1/(1+x^n)의 부정적분을 직접 또는 적당한 점화식으로 표현하는 "과정"을 아는 분은 간단하게라도 좀 써 주세요.

저 함수의 부정적분이 어떻게 생겼는지는 압니다. 필요한 것은 "결과"가 아니라 "과정"입니다.

아니면, 저 함수를 0부터 무한대까지 적분한 값을 residue theorem 안 쓰고 미적분학 수준에서 구하는 방법을 아시면 역시 좀 써 주세요.

남의 집 아들래미가 천재든 아니든 무슨 상관이랴만, 그 아이가 적분 문제를 푸는 장면이 하도 희한해서 얘기를 계속해 본다.

일단 그 아이가 대단히 똑똑한 애인 것만은 틀림없는 사실이다. 10살도 안 된 아이가 급수의 합을 구하고 극한값을 계산할 수 있다면 그게 어떻게 보통 아이겠는가?

그런데 이런 계산을 할 수 있는 아이가 왜 단순한 적분 계산을 굳이 복잡한 무한급수로 바꾸어서 풀었을까? 아무리 생각해도 이해가 안 된다. 몇 가지 가능성을 생각해 보자면, 얘는 무한급수를 구하는 것까지는 잘 이해하고 있는데 적분의 의미는 전혀 모른다. 그래서 자기가 알고 있는 수준으로 문제를 바꾸어서 푼다. 이런 가능성이 있는데, 아무리 그래도 그렇지, 무한급수보다 다항식 적분이 더 어려울까.

그렇다면 또 하나의 가능성은, 이 아이가 다 할 줄 알면서, 일부러 무한급수로 바꾸어 풀었다는 것. 방송 내용만 봐서는 즉석에서 문제를 푸는 것 같았지만, 어쩌면 PD가 더 자세한 설명을 요구했을 수도 있겠다. 아니면, 공식을 이용해서 적분 계산 하는 정도로는 천재 소리를 듣기 힘드니까 좀더 복잡한 방법을 보여서 자기가 천재라는 걸 자랑하고 싶었는지도 모르겠다. 나이를 생각하면 이런 식의 행동도 이해 못할 바는 아니다.

아무튼 결론은.... 천재 맞네. :-)

우여곡절 끝에 야구부에 들어간 우리 주인공.

엄청난 강속구를 자랑하지만, 단조로운 투구 패턴 때문에 정작 타자와의 맞대결은 실패. 무조건 강속구만 던진다고 뛰어난 투수인 것은 아니라며 투구 패턴을 지적하는 감독의 말에 의기소침한다. 우리 주인공은 실제로 야구를 해 본 적이 거의 없어 경기 흐름이니 두뇌 싸움이니 하는 것에는 완전 무지했던 것.

그렇지만 재능이 있다는 말에 기뻐하며 다시 글러브를 끼는 주인공.

자, 이번엔 이걸 수학 천재로 바꾸면?

에휴... 아무래도 내가 큰 사고 쳤지.... -_-


수습불가일 정도로 퍼져 버린, "비탈리의 샤콘을 비발디가 작곡했다"라는 농담보다는 나으려나...

야구 만화 같은 걸 보면, 우리 주인공은 꼭 야구부가 연습 중인 운동장을 지나가고, 꼭 공이 하나 굴러오고, 꼭 "여기 공 좀 던져 주세요"라고 하고, 그러면 주인공은 어마어마한 괴력의 라인 드라이브로 공을 던지고, 감독은 "너 야구해 보지 않을래?"라고 묻고, 주인공은 늘 "시로요~"하고 도망간다.

자, 이걸 수학 천재로 바꾸면?

@ 엄청난 강속구까지는 필요 없고 정확한 송구 정도 수준으로 수정되었습니다.

식당에서 저녁을 먹다가 건너편에 앉아있던 아주머니+할머니의 대화 가운데 천재 소년 송** 얘기가 나왔다.

어쩜 그리 똑똑한 애가 있느냐, 벌써 대학도 가지 않았느냐, 뭐 이런 얘기였는데, 솔직히 난 송**이 왜 천재인지 전혀 이해가 안 된다.

처음에 8살 나이로 미적분을 척척 하는 애가 있다는 얘기를 들었을 때, 미적분이야 일종의 계산 기술이니까, 의미도 모른채 공식만 외워서 하는 정도라면 그 나이라고 못 할 리가 없다고 생각했다. 그런 정도로 천재라고 할 수야 없는 일이지. 주변 사람들이 마구 지식을 주입한 좀 똑똑한 아이 정도랄까.

