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2016. 10. 3. 09:02

한 면 안정 다면체와 거북이 Math2016. 10. 3. 09:02

지난 9월 30일은 수학자 리처드 가이(Richard Guy)의 100번째 생일이었다.


수학도들에게는 아마 그의 책 Unsolved Problems in Number TheoryUnsolved Problems in Geometry로 익숙한 이름일 것 같다.


100년의 인생 동안 Guy는 수많은 수학적 업적을 이루었는데,  특히 유희수학(recreational mathematics) 분야에서 많은 공헌을 하여, 그 가운데 일반인이 이해하기 쉬운 재미있는 것들도 아주 많다. 예를 들어, 콘웨이(J. H. Conway)의 유명한 생명 게임(Game of Life)에서 무한히 반복되면서 이동하는 패턴인 글라이더(glider)를 처음 발견한 것도 Guy였다.



그가 발견한 것 가운데 unistable polyhedron(=monostable polyhedron)도 비교적 이해하기 쉽다. "한 면 안정 다면체" 정도로 번역할 수 있는 unistable polyhedron은 Conway와 Guy가 출제한 문제[각주:1]에서 비롯되었다. 이 문제는 다음 두 가지를 물었다.

  1. 임의의 균질한 사면체는 적어도 두 면 가운데 한 면을 바닥으로 하여 놓으면 안정됨을 보이시오.
  2. 바닥에 놓았을 때 안정되는 면이 꼭 하나인 균질 볼록 다면체의 예를 드시오.

여기서 다면체가 안정되게 놓인다는 것은 다면체를 놓아두면 어느 쪽으로도 기울지 않고 그대로 있다는 뜻이다. 다시 말해, 다면체의 무게중심이 바닥면을 벗어나지 않는다는 뜻이다. 1969년에 같은 저널에 실린 풀이[각주:2]에서 Guy는 19개의 면으로 이루어진 다면체를 제시하였다. 단면이 17각형인 각기둥 모양의 양쪽을 비스듬히 잘라낸 모양이었다. 이 19면체를 바닥에 어떻게 놓아도 가장 긴 면이 아래로 가게 구른 다음 안정된다. (관련 동영상 참고)


한 면 안정 19면체


이 다면체를 앞, 옆, 위에서 본 그림은 다음과 같다. 여력이 되는 사람은 3D 프린터로 하나쯤 만들어 봐도 재미있을 것 같다.


앞, 옆, 위에서 본 한 면 안정 19면체



Guy는 다음과 같은 방법으로 일반적인 unistable polyhedron을 구성하였다.

  1. 한 내각이 \(180/m\)인 닮은 직각삼각형을 그림과 같이 반복하여 붙여서 \((2m-1)\)각형을 만든다.
  2. 이 다각형을 단면으로 하는 각기둥을 만든 다음 양쪽을 비스듬히 잘라낸다.

Richard Guy의 unistable polyhedron 도면


Guy의 구성 방법으로는 \(m \ge 8\)인 경우, 즉 단면이 17각형 이상인 경우에 가장 긴 면을 바닥으로 하여 놓으면 다면체의 무게중심이 바닥면을 벗어나지 않는다. 구성 방법을 조금 바꾸면 면의 개수를 더 줄일 수 있을 것 같은데, 의외로 전혀 진전이 없다가, 2012년에 Andras Bezdek이 18면 다면체를 구성하였고, 2014년에 Alex Reshetov가 구성한 14면 다면체[각주:3]가 현재 최고 기록이다.


흥미롭게도 자연에서 unistable polyhedron과 비슷한 모양을 발견할 수 있다. 아래 사진의 거북은 인도 별 거북(Indian star tortoise)으로, 이 거북은 등딱지가 unistable polyhedron과 비슷하게 생겨서, 뒤집어지더라도 쉽게 자세를 바로잡을 수 있다고 한다. 이쯤 되면 조물주는 분명히 수학자라는 생각이 든다.



인도 별 거북 (출처: fr.wikipedia.org, Colin M.L. Burnett 제공)



  1. Conway, Guy, Problem 66-12, Stability of Polyhedra, SIAM Review, Vol. 8, No. 3, July, 1966, 381. [본문으로]
  2. Conway, Guy, Problem 66-12, SIAM Review Vol. 11 (1969), 78-82. [본문으로]
  3. A. Reshetov, A unistable polyhedron with 14 faces. Int. J. Comput. Geom. Appl. 24 (2014), 39-60. [본문으로]

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2016. 9. 9. 22:14

레카만 수열의 기묘한 성질 Math2016. 9. 9. 22:14

수학의 세계에는 별별 희한한 수열들이 많다. 피보나치 수열이나 메르센 수처럼 이름 붙은 유명한 수열도 있지만, 해괴한 규칙에 따라 만들어지는 수열도 있고, 뭔가 다른 계산을 하다가 나왔는데 아직 그 정체가 밝혀지지 않은 수열도 있다. 이런 수열들 가운데 비교적 수학적 의미가 있다고 인정되는 것들을 모아놓은 웹사이트가 있다. 수학자 슬론(Neil James Alexander Sloane)이 만든 On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, 줄여서 OEIS가 그것으로, 처음에는 슬론이 종이에 적어 가며 수집한 목록 정도였지만, 지금은 독립된 도메인으로, 내용도 체계적으로 정리되어 있으며, 항목 수만 25만 개가 넘는다. 현재는 OEIS Foundation에서 관리하고 있다.


슬론은 OEIS에 있는 수열 가운데 가장 좋아하는 것으로 레카만 수열(Recamán sequence)을 들고 있다. OEIS 분류 번호 A005132인 이 수열은 콜롬비아의 수학자 베르나르도 레카만 산토스(Bernardo Recamán Santos)가 제안한 것으로, 규칙이 좀 희한하다. 먼저 \(a_0=0\)으로 둔다. 그 다음부터는 \(a_n = a_{n-1}-n\)으로 계산하되, 만약 이 값이 양수가 아니거나, 양수이더라도 이전 항에 이미 나온 수라면 \(a_n = a_{n-1}+n\)으로 바꾸어 계산한다.


몇 개 항을 계산해 보면, \(n=1\)일 때, \(a_0-1 = -1\)은 양수가 아니므로, \(a_1 = a_0+1 = 1\)이 된다. 이어서, \(n=2\)일 때, \(a_1-2=-1\)이므로 \(a_2 = a_1+2=3\)이 된다. 같은 식으로, \(a_3 = a_2+3=6\)이다. \(n=4\)일 때, \(a_3-4=2\)인데, 이전 단계에서 \(2\)가 나타나지 않았으므로, \(a_4 = 2\)가 된다. 그 다음 항은 \(n\)을 더하여 \(a_5=a_4+5=7\), \(a_6=a_5+6=13\), \(a_7=a_6+7=20\)이고, 여덟 번째 항은 \(n=8\)을 빼서 \(a_8=a_7-8=12\)가 된다. 이런 식으로 70항까지 계산한 결과는 다음과 같다.


0,1,3,6,2,7,13,20,12,21,
11,22,10,23,9,24,8,25,43,62,
42,63,41,18,42,17,43,16,44,15,
45,14,46,79,113,78,114,77,39,78,
38,79,37,80,36,81,35,82,34,83,
33,84,32,85,31,86,30,87,29,88,
28,89,27,90,26,91,157,224,156,225,
155

Recamán 수열500항까지 구한 Recamán 수열



우선 생각해 볼 수 있는 질문이라면, 이 수열의 항이 모두 다를지 그렇지 않으면 같은 값이 나올 수 있을지일 것 같다. \(a_{n-1}-n\)이 이전 항에 나타나면 \(a_{n-1}+n\)을 계산하지만, \(a_{n-1}+n\)이 이전 항에 나타나는 경우에 대해서는 제한하지 않았기 때문이다. 이 질문은 간단히 답할 수 있다. 위에서 구한 항을 보면, \(a_{20}=a_{24}=42\)이므로 Recamán 수열에는 같은 값이 나올 수 있다. \(a_{18}=a_{26}=43\)도 위 표에서 찾을 수 있다.


이 수열에 중복되는 값이 나올 수는 있는 것은 쉽게 알 수 있겠는데, 이 수열이 모든 자연수를 만들어 낼 수는 있을까? 이 수열의 \(n\)번째 항은 앞 항과 \(n\) 차이가 나니까 그럴 것 같아 보이지는 않는다. 하지만 한편으로는 수열이 커졌다가 작아졌다가를 반복하는 형태여서 모든 자연수를 만들어 낼 수도 있을 것처럼 보인다. 어느 쪽이 참일까?


2001년에 AT&T의 앨런 윌크스(Allan Wilks)는 \(10^{15}\)번째 항까지 계산한 결과에 나타나지 않은 가장 작은 자연수가 \(852655 = 5 \times 31 \times 5501\)임을 발표하였다. 2010년에는 인텔의 컴퓨터 공학자인 벤자민 채핀(Benjamin Chaffin)이 \(10^{230}\)번째 항까지 계산해서, 여전히 \(852655\)가 나타나지 않음을 확인하였다. 과연 이 수는 Recamán 수열에 절대 나타나지 않는 수일까?

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  1. 조충지 2016.10.18 09:24  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    헌데 10^230항 까지 계산해서도852655가 유일하게 나오지 않는 수 였는지요?

