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'2017/09'에 해당되는 글 2

  1. 2017.09.24 세 명의 Jordan (2)
  2. 2017.09.20 다섯 장의 카드 (8)
2017.09.24 16:32

세 명의 Jordan Math2017.09.24 16:32

고등과학원 동문 워크숍에서 경희대 ㅂㅈㄷ 교수가 고등과학원 시절 농구 동아리를 만들고 동아리 이름을 "조던 앨지브라(Jordan algebra)"라고 지었다는 얘기를 했다. 사실 저 이름은 독일 물리학자 "파스쿠알 요르단"에서 온 거지만, 영어식으로 읽으면 농구 동아리 이름에 어울리기는 한다. ^^ 

수학 분야에 Jordan이라는 이름이 세 명 등장하는데, 첫 번째는 가우스-요르단 소거법(Gauss-Jordan elimination method)에 등장하는 독일 수학자 빌헬름 요르단(Wilhelm Jordan), 두 번째는 군 이론에 크게 공헌한 프랑스 수학자 카미유 조르당(Camille Jordan), 그리고 세 번째가 요르단 대수의 주인공이며 양자역학을 정립하는 데 공헌한 파스쿠알 요르단(Pascual Jordan)이다.

마지막 파스쿠알 요르단의 요르단 대수(Jordan algebra)는 양자역학이나 그와 관련된 내용을 공부하지 않는 이상 별로 들어볼 일이 없지만, 앞의 두 Jordan은 선형대수학 교재에 꼭 나오기 때문에 이공계 학생이라면 한 번쯤은 들어봤을 법한 이름이다.

그런데 두 Jordan의 철자가 같다 보니, 수많은 선형대수학 교재에서 두 사람을 헷갈리게 쓰고 있다. 그래서 많은 교재에서 가우스 소거법을 변형한 가우스-요르단 소거법을 "가우스-조르당 소거법"이라고 잘못 쓴 경우가 많다. 사실 지명도 면에서는 두 번째 Jordan인 카미유 조르당이 수학 분야에서는 압도적으로 유명한 데다, 행렬을 블록으로 대각화한 조르당 표준형(Jordan normal form)을 발견한 사람이 카미유 조르당이다 보니 으레 선형대수학에 나오는 Jordan을 조르당으로 착각하는 게 이해가 되기도 한다.




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Posted by puzzlist
2017.09.20 22:52

다섯 장의 카드 Puzzle2017.09.20 22:52

티비 프로그램 "문제적 남자"에서 재미있는 문제가 방송되었나 보다. 방송을 보지 않아 정확히는 모르겠으나 대충 이런 내용이었다.

카드 한 벌인 52장의 카드를 잘 섞은 다음 다섯 장을 뽑는다. 그 가운데 마술사 A가 한 장을 골라 숨겨 놓고, 나머지 카드를 잘 배열한다. 이제 눈을 가리고 있던 마술사 B가 넉 장의 카드를 보고서 숨겨 놓은 카드가 무엇인지 맞힌다.

이게 어떻게 가능할까 싶은데, 수학을 잘 이용하면 넉 장의 카드를 놓는 순서만으로 나머지 한 장의 카드에 대한 정보를 전달할 수 있어서 아주 흥미로운 문제이다.


"문제적 남자"에서는 다음과 같이 출제되었다고 한다.



마틴 가드너(Martin Gardner)에 따르면, 이 마술은 1950년에 나온 Math Miracles라는 책에 실려 있고 피치 체니(Fitch Cheney)가 개발한 것이라고 한다. 마틴 가드너는 자기 책 "The Unexpected Hanging"에 이와 비슷하지만 더 기묘한 마술을 소개하고 있다. 그의 글에서는 빅터 아이겐(Victor Eigen)이라는 마술사가 이 마술을 보여 주는 것으로 묘사되어 있다. 참고로, Victor Eigen은 선형대수학에서 나오는 Eigenvector를 이용한 말장난.