그러다 나중에 대학에 들어갔다는 소식을 듣고는 얘가 진짜 대단한 천재인 줄 알았다. 대학 교수들이 인정할 정도면 그래도 아주 엉터리는 아닐 테니까. 그런데 TV에서 우연히 이 아이가 수학 문제 푸는 걸 봤더니, 이거 완전 이뭐병 수준 아닌가.

문제가 정확히 기억나지는 않는데, 예를 들어 0부터 1까지 x²을 적분하는 문제였다고 하자. 이 아이는 이 문제를 보더니, 구간 [0,1]을 n등분한 다음, 적분을 무한급수로 바꾸었다. 여기에 제곱수에 대한 합 공식을 적용하여 극한값을 구하였다. 그러니까 적분의 공식을 이용해서

을 구한 게 아니라,

을 구한 것이다.

적분을 무한급수로 고치는 것까지 할 줄 아니 대단하지 않냐고 생각하는 사람이 있을지 모르겠는데, 이건 마치 5x6을 구해보라고 했을 때,

"곱셈은 덧셈의 확장이라고 할 수 있어요. 그러니까 5를 6번 더하면 되는데, 5라는 건 페아노 공리계에서 최초의 자연수 1을 다섯 번 더한 것이니까, 결국 1+1+1+1+1을 6번 더하면 돼요."

라면서 30개의 1을 1+1+...+1로 죽 써놓고 일일이 더해서 30이라고 답하는 것과 다를 게 하나도 없다. 뭔가 어려워 보이는 말을 잔뜩 늘어놨지만 정작 곱셈도 할 줄 모르는 셈이다.

저 애는 적분에 대한 개념이 전혀 없으며, 그저 외워서 아는 계산만 할 줄 아는 것 뿐이다. 무한급수 계산을 할 줄 아는 것 같기는 하지만, 그런 무한급수 계산이 복잡해서 만들어진 게 적분이라는 걸 모른다면 수학 센스가 그야말로 꽝이라고 할 수밖에. 이게 무슨 천재라고?

egloos 시절부터 내 블로그의 제목이 Pomp On Math & Puzzle이긴 하지만 진짜 수학 얘기는 그렇게 많이 쓰지 않은 것 같다. 진짜 수학 블로그라면 Mark Chu-Carroll이 운영하는 Good Math, Bad Math가 유명할 것 같은데, 연휴 전날인 10월 4일에 이 블로그에 놀라운 뉴스가 올라왔다. 바로 100만 달러의 상금이 걸려 있는 Clay Millennium Problem 가운데 하나인 Navier-Stokes equation이 풀린 것 같다는 것.



추석 내내 딸아이랑 놀아주느라 완전 녹초가 돼서 자세한 소식을 알아볼 생각은 전혀 못하고 있었다. 그러다 오늘 연구실 사람들과 얘기하다가 그제서야 이 뉴스가 생각났다. 다들 깜짝 놀란 것은 당연한 일. 자세한 내용은 Good Math, Bad Math의 기사를 보라며 그 블로그를 열었는데, 10월 9일자 최신 기사의 제목이 이렇다. --- Navier Stokes: False Alarm -_-;

내용을 읽어보니 10월 4일 기사에서 문제를 풀었다고 했던 Lehigh 대학의 Penelope Smith 교수가 심각한 오류로 논문을 철회했다고 한다. 그러면 그렇지 싶기도 하지만, 약간 안타깝기도 하다. Smith 교수가 Andrew Wiles처럼 오류를 수정하여 역사적인 난제를 해결할 수 있을까? 그녀가 성공한다면 2000년을 전후한 최근의 십 여년은 수학의 역사에서 정말로 놀라운 시대로 기록될 것 같다.

예전에 재*교육 스**교* 연구소에 병특으로 근무할 때의 일이다. 입사한 지 얼마되지 않은 신참 시절, 다른 부서의 팀장이 갑자기 나를 불렀다. 무슨 일인가 싶어 가보니 웬 서류 봉투를 하나 주면서 검토해 보고 답변을 작성하란다.

춘천에 사는 함**이라는 사람이 재*교육 회장 앞으로 보낸 문건이었는데, 열어보니.... 자신이 임의의 각을 삼등분하는 작도법을 발견하였으니 검토를 부탁한다는 내용이었다. -_-

아마도 대학 수학과에 문의했다가 아무 답변이 없어서 이쪽으로 보낸 것 같다. 애가 재*교육 교재라도 받아보고 있었는지도 모르겠다.

아무튼 읽어보니 언제나 그렇듯 무지하게 복잡하다. 일일이 따라 그려보는 건 시간낭비인 데다 오류를 찾는 것도 쉽지 않은 일. 그래서 하숙집 후배의 컴퓨터를 빌려 Mathematica로 60도의 경우를 그려 보았다. 그랬더니 역시나 소수점 아래 여섯 번째 자리인가에서 cosine 값이 다르게 나왔다.