2016. 8. 24. 01:43

대학수학 맛보기 - 미분형식 Math2016. 8. 24. 01:43

PDF 파일로 보고 싶은 분은 이걸로. DifferentialForm.pdf



지난 번 “대학수학 맛보기”에서 적분 이야기를 했으니, 다음은 미분 이야기를 하면 적당할 것 같다. 뭔가 순서가 바뀐 것 같은 느낌이 든다면, 기분 탓이다. 고등학교에서 미분을 처음 배울 때, 함수 \(y=f(x)\)의 미분을 다음과 같이 정의한다.
\[\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]

그러고 \(dy/dx\)를 “미분계수(differential coefficient)”라고 부른다. 생각해 보면 참으로 기묘하고 마술 같은 식이다. 이름부터 이상하다. 저 값이 어딜 봐서 “계수”라는 말인가? 또, 순진하게(?) 생각하면 \(dx=\lim_{\Delta x \to 0}\Delta x\)처럼 보이는데, 그러면 분모가 \(0\)이 되어 버린다. 그러니까, \(dx\)는 \(\Delta x\)에 해당하는 값이면서 \(0\)은 아니어야 하는 이상한 일이 벌어진다. 아니, 애초에 \(dx\)니 \(dy\)니 하는 게 무엇인지부터 분명하지 않다. 수를 나타낸다고 하면 분모와 분자가 모두 \(0\)인 분수가 되어 말이 안 되고, 수가 아니라고 하면 \(dy\)를 \(dx\)로 나눈다는 게 말이 안 된다.

실제로 뉴턴과 라이프니츠가 미적분학을 개발했을 때 직면한 문제점이 바로 이것이었다. \(dx\)와 \(dy\)는 수도 아니고, 수가 아닌 것도 아닌 정체불명의 그 무엇이었다.

라이프니츠는 \(dx\)와 \(dy\)를 “미분(differential)”이라 부르고 무한소(infinitesimal)로 생각하였다. \(dy\)를 \(dx\)로 나누는 대신
\[dy=(?)dx\]
꼴로 생각하고 물음표에 해당하는 값을 “미분에 붙어있는 수”라는 뜻에서 “미분계수”라고 불렀다. 미분계수가 미분계수로 불리는 이유이다.

아마도 무한소를 생각하는 과정에서 라이프니츠 철학의 핵심 개념인 모나드(monad)를 착안하지 않았을까 싶은데, 무한소를 이용한 설명은 그럴 듯하기는 하지만, 무한소라는 개념 자체가 모호하여 논리적으로는 한계가 있었다. 라이프니츠는 “연산 규칙을 분명하게 정해 놓고 이 규칙들을 적절히 적용하기만 한다면, 그 개념이 다소 모호하다고 해도 합리적이고 올바른 결과를 얻게 된다.”라고 하였다. 어찌 보면 철학자답지 않은 발언 같기도 한데, 어쨌든 그의 통찰력만은 대단했다.

미분 개념의 모호함 때문에, 현행 고등학교 교육과정에서는 미분계수 \(dy/dx\)를 분수처럼 생각하지 않고, \(d/dx\)를 하나의 기호로 다루도록 하고 있다. 이런 이유로, 분수가 아니라는 뜻에서, \(dy/dx\)를 “디 와이 디 엑스”로 읽어야만 한다고 가르치는 경우도 있는데, 그건 좀 심한 것 같다. 어찌 됐든 저 모양은 분수꼴이므로 “디 엑스 분의 디 와이”라고 읽어서 안 될 이유는 없다. 무엇보다도 라이프니츠가 애초에 분수 모양을 의도하고 만든 기호이므로, 분수처럼 생긴 것을 분수처럼 부르지 못하면 억울하지 않은가. 홍길동도 아닌데.

라이프니츠의 착상(의 위력)을 가장 잘 보여주는 것은 아마도 다음 등식
\[\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\times\frac{dy}{dx}\]
일 것 같다. 바로 연쇄 법칙(chain rule)이다. 모양만 놓고 보면 \(dy\)를 약분하면 등식이 성립한다. 실제로 이 증명도 \(dy\)를 약분하는 것과 별로 다르지 않다. 다만 \(dy\)가 \(0\)이 되는 경우, 즉 함수 \(y(x)\)의 증가량이 \(0\)인 경우를 따로 다루는 것이 조금 다를 뿐이다.


고등학교에서 \(dx\)와 \(dy\)를 분리해서 생각하지 않도록 한다지만, 사실 적분만 봐도 이런 원칙은 바로 이상해진다. 적분

\[\int f(x)\,dx\]

는 \(dx\)를 분리해서 표기하고 있으며, \(x=g(t)\)로 치환적분할 때

\[\int f(x)\,dx = \int f(g(t)) \frac{dx}{dt}\,dt\]

는 분모의 \(dt\)와 마지막 \(dt\)가 약분되는 형태를 드러내는 식이고, 무엇보다 저런 치환적분을 할 때 \(x=g(t)\)의 양변을 \(t\)로 미분한다면서

\[dx = g'(t)\,dt\]

라는 계산을 겁도 없이(?) 마구 한다는 점에서 \(dx\)니 \(dy\)니 하는 것을 분리해서 생각하고 있다. 정확히 말하면, 분리해서 생각해도 문제가 잘 풀리도록 기호가 설계되어 있다.


이런 엉성한(?) 개념으로 뉴턴, 라이프니츠는 물론, 오일러, 가우스, 코시 등등 수많은 천재 수학자들이 어마어마한 업적을 쌓아올렸다. 그러다 이 개념을 더 정교하게 다듬고 확장하는 과정에서 해석학이라는 분야로 크게 발전하였다. 어떤 면에서는, 미적분학은 좋은 함수가 가지고 있는 좋은 성질을 공부하는 과목이고, 해석학은 나쁜 함수가 가지고 있는 나쁜 성질을 공부하는 과목이라 할 수 있을지도.


고등학교에서 배우는 17세기 수학과는 달리 현대 수학에서는 벡터 개념을 이용하여 \(dx\)와 \(dy\)를 수학적으로 엄밀하게 잘 다룰 수 있다.


함수 \(y=f(x)\)의 그래프를 그렸다고 생각하자. 지금은 좋은 함수의 좋은 성질을 설명하는 것이므로, 이 함수는 미분 가능한 함수로 생각한다. 미분을 한다는 것은 함수에 대한 선형 근사를 찾는 것이라 할 수 있고, 함수의 그래프를 생각하면 각 점에서 접선을 구하는 것이라 할 수 있다. 접점은 주어져 있으므로, 접선의 기울기만 알면 접선을 그릴 수 있다.


이제 접점 \(\mathrm{P}\)를 시점으로 하고 접선의 한 점을 종점으로 하는 벡터를 그리면, 접벡터들의 집합 \(T_{\mathrm{P}}\)는 1차원 벡터 공간이 된다. 이 벡터 공간에서 벡터를 하나 골라 \(\mathbf{v}\)라 하자. 이때 \(dx\)와 \(dy\)는 \(\mathbf{v}\)에 실수를 대응시키는 함수로 생각한다. \(dx(\mathbf{v})\)는 \(x\)축 방향 변화량, \(dy(\mathbf{v})\)는 \(y\)축 방향 변화량을 뜻한다. 아래 그림에서 \(a=dx(\mathbf{v})\)이고 \(b=dy(\mathbf{v})\)이다.




벡터 \(\mathbf{v}\)가 접선에 놓여 있으므로, 두 실수 \(dx(\mathbf{v})\)와 \(dy(\mathbf{v})\)는 일정한 비를 이룬다. 즉,

\[dy(\mathbf{v}) = k \, dx(\mathbf{v})\]

가 되고, 접선의 기울기인 비례상수 \(k\)는 \(\mathbf{v}\)의 크기가 아무리 작아도 일정하다. 이 부분이 바로 무한소를 벡터 개념으로 대체한 것이다. 임의의 \(\mathbf{v}\)에 대하여 위의 등식이 성립하므로, 간단히

\[dy = k\,dx\]

라 둘 수 있다. 그러니까 위 등식은 두 함수 \(dx:T_{\mathrm{P}} \to \mathbb{R}\)와 \(dy:T_{\mathrm{P}} \to \mathbb{R}\)가 비례 관계임을 뜻한다. \(k\)의 값은 접점 \(\mathrm{P}\)의 좌표(의 \(x\)-성분)에 따라 결정되므로, \(x\)에 대한 함수로 생각할 수 있다. 원래 함수 \(y=f(x)\)로부터 유되어 나오는 이 새로운 함수를 함수(導函數, derivative)라 하고 \(f'(x)\)로 나타내면,

\[dy=f'(x)\,dx\]

라는 익숙한 등식이 된다. \(dx\)와 \(dy\)가 무엇인지, 분리해서 써도 되는지 고민할 필요가 없다!


함수 \(dx\)처럼 벡터에 실수를 대응시키는 함수를 특별히 미분형식(differential form)이라 부른다. 이제 같은 방식으로 생각하면, 적분이란 미분형식에 작용하는 연산자로 생각할 수 있다. 그러니까, 이런 관점에서는, 적분 \(\int_a^b f(x)\,dx\)에서 기호 \(\int_a^b\)가 적용되는 대상은 함수 \(f(x)\)가 아니라 미분형식 \(f(x)\,dx\)이고, 적분은 [벡터에 실수를 대응시키는 미분형식]에 [실수]를 대응시키는 특별한 연산자가 된다.