"내가 뭘 하려는지 미리 설명해 줄게요."라며 아이겐이 말했다. "아무나 자기 카드 한 벌을 섞은 다음 다섯 장을 뽑습니다. 그리고 거기서 다시 한 장을 뽑아야 하죠. 그러면 남은 넉 장의 카드를 내가 원하는 대로 배열할 거예요. 이 카드 넉 장을 모두 엎어서 주머니에 넣은 다음, 카드를 고른 사람이 들고 내 호텔 방으로 가져 갑니다. 제 아내가 방에서 트릭을 도와주려고 기다리고 있거든요. 이제 주머니 가져간 사람이 문을 세 번 두드린 다음, 문 밑으로 카드를 밀어 넣으면 됩니다. 서로 아무 말도 안 합니다. 그러면 제 아내가 넉 장의 카드를 확인하고서 뽑았던 카드가 무엇인지 맞히는 겁니다."


나는 내가 카드를 뽑아도 되겠냐고 물었고, 이후 절차는 아이겐이 지시하는 대로 진행되었다. 나는 내 카드 한 벌에서 다섯 장의 카드를 고르고, 거기서 스페이드 6을 뽑았다. 아이겐은 카드는 건드리지 않았다. 그는 카드에 표시를 해서 다른 정보를 전할 가능성을 배제하고 싶어했다. 게다가, 카드는 아래위를 뒤집으면 뒷면 무늬가 미묘하게 달라지기도 한다. 이런 한 방향 무늬를 이용하면 어떤 카드는 바로, 어떤 카드는 반대로 놓아서 정보를 전달할 수 있다. 카드를 담는 도구를 이용하여 정보를 전달할 수도 있다. 예를 들어, 봉투에 카드 앞면이 보이게 넣는지, 뒷면이 보이게 넣는지, 또 봉투를 봉하는지, 열린 채로 보내는지 등이 가능하다. 심지어 봉투를 이용하느냐 하지 않느냐도 정보가 될 수 있다. 아이겐이 부인에게 보낼 사람을 고를 수 있다면, 이 선택도 정보가 될 수 있다. 머리색이 짙은지 옅은지, 기혼인지 미혼인지, 성의 머릿글자가 A부터 M까지인지, M부터 Z까지인지 등등. 물론 그의 부인이 카드를 가져온 사람을 어떤 방법으로든지 보아야 하지만. 그러나 아이겐이 이 모든 절차를 미리 이야기했고, 카드를 건드리지 않으려고 조심했으니 이 모든 가능성은 배제된다.


아이겐이 말한 순서에 따라 나는 카드 넉 장을 배열했고, 그에게 방 번호를 묻고 막 출발하려고 할 때 멜 스토버가 말했다. "잠깐만 기다리게. 자네에게 방 번호를 주는 시간으로 정보를 전달할지도 모르잖아? 시간이 어떤 구간에 이를 때까지 대화하면서 늦추는 것도 정보가 될 수 있지. " 아이겐은 머리를 흔들며, "시간 구간 같은 건 상관 없어요. 그래도 원한다면 언제든지 원할 때 출발하시죠."


우리는 시카고의 카드 전문가인 에드 말로가 카드 섞기를 오차 없이 여덟 번 반복하면 원래 배열로 돌아온다는 시범을 보며 15분을 기다렸다. 말로의 시범이 끝난 후 나는 카드 넉 장을 들고 아이겐의 방으로 찾아갔다. 노크 세 번. 그리고 카드를 뒤집은 채 문 밑으로 밀어 넣었다. 발걸음 소리가 들렸다. 카드 더미가 시야에서 사라졌다. 잠시 후, 아이겐 부인의 목소리가 들렸다. "당신의 카드는 스페이드 6이로군요." 도대체 아이겐은 이 정보를 아내에게 어떻게 전한 걸까?


카드 52장 모두에 순서를 매겼다고 생각하면, 넉 장의 카드를 배열하여 전할 수 있는 정보는 4!=24이다. 맞혀야 할 카드는 52-4=48이니 카드 넉 장을 배열하여 전할 수 있는 정보는 정확히 48의 절반에 대한 것이다. 그러니 아이겐은 전달되는 정보가 어느 절반에 대한 것인지를 추가로 보내야 한다. 도대체 어떻게 한 것일까? 정답은 각자 생각해 보시라.




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