이 결과를 바탕으로 어떤 점이 문제인지에 대해 친절하고 자상한 설명에 그림까지 일일이 그려서 답변서를 만들었다. 이걸 연구소 이사에게 들고 가서 보고를 했더니, 보내기 전에 먼저 전화를 해 보란다. trisector들의 성향을 잘 아는지라 전화로는 해결이 안 될 텐데 하는 걱정이 들었지만, 이사가 시키는 데야 별 수 있나.

작도법 설명서에 적혀 있던 번호로 전화를 걸어 재*교육 연구소라고 했더니 엄청나게 반가워한다. trisector들에게 으레 하는 대로 각의 삼등분 작도 문제는 이미 불가능하다는 것이 잘 증명되어 있다고 했더니 놀랍게도 이 사람은 "아, 그렇습니까? 몰랐습니다."라고 대답을 한다.

trisector답지 않은 반응이라 생각하면서, 그 사람의 작도법에 따라 60도를 가지고 작도해보니 오차가 생겼다고 말해줬다. 그러면서 답변서를 보내주겠다고 했더니, 웬걸, "아닙니다. 불가능하다는 걸 알았으니 됐습니다."라고 한다.

trisector들을 만나본 사람들은 알겠지만, 이건 진짜 놀라운 반응이다. 보통 trisector들은 고집이 엄청나서 아무리 설명해도 절대 이해하려 들지 않는데, 설명을 들을 필요도 없다니 놀랄 수밖에.

공들여 만든 설명서가 아깝긴 했지만, 이렇게 해서 무사히 일이 끝났다.

그런데..................................................................

며칠 전에 m***** 사이트에 함**이라는 사람이 글을 올렸다. 흔한 이름이 아니니 동명이인은 아닐 텐데, 그 내용인즉,

임의각 삼등분 작도방법을 성공했습니다.
물론 증명도 했구요
편견없이 저의 연구 논문을 검증 해 보고 싶으신 분은 연락 주세요

란다.

내가 "틀렸다"고 한 이후로 7~8년을 더 연구해서 삼등분 작도에 "성공"한 것 같은데, 역시 trisector들에게 "삼등분작도"라는 병은 불치병임에 틀림없다. 그것도 아주 중증의.

지난 화요일, 어쩌다 땜빵(?) 세미나 발표를 하게 되었는데, 제목은 Arithmetics of binary quadratic forms, symmetry of their continued fractions and geometry of their de Sitter world, 저자는 V. Arnold. 유명한 바로 그 Arnold다.

제목의 두 번째 주제인 연분수 전개에 나타나는 대칭성은, n의 제곱근을 연분수로 나타내면 그 표현에 palindrome이 있다는 것이다. palindrome이란 "소주 만 병만 주소"처럼 앞으로 읽으나 뒤로 읽으나 같은 것을 뜻하는데, 예를 들어 , √167 = [12; 1, 11, 1, 24]로 표현되고 여기서 1,11,1이 바로 palindrome이다. 좀더 긴 예를 들면,

√163 = [12; 1, 3, 3, 2, 1, 1, 7, 1, 11, 1, 7, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 24]

이고 1, 3, 3, 2, 1, 1, 7, 1, 11, 1, 7, 1, 1, 2, 3, 3, 1이 palindrome이다.

이 글을 쓰다 Continued Fraction Calculator라는 사이트를 발견했다. 연분수를 계산할 일이 있으면 저 사이트를 이용하면 되겠다.

사실 나는 이 결과가 워낙 눈에 분명하게 보이는 것이라, 아마도 옛날옛적부터 잘 알려진 것으로 생각하고 있었는데, 의외로 대부분이 정리 자체도 처음 보았고, 증명 방법도 특이하다고 했다.

아무튼 Arnold의 증명 방법이 꽤 멋있긴 했지만, 세미나에 참석하고 있던 김병* 박사님의 코멘트를 들어보니 더 쉬운 증명도 가능해 보였다.

잘하면 아주 짧은 논문 한 편이 나올지도...라는 희망을 가졌으나, 어제 김병* 박사님이 2002년에 나온 논문을 한 편 보여주었다.

Symmetry and folding of continued fractions - van der Poorten, Alfred J.

여기에 이 결과가 더 자세한 표현으로, 더 간단하게 증명되어 있지 않은가. -_-

저 논문에도 역시 이 결과 자체는 이미 잘 알려져 있던 것이라고 한다.

자, 그나저나 도대체 상대성 이론에나 나오는 de Sitter world가 여기 왜 나오냐고..... -_-;;;