사실 이런 개념 없이도 미분계수를 정의하고, 주어진 함수를 미분하고 적분하는 것은 얼마든지 할 수 있다. 실제로 고등학교 수학 교과서에서 그렇게 하고 있으니까. 그럼에도 이런 복잡해 보이는 고생을 사서 하는 이유는, 이와 같이 한 개념을 엄밀하게 정의하면 그 개념을 확장하는 것이 매우 논리적이고 자연스러워지기 때문이다.


예를 들어, 2변수 함수 \(z=f(x,y)\)에서 “미분”을 어떻게 정의할 수 있을까? 이 경우는 변수가 두 개이므로, \(dz/dx\)나 \(dz/dy\) 하나만으로는 함수를 묘사하기가 어렵다. 이제 앞서 보았던 미분형식을 생각하면, 우리가 해야할 일은 \(dz(\mathbf{v})\)를 \(dx(\mathbf{v})\)와 \(dy(\mathbf{v})\)에 대한 식으로 나타내는 것임을 알 수 있다. 여기서 벡터 \(\mathbf{v}\)는 당연히 \(z=f(x,y)\)로 주어지는 곡면의 접평면에 속하는 벡터가 된다. 1변수 함수에서 접선에 속하는 접벡터를 생각했던 것처럼, 2변수 함수에서는 접평면에 속하는 접벡터를 생각하는 것이다.


벡터 \(\mathbf{v}\)가 점 \(\mathrm{P}\)에서 접하는 평면 위에 놓여 있다고 하면, 세 축 방향의 증가량들 사이의 관계식은

\[dz(\mathbf{v}) = (♠︎)\,dx(\mathbf{v}) + (♡)\,dy(\mathbf{v})\]

라는 일차식 형태로 표현되고, \(dy(\mathbf{v})=0\)인 벡터 \(\mathbf{v}\)에 대하여 생각하면 첫 번째 계수 (♠︎)는 \(y\)를 상수로 생각한 상태에서 \(f(x,y)\)를 \(x\)로 미분한 것과 같다. 이 미분계수를 \(\left.\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right|_{\mathrm{P}}\)로 나타낸다. 같은 식으로, \(dx(\mathbf{v})=0\)인 경우를 생각하면 두 번째 계수 (♡)는 \(x\)를 상수로 생각한 상태에서 \(f(x,y)\)를 \(y\)로 미분한 것과 같고, 이 미분계수는 \(\left.\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right|_{\mathrm{P}}\)로 나타낸다. 이제 전체 결과를 정리하면

\[dz = \left.\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right|_{\mathrm{P}}\,dx + \left.\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right|_{\mathrm{P}}\,dy\]

가 된다.


이로써 우리는 변수가 몇 개이든 함수가 하나 주어지면 그 미분을 같은 방식으로 정의할 수 있다. 이런 게 바로 일반화의 위력이고 수학의 위력이라 하겠다.


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  1. qfes 2016.08.24 09:52  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    고등학교 교과과정에서 마음에 안드는것중 하나가 미분계수라는 용어... 학생들 중 대부분이 왜 계수인지도 모르고 differential을 differentiation의 형용사 형태로 생각하고 있으니. '순간변화율'정도만 해도 충분하다고 생각하는데 말이에요.
    대학 미적분학 교재 번역에서도 differential을 그냥 '미분'이라고 번역하고서 아무런 언급이 없더군요. 처음 선형근사파트를 보았을때 '도함수 구하기differentiate'정도로 알고 있던 미분이란 용어가 대체 어떻게 쓰이고 있는건지 아리송 했던 기억이 나네요.

  2. 2018.11.06 10:33  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

  3. Adol 2018.11.15 20:39  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    와 글이 정말 잘 읽히고 도움이 되네요 감사합니다.

  4. qwer 2019.04.01 22:07  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    글 너무 잘 봤습니다.
    그래서 결론은 dx든 dy든 미분형식이라고 부르는 함수이기 때문에
    곱하고 더하고 등등이 가능한, dy/dx는 단순한 라이프니츠 기호가 아니라 그대로의 분수로 봐도
    된다는 뜻이지요?
    그리고
    그 접선의 v벡터에서 종점을 시점과 같게 잡을 경우 어떻게 받아들여야 하지요?
    크기가 0인 벡터도 비례상수가 f'(X)라고 생각할 수 있나요?>

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2019.04.10 21:16 신고  댓글주소  수정/삭제

      당연히 "그대로 분수"는 아닙니다. "주의해서 사용하면 분수처럼 다룰 수 있다." 정도로 생각하면 되겠습니다.

      접선벡터가 영벡터인지 아닌지는 아무 상관 없습니다. 정비례 관계인 y=ax에서 x=0인 상황이라고 해서 a가 비례상수가 아닌 것은 아니지 않습니까.

  5. ㅇㅇ 2019.04.18 22:55  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    감사합니다. 머리에 쏙쏙 너무나 잘 들어옵니다.

  6. 캔디 2019.05.01 04:29  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    미분의 본질에 대해 알고싶었던 공대생입니다. 한번도 댓글을 달아본적 없는 저에게, 처음으로 댓글을 달게 한 글이였습니다. 정말 훌륭하고 머릿속에 쏙쏙들어오는 글이였습니다.

  7. ㅇㅇ 2019.05.31 13:45  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    와.... 대박

  8. good 2019.10.09 22:23  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    학습에 참고하겠습니다. 감사합니다.

  9. 지나가다 2019.12.17 13:13  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    지나가다 보았습니다. 정말 명쾌하신 설명이십니다. 평생 잊지 않겠습니다 감사합니다

  10. 지나가다2 2019.12.29 12:36  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    감사합니다. 이 글을 보고 암이 나았습니다.

  11. S 2020.02.06 00:28  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    고등학교 때 "dy/dx는 일종의 기호 입니다. ∫ㅁdx 도 일종의 기호입니다. ㅁ안에 는 함수를 쓰고 dx는 변수가 x라는 의미로 적어놓은 것 입니다" 이렇게 배웠었습니다.

    그런데 대학교 들어가니까 수학기호 덩어리를 쪼개서 이항을 하질 않나... 뜬금없이 수식 안에서 ∫ 이 자연발생하질 않나... 왜 그런지 정말 궁굼했었는데.. 오늘 해결하고 갑니다. 정말 감사합니다.

  12. ㅈㄴㄱㄷ 2020.02.19 19:38  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    여태 미분을 배운이후로 이해가 잘안갔었는데 학교 졸업하고서야 명쾌하게 이해가 가네요.
    감사합니다!

  13. ㅇㅇ 2020.04.20 22:27  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이게 진짜 미분의 의미였군요. 정말 아름답습니다.

  14. 좋은 글 잘 읽었습니다. 2020.06.11 11:09  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    좋은 글 잘 읽었습니다. 다만, 2변수 함수의 미분 정의에서 이해가 되지 않는 부분이 있는데요,
    dz(v)=(♠︎)dx(v)+(♡)dy(v) 에서 (♠︎)와 (♡)미분을 정의할 특정 점 P에서 '상수'라는 보장이 있어야 dy(v)=0일 때 (♠︎)를 구하고, 또 dx(v)=0일 때의 (♡)를 구한 결과를 합하여 dz(v)를 정의할 수 있는 것 아닌가요? 다시 말하자면, dy(v)=0일 때와 그렇지 않을 때의 (♠︎)값이 ∂f/∂x로 같을 것이라는 보장을 어떻게 할 수 있나요?

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2020.06.18 00:43 신고  댓글주소  수정/삭제

      dz, dx, dy는 접평면 위에서 변화량을 재는 것이므로, 평면의 방정식이 z=ax+by인 것과 마찬가지로 dz=(♠︎)dx+(♡)dy에서 계수에 해당하는 (♠︎)와 (♡)는 상수입니다.

  15. BlogIcon t 2020.08.03 21:23  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    미분이 이해가 잘 안갔는데 감사합니다
    실례가 안된다면 질문이 하나 있는데
    dy(v) = 0인 벡터 v에 대하여 생각하면 첫 번째 계수 (♠)는 y를 상수로 생각한 상태에서 f(x, y)를 x로 미분한 것과 같다.
    이 부분이 무슨 뜻인가요? 수알못이라 ㅜㅜ

    글 잘 읽었습니다

  16. 수학도를 꿈꾸며 2020.10.12 13:00  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이 글을 처음 읽은게 작년이었던 것 같은데 읽으면 읽을수록, 관련 자료를 인터넷으로나마 찾아볼수록 선생님의 글이 얼마나 심오한 수학을 담고 있는지 놀라게 됩니다. 이 글 하나 덕분에 저는 미분다양체론과 텐서대수를 시도하고자 마음먹었고 몇 달 전부터(선형대수부터 차근차근) 전진해오고 있습니다. 결론은, 제게 동기부여를 해주셔서 감사하고 좋은 글 잘 읽고 간다는 인사 드립니다^^

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2020.10.18 16:50 신고  댓글주소  수정/삭제

      제 글이 도움이 되었다니 기쁘고 감동스럽습니다. 수학이라는 학문이 너무나 깊고 넓어서 공부하기가 쉽지 않습니다만, 차근차근 꾸준히 공부하셔서 원하는 꿈 모두 이루시기 바라겠습니다.

