 녹초가 돼서 자세한 소식을 알아볼 생각은 전혀 못하고 있었다. 그러다 오늘 연구실 사람들과 얘기하다가 그제서야 이 뉴스가 생각났다. 다들 깜짝 놀란 것은 당연한 일. 자세한 내용은 Good Math, Bad Math기사를 보라며 그 블로그를 열었는데, 10월 9일자 최신 기사의 제목이 이렇다. --- Navier Stokes: False Alarm -_-;

내용을 읽어보니 10월 4일 기사에서 문제를 풀었다고 했던 Lehigh 대학의 Penelope Smith 교수가 심각한 오류로 논문을 철회했다고 한다. 그러면 그렇지 싶기도 하지만, 약간 안타깝기도 하다. Smith 교수가 Andrew Wiles처럼 오류를 수정하여 역사적인 난제를 해결할 수 있을까? 그녀가 성공한다면 2000년을 전후한 최근의 십 여년은 수학의 역사에서 정말로 놀라운 시대로 기록될 것 같다.

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  1. 차노 2006.10.14 11:19  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    NYU에 있는 한택이 형 전공도 이건데
    자기 지도교수한테 물어보니 그 사람 특이한 사람이라고 했다고 하네요;;;

2006. 9. 28. 22:22

Trisectopathy Math2006. 9. 28. 22:22

예전에 재*교육 스**교* 연구소에 병특으로 근무할 때의 일이다. 입사한 지 얼마되지 않은 신참 시절, 다른 부서의 팀장이 갑자기 나를 불렀다. 무슨 일인가 싶어 가보니 웬 서류 봉투를 하나 주면서 검토해 보고 답변을 작성하란다.

춘천에 사는 함**이라는 사람이 재*교육 회장 앞으로 보낸 문건이었는데, 열어보니.... 자신이 임의의 각을 삼등분하는 작도법을 발견하였으니 검토를 부탁한다는 내용이었다. -_-

아마도 대학 수학과에 문의했다가 아무 답변이 없어서 이쪽으로 보낸 것 같다. 애가 재*교육 교재라도 받아보고 있었는지도 모르겠다.

아무튼 읽어보니 언제나 그렇듯 무지하게 복잡하다. 일일이 따라 그려보는 건 시간낭비인 데다 오류를 찾는 것도 쉽지 않은 일. 그래서 하숙집 후배의 컴퓨터를 빌려 Mathematica로 60도의 경우를 그려 보았다. 그랬더니 역시나 소수점 아래 여섯 번째 자리인가에서 cosine 값이 다르게 나왔다.

이 결과를 바탕으로 어떤 점이 문제인지에 대해 친절하고 자상한 설명에 그림까지 일일이 그려서 답변서를 만들었다. 이걸 연구소 이사에게 들고 가서 보고를 했더니, 보내기 전에 먼저 전화를 해 보란다. trisector들의 성향을 잘 아는지라 전화로는 해결이 안 될 텐데 하는 걱정이 들었지만, 이사가 시키는 데야 별 수 있나.

작도법 설명서에 적혀 있던 번호로 전화를 걸어 재*교육 연구소라고 했더니 엄청나게 반가워한다. trisector들에게 으레 하는 대로 각의 삼등분 작도 문제는 이미 불가능하다는 것이 잘 증명되어 있다고 했더니 놀랍게도 이 사람은 "아, 그렇습니까? 몰랐습니다."라고 대답을 한다.

trisector답지 않은 반응이라 생각하면서, 그 사람의 작도법에 따라 60도를 가지고 작도해보니 오차가 생겼다고 말해줬다. 그러면서 답변서를 보내주겠다고 했더니, 웬걸, "아닙니다. 불가능하다는 걸 알았으니 됐습니다."라고 한다.

trisector들을 만나본 사람들은 알겠지만, 이건 진짜 놀라운 반응이다. 보통 trisector들은 고집이 엄청나서 아무리 설명해도 절대 이해하려 들지 않는데, 설명을 들을 필요도 없다니 놀랄 수밖에.

공들여 만든 설명서가 아깝긴 했지만, 이렇게 해서 무사히 일이 끝났다.

그런데..................................................................

며칠 전에 m***** 사이트에 함**이라는 사람이 글을 올렸다. 흔한 이름이 아니니 동명이인은 아닐 텐데, 그 내용인즉,
임의각 삼등분 작도방법을 성공했습니다.
물론 증명도 했구요
편견없이 저의 연구 논문을 검증 해 보고 싶으신 분은 연락 주세요
란다.

내가 "틀렸다"고 한 이후로 7~8년을 더 연구해서 삼등분 작도에 "성공"한 것 같은데, 역시 trisector들에게 "삼등분작도"라는 병은 불치병임에 틀림없다. 그것도 아주 중증의.

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  1. Favicon of http://www.valken.com BlogIcon 이쁜왕자 2006.09.29 17:55  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    그나마 삼등분 작도는 '불가능'하다고 증명되어 있기 때문에 훨 강도가 덜하죠..
    이미 증명되어 있는 4색문제나 페르마의 정리를 '간단히' 증명하겠다고 GR 하는 인간들은 대책이 없죠..