  17. BlogIcon ㅇㅇ 2020.11.13 06:02  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    교수님 제가 고등학교때부터 대학 신입생때도 아주 괴로워하던 고민이 정확히 들어있었어서 너무 놀랐어요. 저는 고등학교때 치환적분을 할때도 "(dy/dx)는 분수가 아니다!" 라는 생각에 집착해서 절대 f'(x)dx=dt 이런 형태의 식을 안썼거든요.. 그렇게 생각하던 인간이 대학와서 바로 dy dx를 따로따로 다루는 전자기학이나 상미분방정식을 공부하니까 처음에 참 괴롭고 혼란스러웠습니다. 스튜어트 교과서에도 선형근사 개념을 이용해서 dx와 dy를 따로따로 다룰 수 있게 훈련해주는 챕터가 있어 큰 도움을 받았는데, 교수님 글을 읽어보니 더 깊은 수학도 공부해보고 싶은 마음이 생깁니다. 좋은 글 정말 감사합니다.

  18. ㅇㅇ 2020.12.30 21:46  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    정말이지 좋은 글이였습니다! 고등학생때부터 대학 3학년이 되도록 항상 고민하던것이였는데 그게 그냥 pdf로 5장 분량으로 너무 쉽게 해결되어버렸네요.. 좋은 글 써주셔서 정말 감사합니다!

  19. umumm 2021.01.31 01:25  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    좋은 글 정말 감사합니다.
    제가 정말 궁금한게, dy와 dx에 대해 명확한 해설 없이 체인 룰을 공부하면 항상
    "dy나 dx는 수가 아닌 단순한 기호이므로 약분이 불가능하지만 편의상 그렇게 생각할 수 있다"는 식으로
    뭔가 찜찜한 설명만 들었는데요, 본문에 따르면 dy와 dx의 진짜 정체는 벡터에 실수를 대응시키는
    미분형식이라는 연산자이므로, 체인 룰 형태에서 수는 아니지만 단순 기호가 아닌 연산자이므로
    약분이 가능하다고 이해해도 괜찮을까요?
    만약 그렇다면 같은 이유로 연산자이기 때문에 라이프니츠가(물론 라이프니츠는 연산자가 아닌 무한소라고 생각했지만) 이를 dy/dx처럼 분수꼴로 표현한게 맞을까요?
    그동안 d/dx가 단순한 기호이고 dx로 나눠지는게 아니라고만 배워서, 이 글을 봤음에도 실제로 나눠지는 게 가능한건지 아니면 실제로 나누는 것은 아니지만 비슷하게 생각할 수 있는건지 명확하게 정리가 안 되고 혼동이 와서 질문 드립니다...

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2021.02.05 10:21 신고  댓글주소  수정/삭제

      "나눗셈"이라는 연산은 수와 수 사이에 정의되는 것이므로, dy/dx 자체를 dy를 dx로 나눈 것이라고 할 수는 없습니다.
      두 함수 f와 g에 대하여, 두 함수를 곱한 함수를 fg로 나타낸다면, 이때 두 함수를 곱한다는 게 무슨 뜻일까요? 여러가지 의미를 부여할 수 있겠으나, x에 f(x)g(x)를 대응시키는 함수를 fg로 나타내겠다고 하면 자연스러운 곱으로 생각할 수 있습니다. dy/dx도 마찬가지입니다. 함수를 함수로 나누는 것에, 수를 수로 나누는 나눗셈을 무작정 적용할 수는 없습니다. dy/dx는 진짜로 함수를 함수로 나누는 것은 아니지만, 두 함수를 곱한 fg처럼 두 함수를 나눈 새로운 함수를 나타내는 것으로 생각하면 됩니다.

    • BlogIcon umumm 2021.02.06 13:56  댓글주소  수정/삭제

      나눗셈이라는 연산은 수와 수 사이에서만 정의되는 연산이라 연산자(함수)만 놓고서 나눗셈을 하는 것은 의미가 없는 말이군요! 다만 본문에 있듯이 dx, dy라는 연산자에서 접선(벡터공간) 위에 있는 임의의 벡터 v에 대해 dy와 dx 사이 관계식이 성립하기 때문에 체인 룰 등에서는 모양새가 (임의의 벡터 v가 생략되어) 마치 수를 나누듯이 표현되는 거군요! 감사합니다

  20. hehe 2021.03.10 21:16  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    물리를 공부하는데 답지에서 분모에 있던 미분소를 반대변으로 옮겨 적분을 하더라구요 ㅜㅜ
    띠요옹해서 검색했는데 운좋게 이런 명쾌한 답을 찾았습니다. 감사합니다.

2016. 7. 9. 07:34

정다면체와 한 점 Math2016. 7. 9. 07:34

마틴 가드너(Martin Gardner)의 책 Mathematical Circus에 정삼각형이 대한 흥미로운 등식이 실려 있다. 한 변의 길이가 \(d\)인 정삼각형 ABC가 있고 한 점 P가 주어질 때, 점 P와 세 점 A, B, C 사이의 거리 \(a=\overline{\rm PA}, b=\overline{\rm PB}, c=\overline{\rm PC}\)에 대하여 다음과 같은 등식이 성립한다.

\[3(a^4+b^4+c^4+d^4) = (a^2+b^2+c^2+d^2)^2\]



네 문자에 대해 대칭을 이루고 있어서 무척 아름답게 느껴지는 등식이다. 이 결과를 다른 도형으로 일반화할 수 없을까?


1995년에 수학자 John Bentin은 정삼각형을 일반화하여 정사면체, 그리고 이를 \(n\)-차원에서 일반화한 \(n\)-정단체(regular simplex)에 대한 등식을 얻었다. \(n\)개의 꼭짓점을 갖는 \((n-1)\)-정단체의 한 모서리의 길이가 \(d_0\)이고, 한 점 P에서 각 꼭짓점에 이르는 거리가 \(d_1, d_2, \dots, d_n\)일 때,

\[n(d_0^4+d_1^4+\dots+d_n^4) = (d_0^2+d_1^2+\dots+d_n^2)^2\]

이 성립한다. \(n=3\)인 경우, 앞서 보았던 정삼각형에 대한 등식이 된다.

 

1997년에 Bentin은 이 결과를 정다각형으로도 일반화하였다. 반지름 \(r\)인 원에 내접하는 정\(n\)각형의 각 꼭짓점에서 한 점 P에 이르는 거리를 \(d_1, d_2, \dots, d_n\)이라 할 때, \(d_i^2\)들의 평균을 \(s^2\), \(d_i^4\)들의 평균을 \(q^4\)이라 하면

\[q^4 + 3r^4 = (s^2 + r^2)^2\]

이 성립한다.

정삼각형의 경우, 한 변의 길이가 \(d\)인 정삼각형의 외접원의 반지름이 \(d/\sqrt{3}\)이니까, 이 값을 위 등식의 \(r\)에 대입하면 처음 언급하였던 등식이 된다.


이제 당연한 질문은 이 결과를 다른 정다면체로 확장할 수 있느냐이다. 여기에 대한 연구는 거의 되어 있지 않았는데, 최근에 정육면체와 이를 고차원으로 일반화한 초입방체(hypercube), 그리고 정팔면체와 이를 고차원으로 일반화한 정축체(orthoplex)에 대해서도 비슷한 등식이 성립함이 밝혀졌다.


\(n\)-차원 초입방체는 \(2^n\)개의 꼭짓점을 가지고 있다. 각 꼭짓점에서 한 점 P에 이르는 거리들을 \(d_1, d_2, \dots, d_{2^n}\)이라 하고, \(d_i^2\)들의 평균을 \(s^2\), \(d_i^4\)들의 평균을 \(q^4\)이라 하면,

\[q^4 + \frac{4(n+1)}{n^2}r^4 = \left( s^2 + \frac{2}{n}r^2 \right)^2\]

이 성립한다.


\(2n\)개의 꼭짓점을 가지는 \(n\)-차원 정축체(orthoplex)에서도 마찬가지로, 각 꼭짓점에서 한 점 P에 이르는 거리들을 \(d_1, d_2, \dots, d_{2n}\)이라 하고, \(d_i^2\)들의 평균을 \(s^2\), \(d_i^4\)들의 평균을 \(q^4\)이라 하면,

\[q^4 + \frac{4(n+1)}{n^2}r^4 = \left( s^2 + \frac{2}{n}r^2 \right)^2\]

이 성립한다.


신기하게도(?) 전혀 다른 두 정다면체에 대한 등식이 똑같이 생겼다. 뿐만 아니라, \(n\)-정단체(regular simplex)에 대한 등식도 \(s^2\)과 \(q^4\)을 이용하여 다시 쓰면 또다시 똑같은 등식 

\[q^4 + \frac{4(n+1)}{n^2}r^4 = \left( s^2 + \frac{2}{n}r^2 \right)^2\]

이 된다. 이것은 우연의 일치일까? 세 종류의 정다면체에 대한 증명은 완전히 별개이지만, 등식 자체가 똑같이 생겼다는 점에서 무언가 통일성 있는 설명이 가능하지 않을까? 어쩌면 정단체는 자기 자신과, 초입방체와 정축체(orthoplex)는 서로 쌍대(dual)라는 사실로 무언가를 설명할 수 있을지도 모르겠다.


다른 정다면체에 대해서는 어떨까? 정십이면체와 정이십면체에 대해 비슷한 결과를 얻을 수 있을까? 그리고 4차원에서는 정단체(4-regular simplex), 초입방체(4-hypercube), 정축체(4-orthoplex) 외에 세 개의 4차원 정다면체가 더 존재한다. 이 도형들에 대해서도 비슷한 결과를 얻을 수 있을까?


요약:

1. 정\(n\)각형에 대해 \[q^4 + 3r^4 = (s^2 + r^2)^2\]이라는 등식이 성립한다.

2. \(n\)차원 정단체(regular simplex), 초입방체(hypercube), 정축체(orthoplex)에 대하여 \[q^4 + \frac{4(n+1)}{n^2}r^4 = \left( s^2 + \frac{2}{n}r^2 \right)^2\]이라는 등식이 성립한다.

3. 위 등식에 대한 통일성 있는 설명을 할 수 있을까?

4. 다른 정다면체에 대해서도 비슷한 등식이 성립할까?

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  1. 2016.07.09 20:55  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

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  2. 2016.07.09 23:25  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

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  3. 2016.07.09 23:27  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

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  4. 2016.07.09 23:35  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

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  5. 2016.07.09 23:52  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

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  6. d 2017.07.17 23:50  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    다면체에 접하는 구의 반지름은 어떻게 구할까요?

2016. 3. 13. 23:15

알파고 vs 이세돌 Math2016. 3. 13. 23:15

알파고 로고



(이 글은 알파고의 기본적인 원리를 일부 설명하고 있으나, 알파고의 정확한 작동 원리를 다루는 글은 아닙니다.)


구글(Google)의 자회사인 딥마인드(DeepMind)에서 개발한 바둑 프로그램인 알파고(AlphaGo)와 이세돌 9단의 5번기가 진행 중이다. 지금까지 컴퓨터 바둑의 수준이 최정상급 프로 기사에게는 한참 모자랐기에 이번 대결은 당연히 이세돌 9단이 손쉽게 승리할 것이라는 예상이 많았다. 날로 먹는 우승 상금 11억원! 심지어 5:0으로 완승할 것이라는 예상도 많았고, 알파고가 어느 정도까지 그럴 듯하게 바둑을 둘 수 있는지 정도가 관심사였다.


5개월 전에 알파고가 유럽 챔피언이었던 판후이(Fan Hui, 樊麾) 2단을 5:0으로 이기기는 했지만, 그 실력은 아마 정상급 정도여서 그 동안 실력이 늘어봐야 이세돌 9단에게는 정선(덤 없이 흑으로 두는 것)도 힘들 것이라는 평가가 대부분이었다. 그런데! 뚜껑을 열어 보니 예상과 전혀 다른 결과가 나왔다. 3월 9일의 제1국, 3월 10일의 제2국을 알파고가 이기더니, 하루 쉬고 진행된 3월 12일의 제3국마저 이겨서 5번기의 승부가 이미 결정되어 버렸다. 날로 먹는 우승 상금이 날아갔다.


꽤나 충격적인 결과여서, 이러다 이세돌 9단이 5:0으로 이기기는커녕 0:5로 지는 게 아닌가 싶었으나, 3월 13일 원기옥을 모아 제4국을 처절하게 두어서 승리를 거두었다. 처음에는 인공지능 따위가 인간을 이길 수 없다고 자신만만해 하던 사람들이, 알파고가 예상 밖으로 막강한 실력을 갖추고 있음이 알려지자 이번에는 이번 대결이 불공정하다느니 구글이 부정하다느니 하는 온갖 헛소리를 쏟아내기도 하였다. 사실 알파고의 원리, 대회의 취지 등을 생각하면 말도 안 되는 멍청하기 짝이 없는 소리들인데도 이런 헛소리가 떠도는 걸 보면 한심할 지경이다.


대국장에 입장하는 이세돌 9단


백만년전쯤에 나온 컴퓨터 바둑은 그 수준이 정말 한심해서, 18급도 조금만 연습하면 만방으로 이길 수 있는 수준이었다. 그럴 수밖에 없는 것이, 바둑은 각 단계에 둘 수 있는 경우의 수가 너무 많아서 곧이곧대로 프로그래밍하는 방식으로는 절대 해결할 수 없어서 컴퓨터 바둑의 수읽기 능력이 매우 제한적이었기 때문이다. 예를 들어, 첫 수를 인간이 우상귀 화점에 두었다면, 컴퓨터가 다음에 둘 자리는 360(=19x19-1) 군데가 된다. 그런데 이 가운데 어느 자리에 두는 것이 적당할지를 알아내려면, 다음에 사람이 둘 자리를 예측해서 우열을 평가해야 한다. 이렇게 되면 360x359 가지 경우에 대해 판단해야 한다. 꼴랑 두 수만 가지고 국면을 평가한다는 것은 말이 안 되니 세 수 정도 둬 본다고 생각하면 360x359x358=46267920이 된다. 그러니까 두 번째 수를 두는 것만으로도 4600만 가지 경우를 다루어야 한다는 것이다. 그것도 고작 세 수(컴퓨터-사람-컴퓨터) 생각해 보는 수준이면서.


컴퓨터에 대해 잘 모르는 사람 가운데는 바둑의 각 단계를 모두 따져 보고 다음 수를 결정하는 줄로 아는 사람도 있던데, 이런 건 당연히 불가능하다. 순진하게 생각해도 이러려면 361!=361x360x...x3x2x1 가지 경우가 필요하고, 이 값이 1 뒤에 0이 768개 붙는 수보다 크니까, 전세계 모든 컴퓨터를 다 긁어 모은다고 해도 이런 일은 불가능하다. 이런 방식을, 마구잡이로 밀어붙인다는 뜻에서 브루트 포스(brute force) 방식이라고 한다. 그러니까 컴퓨터 바둑 프로그램에 대해 이야기하면서 브루트 포스 방식으로 진행된다고 말하는 사람은 그냥 무식한 걸로 생각하면 된다. 게다가 용감하기까지...


이런 식이다 보니, 선사시대의 컴퓨터 바둑은, 주변이 부분적으로 이런 모양이면 다음 수를 이렇게 둔다는 식으로 규칙을 정해 두고 진행하는 것이 기본 원리였다. 당연히 수읽기가 매우 제한적이고, 무엇보다 그 규칙에 따라 진행된 결과가 유리한지 불리한지 판단하기가 매우 어려웠다. 그래서 예전 컴퓨터 바둑은 포석과 정석은 그럴 듯한데, 중반전쯤 되면 온갖 떡수를 늘어놓다가 자멸하는 것이 보통이었다. 정석에 없는 수를 두면 처음부터 헤매기 일쑤였고, 매번 망하면서도 똑같은 수로 응수하는 바보였다.


초창기 컴퓨터 바둑 프로그램 가운데 하나인 네메시스


컴퓨터가 인간 최고수를 꺾었던 체스와 달리 바둑에서는 컴퓨터가 10급 수준에 도달하는 것도 쉽지 않은 일이었다. 이런 상황은 몬테카를로 트리 탐색(Monte Carlo Tree Search, MCTS)이라는 기법이 등장하면서 완전히 바뀌었다. 몬테카를로 트리 탐색은 다음과 같이 진행된다. 편의상 컴퓨터가 흑, 사람이 백이라 하자. 컴퓨터가 둘 차례가 되면 컴퓨터는 현재 상황의 바둑판 아무 곳에나 흑을 둔다. 그리고 이어서 아무 곳에나 백을 둔다. 이 과정을 컴퓨터 혼자서 반복해서 최종 단계에 이르러 집을 세어 승패를 판단한다.


예를 들어, 흑 A라는 수를 둔 상태에서 수만 판 무작위로 진행했더니 승률이 70%쯤 되고, 흑 B라는 수를 둔 상태에서 수만 판 무작위로 진행했더니 승률이 40%쯤 되었다면 컴퓨터는 A에 흑을 두는 것으로 결정한다. 아무렇게나 두어서 승패를 판단하는 게 무슨 의미가 있을까 싶은데, 이런 과정을 수백, 수천, 수만 번 반복하면 얘기가 조금 달라진다. 진행할 수 있는 모든 수를 브루트 포스로 다 조사하는 것은 절대로 불가능하지만, 무작위로 수만 번, 수백만 번 진행하여 승패를 조사하면 통계적으로 모든 경우의 승패 비율과 비슷해지는 것이다. 이와 같이 무작위로 진행된 많은 양의 데이터로 전체의 양상을 추정하는 방식을 몬테카를로 기법(Monte Carlo method)이라 한다. 몬테카를로는 모나코의 도박장 이름으로, 이 기법이 확률에 기반하고 있어서 이런 이름이 붙여졌다.


MCTS가 등장하면서 컴퓨터 바둑은 실력이 엄청나게 늘었다. 겨우 몇 수, 그것도 부분적으로 유불리를 평가하던 단계에서, 통계적인 근사이기는 하지만 승리할 확률을 높이는 수를 두는 것만으로도 이전 시대와는 비교할 수 없이 실력이 늘었다. 예컨대 MCTS를 이용하는 Zen, Crazy Stone, 돌바람 같은 프로그램은 아마추어 상급 수준에 가까우니, 컴퓨터가 10급 수준에 도달하는 데도 몇 십년은 걸릴 것이라고 생각했던 데 비하면 어마어마한 발전이었다.