  2. 아무개 2006.10.02 00:26  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    tistory는 egloos처럼 주민등록번호 입력해야 가입할 수 있나요? 이걸 몰라서 초대권 신청을 망설이는중입니다. (이 덧글 지우셔도 되요)

  3. anonymous 2008.04.29 21:08  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    보통은 아무리 설명해도 절대 이해하려 들지 않는다.
    --> 그래요 이런 사람들 좀 있죠 (좀 많이)

    그러나 이분은 수긍은 하는데, 설명을 들을 필요는 없다는 반응...
    --> 어라? 공을 들인 만큼은 아니, 더 궁금할텐데...


    (그리고 수년 후)


    편견 없이 검증 해줄 분 찾는다는 말에...
    --> 수긍(?)은 하나, 설명은 안들어도 되는 이유를 알겠음 (후덜덜) --> 설명은 안들어도 되는게 얼마나 많은 경험(?)에서 나온 말인지 그 포스가 깊이 느껴짐.

  4. whitehol 2008.07.17 08:44  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    삼등분'병'을 요즘 네이버 지식인에서 실감하고 있습니다. crank에 관한 글을 4년 전에 한 편 쓴 적 있는데, 여기에다 사이비종교 신도 수준으로 삼등분 작도법 선전하고, 다른 의견 작성자들(물론 대부분은 '제대로' 수학을 아는)을 편협한 기득권자로 비방하는 의견을 계속 버리는 crank가 있어서 계속 의견을 지웠더니……

    그 crank가 부당하게 의견을 지운다고 신고한 건지, 네이버에서 이걸 어떻게 받아들인 건지 의견 삭제를 못하게 막아놓았습니다. crank들도 문제지만, 무지를 조장하는(그러면서 자신들이 폭넓은 지식을 전한다고 착각하는) 포털 사이트 운영진들도 문제입니다.

    • Favicon of http://blog.naver.com/nabimew BlogIcon 나비 2008.08.05 19:47  댓글주소  수정/삭제

      어쩌면 수학책들이 그런 사람들을 만들고 있는 걸지도 모릅니다. 물론 책을 제대로 쓰면 그런 사람을 완전히는 못 없애도 많이 줄일 순 있겠죠.

      잔뜩 하지 말라는 조건만 주고(각도기도 쓰지 말라, 자 눈금도 쓰지 말라 기타 등등등) 각 3등분을 하라면 못하는 게 당연하죠. 그런데 많은 수학책들을 보고 제가 받는 느낌은, 수학책들이 그걸 못하는 게 신기하거나 의외인 것처럼 서술하는 듯합니다. 까놓고 말해 중고교 교육과정에 작도불능 문제가 나올 필요가 없다고 생각합니다. 허용되는 도구가 얼마 없는데 그걸로 만들 수 있는 도형이 있으면 얼마나 있겠습니까(어차피 무한집합이긴 하지만서도). 그런데 그거 갖고 도형 못 만든다고 신기하게 생각하도록 유도하고, 그래서 진짜 해봐야겠다고 마음먹게 만들고....

2006. 9. 28. 13:00

Palindrome of continued fractions Math2006. 9. 28. 13:00

지난 화요일, 어쩌다 땜빵(?) 세미나 발표를 하게 되었는데, 제목은 Arithmetics of binary quadratic forms, symmetry of their continued fractions and geometry of their de Sitter world, 저자는 V. Arnold. 유명한 바로 그 Arnold다.

제목의 두 번째 주제인 연분수 전개에 나타나는 대칭성은, n의 제곱근을 연분수로 나타내면 그 표현에 palindrome이 있다는 것이다. palindrome이란 "소주 만 병만 주소"처럼 앞으로 읽으나 뒤로 읽으나 같은 것을 뜻하는데, 예를 들어 , √167 = [12; 1, 11, 1, 24]로 표현되고 여기서 1,11,1이 바로 palindrome이다. 좀더 긴 예를 들면,
√163 = [12; 1, 3, 3, 2, 1, 1, 7, 1, 11, 1, 7, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 24]
이고 1, 3, 3, 2, 1, 1, 7, 1, 11, 1, 7, 1, 1, 2, 3, 3, 1이 palindrome이다.

이 글을 쓰다 Continued Fraction Calculator라는 사이트를 발견했다. 연분수를 계산할 일이 있으면 저 사이트를 이용하면 되겠다.

사실 나는 이 결과가 워낙 눈에 분명하게 보이는 것이라, 아마도 옛날옛적부터 잘 알려진 것으로 생각하고 있었는데, 의외로 대부분이 정리 자체도 처음 보았고, 증명 방법도 특이하다고 했다.

아무튼 Arnold의 증명 방법이 꽤 멋있긴 했지만, 세미나에 참석하고 있던 김병* 박사님의 코멘트를 들어보니 더 쉬운 증명도 가능해 보였다.

잘하면 아주 짧은 논문 한 편이 나올지도...라는 희망을 가졌으나, 어제 김병* 박사님이 2002년에 나온 논문을 한 편 보여주었다.
Symmetry and folding of continued fractions - van der Poorten, Alfred J.
여기에 이 결과가 더 자세한 표현으로, 더 간단하게 증명되어 있지 않은가. -_-

저 논문에도 역시 이 결과 자체는 이미 잘 알려져 있던 것이라고 한다.

자, 그나저나 도대체 상대성 이론에나 나오는 de Sitter world가 여기 왜 나오냐고..... -_-;;;

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