몇년 전에 컴퓨터가 프로 기사를 상대로 접바둑(흑돌 몇 개를 미리 두고 진행하는 핸디캡 게임)을 이겼다는 소식이 화제가 되었는데, 이 프로그램들이 MCTS를 이용한 것들이었다. 당연한 일이지만 MCTS는 무작위로 진행하는 게임의 양이 많을수록 더 정밀해지므로, 이런 이벤트에서는 PC용 상용 프로그램과는 달리 CPU를 훨씬 많이 장착한 컴퓨터에서 전용 프로그램으로 진행된다. 그러나 MCTS도 만능은 아니다. 무엇보다 정밀한 결과를 얻으려면 데이터가 많아야 하는데, 무한정 시간을 들일 수는 없기 때문이다. 효율적인 진행을 위해서는 불필요한 단계를 걸러내야 하는데 이 부분이 컴퓨터 바둑의 실력을 늘이는 핵심적인 부분이었다. 그러니까, 우하귀에서 수읽기를 시작한다면, 다음 단계에서 좌상귀 1의1 자리 같은 곳을 배제하기만 해도 효율이 올라가는 것이다.


컴퓨터 바둑 프로그램 Zen과 대국 중인 다케미야 9단


프로 기사들에게 물어보면, MCTS를 기반으로 하는 기존 프로그램은 일곱 점까지도 접어줄 수 있다고 한다. 컴퓨터가 미리 일곱 점을 두고 시작하여도 프로가 잘 지지 않는다는 뜻이다. 아마추어로서 제법 잘 둬도 프로에게는 넘사벽이다. 특히 MCTS의 특성상 완전히 엉뚱해 보이는 수를 두는 경우가 꽤 있어서, 이런 허점을 파고 들면 컴퓨터의 대마 몰살하기 같은 황당한 일도 가능하다고 한다. 수읽기 자체는 MCTS로 흉내낼 수 있지만, 제한된 시간 안에 바둑판 전체를 대상으로 하여 MCTS를 진행하는 것은 한계가 분명하였다. 인간은 현재 상황과 무관한 곳을 직관적으로 무시하고 수읽기를 진행할 수 있지만, 컴퓨터는 이런 직관을 갖고 있지 않다는 것이 문제였다. 현재 상황에서 "둘 만한 곳"을 추려내는 것은 MCTS와는 다른 새로운 기법이 필요하였다. 딥마인드의 알파고가 획기적인 발전을 이룬 부분이 바로 여기였다.


알파고가 "둘 만한 후보지"를 찾는 방식은 사람과 비슷하다. 사람은 경험을 통해, 대략 이런 배치면 이런 정도에 두는 것이 좋다는 것을 학습한다. 가능한 모든 배치를 저장해 둔다는 것은 불가능하므로, 후보지를 고르는 데는 비슷한 상황을 분류할 수 있는 획기적인 알고리듬이 필수적이다. 이것을 일일이 데이터베이스화하는 것은 너무나 어려운 일인데, 딥마인드에서는 최근 각광을 받고 있는 딥러닝(Deep Learning)을 이용하여 해결하였다.


아마도 이 내용은 생물학의 최근 성과와 비교하면 이해하기 쉬울 것 같다. 2014년 생물학에서 획기적인 일이 있었다. 예쁜꼬마선충(Caenorhabditis elegans)의 움직임을 흉내낸 로봇을 만들었는데, 그 움직임을 일일이 프로그램으로 작성한 것이 아니라, 예쁜꼬마선충의 뉴런 상태를 구현하고 연결된 뉴런이 작동하는 방식만 지정하는 식으로 만들어진 것이었다. 그러니까 A 뉴런에 입력이 들어오면, 여기에 연결된 B 뉴런에 신호를 전달하고, 다시 여기에 연결된 C 뉴런에 신호를 전달하고, ... 이런 식으로 연결 상태(connectome)를 구현한 것만으로 로봇이 예쁜꼬마선충처럼 움직이는 것이다. ☞ 네이버 블로그: 인간이 만든 인공생명체


이런 장면을 보면 "과연 생명이란 무엇인가?"라는 의문이 든다. 동물의 행동이 뉴런의 연결 상태만으로 구현된다는 것은, 인간의 사고 또한 단순히 뉴런의 연결 상태로 구현할 수 있을 것이라는 추측을 가능하게 한다. 물론 겨우 302개의 뉴런으로 구성된 예쁜꼬마선충의 움직임과 100억개가 넘는 뉴런으로 구성된 인간의 뇌를 비교하기는 어렵겠지만.


딥마인드에서는 바둑에서 착수 후보지를 고르기 위하여 뉴런의 연결 상태를 구현하는 것과 비슷한 방법을 사용하였다. 바둑판의 현재 상황을 입력하면 착수 후보지를 출력하는 기계를 뉴런의 연결 상태로 구현한 셈이라고 할 수 있다. 물론 100억개의 요소로 이런 연결 상태를 구현하는 것은 불가능하므로, 적당한 개수의 변수에 적당한 입출력량을 정하여야 한다. 처음에는 이러한 신경망의 기본적인 연결 상태를 구현하기 위하여 좋은 데이터를 입력하여야 한다. 이를 위해 인터넷 바둑에서 고수들의 기보 16만개를 입력하여 "이런 국면에서는 이런 수"가 나오도록 알파고에게 "공부"를 시킨다.


이 과정을 오해하여, 알파고는 기보 수만 개를 소장하고 있다가 상대가 두는 수를 그 기보에서 찾아보고 다음 수를 둔다고 생각하는 사람도 있는데, 당연히 말도 안되는 소리이다. 기보는 알파고가 바둑에 대해 알도록 처음에 가르칠 때만 쓰이는 셈이다. 애초에 기보를 검색해서 대응수를 찾는다는 것도 말이 안 된다. 경우의 수를 생각하면 현재 상황과 같은 기보가 존재할 가능성이 거의 0이니까. 또, 이세돌 9단과 대국한 결과를 입력해서 성능이 업그레이드 될 테니 반칙이라고 주장하는 사람도 있던데, 고수들의 기보는 신경망을 처음 구축할 때 쓰이는 것이지 데이터베이스를 만들어 놓고 훔쳐 보려고 쓰는 게 아니다. 어차피 16만개의 기보에 한 두 개 더 보탠다고 신경망 구성이 획기적으로 변하는 것도 아니고.


처음에 알파고가 신경망을 구축하는 것은 바둑의 기본기를 가르치는 것과 비슷하다. 인간은 기본기를 배운 다음 수많은 실전 대국을 통하여 기력을 향상시키는데, 알파고도 마찬가지로 대국을 통해 실력을 키운다. 다만, 그 대국이 자기 자신과 두는 것이고, 먹지도 않고 쉬지도 않고 매일매일 수십 판씩 바둑을 둔다는 점이 다르다. 학습한 기본기를 바탕으로, MCTS를 적용할 범위를 축소하여 효율적인 수읽기를 하면 점점 더 좋은 대국이 가능하므로 시간이 지날수록 실력이 점점 더 늘게 된다.


알파고가 자기 차례에 착수를 결정하는 방법을 정리하면 이렇다.


1. 먼저 현재 국면에서 둘 만한 자리를 몇 군데 고른다.

2. 각 수에 대해 MCTS로 수읽기를 진행하여 이길 확률이 높은 수를 고른다.

3. MCTS를 진행할 때 바둑판 전체에서 무작위로 고르는 대신 "현재 국면에서 둘 만한 자리"를 골라 탐색 범위를 줄인다.


이로부터 컴퓨터 바둑의 기본 원리는 MCTS이지만, MCTS의 효율을 높이는 데는 "현재 국면에서 둘 만한 자리"를 고르는 방법이 결정적인 역할을 함을 알 수 있다. Zen이나 Crazy Stone과 바둑을 둬 보면, 가끔 바둑판 중앙 가까이에 모호한 수를 두는 경우가 있어서 사람이 두는 바둑과는 전혀 다른 위화감을 주는데, 알파고는 상대적으로 그런 일이 덜해서 사람과 두는 느낌을 준다. 이 또한 신경망으로 MCTS의 탐색 범위를 사람이 둘 만한 범위로 축소하기 때문에 가능한 일이다.


MCTS의 한계를 뛰어넘었다는 점에서 알파고는 인공지능 분야에서 대단한 성취라 할 수 있다. 그러나 MCTS가 확률에 기반한 수읽기이며 신경망으로 걸러내는 수가 얼마나 효율적일지는 파악하기가 쉽지 않다는 문제가 있다. 하나의 함수로 이루어져서 입력에 대해 명확하게 출력이 하나로 정해진다면 원리를 파악하기 쉽겠지만, 여러 변수들이 복합적으로 작용하는 신경망은 입출력 원리를 파악하기가 쉽지 않기 때문이다.


비유하자면, 계산기와 인간의 두뇌가 덧셈을 하는 방식을 비교해 볼 수 있겠다. 우리는 계산기의 작동 원리를 알기에 계산기는 덧셈을 잘 한다는 것을 확신한다. 그러나 인간의 두뇌가 어떻게 작동하는지는 아직 잘 모르기 때문에, 덧셈을 막 배운 아이가 덧셈을 잘 하는지는 문제를 여러 개 풀려서 확인하는 수밖에 없다. 그러니 알파고의 성능을 파악하기 위해서는 알파고에 버금가는 상대와 실제로 대국을 해 보는 것이 최선이다. 그 상대가 판후이 2단이었고 그 다음이 이세돌 9단이었던 것이다. 구글의 딥마인드로서야 100억원이 아깝지 않은 일이었다. 게다가 덤으로 홍보 효과까지.


인터넷에는 구글이 이세돌 9단에게 이기려고 부정한 짓이라도 한 줄로 아는 사람들이 있었지만, 당연히 말도 안 되는 헛소리이다. 애초에 알파고가 얼마나 잘 작동하는지 알아보려는 것이므로 최고 사양에 최고의 기술로 성능을 극대화하는 것이 당연하다. 이상한 주장을 하는 사람들은 이세돌 9단이 저사양으로 돌아가는 알파고를 상대로 이기기를 바라기라도 하는 걸까. 최고의 성능으로 작동하는 알파고를 상대로 승리를 거두는 쪽이 훨씬 더 자랑스러운 일일 텐데. 구글이 환호한 것은 이세돌 9단을 이겨서 상금을 안 줘도 되니까가 아니라 자신들이 만든 프로그램이 이세돌 9단에게 승리를 거둘 정도로 잘 작동한다는 사실을 확인했기 때문이다.


딥마인드 CEO인 데미스 허사비스의 트윗


알파고에 대한 정보가 부족하다고 부당하다고 주장하는 사람도 있었지만, 이것도 말이 안 된다. 알파고에 대한 정보라면 당연히 기보를 뜻하는데, 기보란 상대가 있어야 하며 알파고의 실력을 제대로 알 수 있는 기보는 알파고를 능가할 수 있는 상대와 맞붙어 봐야 나오는 것이다. 그러니 딥마인드에서 이세돌 9단에게 도전을 한 것이 바로 알파고에 대한 정보를 알아내기 위한 것이다.


알파고의 바둑을 보면서, 알파고가 매번 일정한 수를 두는 줄로 아는 사람도 있었다. 컴퓨터라는 물건이 정해진 입력에 대해 정해진 출력을 내놓는 정확한 기계여서 이런 인식이 많은 것 같은데, 알파고가 수읽기를 하는 방식은 브루트 포스로 모든 경우를 다 따져 보고 그 가운데 가장 좋은 수를 두는 것이 아니라, MCTS로 찾은 확률적인 결과물이다. 따라서 같은 응수에 대해서 판마다 승리 확률이 다르게 나올 수도 있다. 승리 확률이 비슷하면서 높은 수가 여러 개라면 그 가운데 하나를 무작위로 고를 수도 있다. 그러니 같은 수에 대해서 다르게 응수하는 일이 충분히 가능하다. 그런 뜻에서 알파고가 두는 수는 "정수"라기보다는 "정수에 가까울 확률이 큰 수"라 할 수 있다.


알파고의 바둑, 특히 제4국을 보면 후반부에 알파고의 떡수가 난무하는 것을 볼 수 있다. 이것은 MCTS를 이용한 기존 바둑 프로그램에서도 볼 수 있는 현상인데, 컴퓨터가 지고 있다고 판단하면 이상한 수를 두기 시작한다. 아마도 이것은 MCTS의 근본적인 문제점 같다. 이기기 어려운 상황이 되면 사람은 응수하기 까다로운 수를 두어 속칭 "흔들기"를 시도하는 것이 보통인데, 컴퓨터에게는 "응수하기에 더 까다로운 수"라는 개념이 없어서 이런 일이 생긴다. 바둑 프로그램은 어느 경우에도 상대가 최선의 응수를 할 것이라는 가정 아래 작동하기 때문이다. 그러다 보니 안 받으면 가장 이득이 큰 수를 두는 경향이 있고, 이런 수들이 대부분 응수가 눈에 뻔히 보이는 수여서 떡수 소리를 듣게 된다. 마치 천재 기사가 하수에게 "이 수는 이렇게 응수할 것 같아서 안 뒀습니다."라고 하는 느낌이랄까. 그 응수가 대단한 묘수인데도.


컴퓨터 바둑 프로그램이 발전하면서 MCTS의 한계를 극복하기 위한 다양한 노력이 진행되고 있었기에 조만간 상당한 수준에 이른, 사람처럼 두는 프로그램이 개발되리라 생각했다. 그러나 이처럼 빨리 최정상 프로급에 도달한 프로그램이 개발되리라고는 전혀 생각하지 못하였다.


알파고는 어디까지 발전할 수 있을까? 프로도 생각 못한 새로운 수를 제시하여 프로들에게 연구거리를 제공할 수도 있겠다. 응수하기 까다로운 정도를 평가하는 기능을 추가한다면 알파고가 더 인간에 가까운 느낌을 줄 것 같다. 알파고와 다른 스타일의 프로그램을 개발하는 것도 재미있을 것 같다. 지금처럼 MCTS를 이용하여 이길 확률이 높은 수를 고르는 방식으로 진행하면, 확실한 승리를 위해 대마 안 잡고 살려주던 전성기 이창호 9단 바둑과 비슷해질 수밖에 없다. 이길 확률이 조금 떨어지더라도 집 차이를 크게 하는 수를 선호하도록 신경망을 구현하고 공부시킨 프로그램이라면 아마도 엄청나게 전투 지향적인 컴퓨터 바둑이 되지 않을까? 이름은 준키고(JoonkiGo)


그러나 무엇보다도 알파고에서 구현된 기술을 다른 분야에 적용한다면 정말 무궁무진한 가능성이 펼쳐질 것 같다. 딥마인드에서 언급하였던 의료 분야도 그 한 예이다. 정말로 그런 시대가 온다면 인류 역사상 상상력이, 아마도 상상력만이 가장 중요한 시대가 될 것 같다.



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  1. 斯文亂賊 2016.08.09 18:51  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    제4국 알파고의 "떡수"가 연달아 나올 때 이런 해설도 있더군요:"알파고가 머리에 꽃을 꽃기 시작했습니다"^^ 지평선 효과(horizon effect) 아니냐는 견해도 있는 것 같던데 어찌 보시는지요? ^^

  2. 수학 2016.09.30 16:50  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이 대국 결과는 제 예상이랑 완전히 빗나갔네요. 이세돌이 55:45로 우세 할거라 생각했고, 어느쪽이 이기든 완승(5:0) 할줄 알았는데 다 틀렸네요..

2015. 12. 8. 20:34

대학수학 맛보기 - 부정적분 Math2015. 12. 8. 20:34

PDF 파일로 보고 싶은 분은 이걸로. IndefiniteIntegral.pdf


모처에 "대학수학 맛보기"라는 제목으로 실었던 글.


꼬꼬마 시절, 미분과 적분은 마술과 같은 환상적인 세계였다. 특히, 주어진 함수의 부정적분을 온갖 예술적인 기교로 구하는 것은 정말로 매혹적이었다. 아름다운 미술 작품을 감상하는 것이나 다를 바 없었다. 치환적분, 부분적분, 부분분수 등등 적분 기교 하나하나가 다 멋있었고, 이런 기교들로 만들어낸 결과는 아름다운 조각품이었다.


적당한 함수를 하나 만들고, 요리조리 궁리하여 그 부정적분을 구해내는 것은 흥미로운 놀이였다. 그러나 아무리 노력해도 부정적분을 구하지 못해 애태운 함수들이 있었다. 대표적인 예가 \(y=e^{-x^2}\)과 같은 함수. 정규분포의 확률밀도 함수를 구성하는 이 함수는 무슨 짓을 해도 부정적분을 구하기가 어려웠다. 연속함수이니 부정적분이 존재하는 것이야 당연하지만, 도무지 그 모양을 알 수가 없었다. 요즘 같으면 인터넷으로 뒤져 보면 1초만에 알 수 있겠지만, 저 시대에는 인터넷도 없었고, 수학 관련 책도 많지 않았다.


부정적분을 구하기 어려웠던 또 하나의 함수는 \(y=x^x\)이었다. 이 함수는 도함수를 구할 때 로그 미분을 이용해서 흥미로웠는데, 이런 기교도 부정적분을 구하는 데는 아무 도움이 안 되었다. 사실 \(e^{-x^2}\)의 부정적분이 하나의 식으로 표현되기 어려울 것이라는 점은 충분히 짐작할 수 있었다. 이런 게 가능했다면, 정규분포표 같은 걸 만들 필요가 없었을 테니. 정규분포를 이용하여 확률을 계산한 결과를 표로 만들었고, 그 표에 적분 기호 없이 부정적분이 적혀 있지 않다는 것은 부정적분이 간단히 표현될 리가 없다는 뜻이었다. 나중에 알고 보니 1835년에 리우빌(J. Liouville)이 이 사실을 증명하였다. 그렇다면 \(x^x\)은?


짧은 지식으로는 도저히 \(\int x^x dx\)를 구할 수 없었다. 아마 수학과를 가야 이런 부정적분을 구할 수 있겠거니 생각하였다. 반은 맞고 반은 틀렸다. 이런 부정적분에 대해 이해하려면 수학을 전공해야 했다는 점에서 반이 맞았지만, 이런 부정적분을 다항식, 분수식, 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 역삼각함수 등등을 조합하여 나타내는 것이 불가능하다는 점에서는 반이 틀린 셈이었다.

논의를 간단히 하기 위해 모든 함수는 복소수에서 정의되는 복소함수로 생각하자. 이렇게 하면

\[\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}, \qquad \sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\] 이 되어, 삼각함수와 역삼각함수를 지수함수와 로그함수를 이용하여 나타낼 수 있으므로 편리하다. 이제 지수함수와 로그함수에 사칙계산과 거듭제곱근을 적용하여 표현되는 함수를 “초등함수”라 부르자. 그러면 문제는 \(e^{-x^2}\)이나 \(x^x\)의 부정적분을 초등함수로 나타낼 수 있느냐 없느냐가 된다.

아무리 복잡한 초등함수라도 미분하는 것은 어렵지 않다. 함수들의 집합 \(S\)에 속하는 원소 \(f(x)\)가 \(S\)의 원소들을 더하고 빼고 곱하고 나누어서 표현된다면 그 도함수 \(f'(x)\)도 \(S\)의 원소들을 더하고 빼고 곱하고 나누어서 표현된다. 예를 들어, 유리식 전체의 집합을 생각하면, 이 집합은 사칙계산에 대해 닫혀 있고, 각 원소의 도함수들도 원소로 가지고 있다. 사칙계산에 대해 닫혀 있는 집합을 체(field)라 부른다. 유리식 전체의 집합은 미분에 대해 닫혀 있는 체라 할 수 있다. 이것을 일반화하여 “미분체(differential field)”를 다음과 같이 정의하자.


정의. (미분체) 체 \(F\)가 단항연산 \(':F \to F, (a+b)' = a'+b', (ab)' = a'b + ab'\)을 가지고 있을 때, 체 \(F\)를 미분체(differential field)라 부른다.


물론 단항연산 \('\)은 우리가 잘 아는 미분을 뜻하지만, 극한을 이용하여 구체적으로 미분을 정의하는 대신 미분이 가지는 성질인 선형성(linearity)과 라이프니츠 규칙(Leibniz' rule)만을 가정하면 미분체들의 대수적 구조를 파악하기에 편리하다.


미분체의 예로는 유리식의 집합 \(\mathbb{C}(x)\)를 들 수 있다. 유리식은 사칙계산에 대해 닫혀 있고, 유리식을 미분한 결과 역시 유리식이기 때문이다. 유리식의 집합만이 미분체인 것은 아니다. 무리함수 \(y=\sqrt{x}\)는 유리식이 아니므로, 유리식과 \(y=\sqrt{x}\)에 사칙계산을 적용하여 만들 수 있는 모든 함수들의 집합은 유리식의 집합보다 더 큰 미분체가 된다. 여기서, 유리식의 집합에 문자 \(t\)를 추가하여 보통의 문자처럼 다루되, \(t^2\)이 나타나면 \(x\)로 바꾼다고 규칙을 정하면 \(y=\sqrt{x}\)를 직접 다루지 않고 대수적인 표현으로 미분체를 확대할 수 있다. 이것은 마치 실수를 복소수로 확장할 때, \(i\)를 문자처럼 다루되 \(i^2\)이 나타나면 \(-1\)로 바꾼다는 것과 비슷하다.


유리식에 \(y=\sqrt{x}\)과 같은 무리함수를 추가하여 확대된 미분체는 대수적 확대체(algebraic extension field)로 불린다. 추가되는 요소가 다항방정식의 해에 해당하기 때문이다. 대수적 확대체를 이런 식으로 확대한 확대체 또한 대수적 확대체이다.


유리식이나 무리함수로 표현되지 않는 초등함수로 \(y=\ln x\)를 생각할 수 있다. 이런 함수를 추가하여 미분체 \(F\)를 확대하려면, \(F\)에 문자 \(t\)를 추가하고, 적당한 \(s \in F\)에 대해 \(t' = \frac{s'}{s}\)이 성립한다고 생각하면 된다. 이렇게 확대한 체를 로그 확대체(logarithmic extension field)라 부른다. 또, 지수함수 \(y=e^x\)를 추가하여 미분체를 확대하려면, 적당한 \(s \in F\)에 대해 \(t' = ts\)가 되는 \(t\)를 추가하였다고 생각하면 된다. 이렇게 확대한 체는 지수함수 확대체(exponential extension field)라 부른다.


이런 식으로 확대체를 구성한다고 생각하면, 함수 \(f(x)\)의 부정적분을 초등함수로 나타낸다는 것은, 복소수체 \(\mathbb{C}\)에서 출발하여 유리식체를 만들고, 적당한 로그함수와 지수함수를 추가하여 확대체를 만드는 과정을 \(f(x)\)가 원소로 나타낼 때까지 반복하는 것이라 할 수 있다.


어떤 대상이 가지는 성질을 규명하기 위하여 그 대상을 원소로 가지는 확대체를 구성하는 착상은 갈루아(Évariste Galois)가 다항방정식의 근을 대수적으로 구할 수 있는지 판정하기 위해 사용한 것이 시초였다. 함수의 부정적분이 초등함수로 표현되는지 판정하기 위해 확대체를 구성하는 착상은 갈루아 이론을 미분방정식에 적용한 것이라 할 수 있다. 이런 분야를 미분 갈루아 이론(differential Galois theory)이라 부른다. 아래 그림에서 왼쪽은 \(x^{16}=1\)의 해를 찾는 과정에 해당하고, 오른쪽은 \(y=e^{\sqrt{x^2-2}}\)의 도함수를 찾는 과정이라 할 수 있다. 초등함수로 표현되는 부정적분을 추가하여 만들어지는 확대체를 특별히 초등 미분 확대체(elementary differential extension field)라 하자.



이제 어떤 함수의 부정적분을 초등함수로 나타낼 수 있다면, 다음 정리에서처럼 특별한 조건을 만족해야 한다. 이것은 로젠릭트(M. Rosenlicht)의 논문 Liouville's Theorem on Functions with Elementary integral. Pacific Journal of Mathematics 24 (1): 153-161. 1968.에 실린 결과이다.


정리. 미분체 \(F\)와 \(G\)에 대하여, \(y \in G\)의 도함수 \(\alpha = y'\)이 \(F\)의 원소이며, \(G\)가 초등 미분 확대체라면, 적당한 상수 \(c_1, c_2, \dots, c_n \in \mathbb{C}\)와 함수 \(u_1, u_2, \dots, u_n, v \in F\)에 대하여

\[\alpha =c_1 \frac{u_1'}{u_1} + c_2 \frac{u_2'}{u_2} + \dots + c_n \frac{u_n'}{u_n} + v'\]

이 성립한다.


증명. 이 코너에 할당된 공간이 부족하여 생략.


이 정리로부터 다음과 같이 사용하기 쉬운 판정법을 얻을 수 있다. 만약 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 미분체 \(F\)의 원소이고 함수 \(f(x)e^{g(x)}\)의 부정적분을 초등함수로 나타낼 수 있다면, 적당한 \(w(x) \in F\)가 있어서

\[f(x) = w'(x) + w(x)g'(x)\]

가 성립해야 한다.


정규분포에 나타나는 함수 \(e^{-x^2}\)의 경우, \(f(x)=1\)이고 \(g(x)=-x^2\)이므로

\[1 = w'(x)-2xw(x)\]

를 만족하는 유리식 \(w(x)\)가 존재하는지 확인하면 된다. 위 미분방정식의 해를 구하면 \(w(x)\)는 다시 \(e^{-x^2}\)의 부정적분이 된다. 명백히 \(w(x)\)는 유리식이 아니므로, \(\int e^{-x^2} dx\)는 초등함수로 나타낼 수 없다.


함수 \(x^x\)도 마찬가지이다. 이 경우 \(x^x = 1 \times e^{x \ln x}\)이므로 \(f(x)=1\)이고 \(g(x)=x\ln x\)이다. 따라서

\[1 = w'(x) + w(x)(\ln x+1)\]을 만족하는 \(w(x)\)가 \(\mathbb{C}(x,\ln x)\)에 존재하는지 확인해야 한다. \(x\)와 \(\ln x\)에 대한 두 다항식 \(P = P(x,\ln x)\)와 \(Q=Q(x,\ln x)\)에 대하여 \(w(x) = P/Q\)라 하면, 위의 미분방정식은

\[\begin{align*}1&=\frac{P'Q-PQ'}{Q^2} + \frac{P}{Q}(\ln x+1) \\ Q^2 &= P'Q - PQ' + PQ(\ln x+1)\end{align*}\]

이 되므로 \(Q\)가 \(Q'\)을 나누려면 \(Q\)는 상수일 수밖에 없다. \(Q(x)=1\)로 두어도 되므로, 결국\[1 = P' + P(\ln x+1)\]

을 만족하는 다항식 \(P\)가 존재하는지 확인하여야 한다. \(P = \sum_{i=0}^n P_i(x)(\ln x)^i\)이고 \(P_i(x) \in \mathbb{C}[x]\)라 하면, 위 미분방정식에서 \(P_n(x)(\ln x)^{n+1}\)이 소거되지 않고 남으므로 미분방정식을 만족하는 \(P\)가 존재할 수 없다. 따라서 \(\int x^x dx\)는 초등함수로 나타낼 수 없다.


수학을 공부하면서, 수학자들의 놀라운 착상에 감탄하는 일이 많은데, 미분 갈루아 이론도 그 가운데 하나가 아닐까 싶다. 다항방정식과 미분방정식은 전혀 다른 연구 대상인데도 공통된 특성을 파악하여 비슷한 도구를 만들어내다니, 역시 수학자들의 통찰력은 대단하다.

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  1. 그게 2015.12.11 01:30  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    좋은 글 감사합니다.

  2. 2015.12.11 17:39  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2015.12.12 13:25 신고  댓글주소  수정/삭제

      미분 갈루아 이론은 학부 과정에서 배우지 않는 내용입니다. 사실 대학원에서도 별로 다루지 않는 주제입니다.
      저도 이 분야 전문가가 아니라 어떤 책이 좋을지 잘 모르겠습니다만, 검색을 좀 해 보면
      http://mathoverflow.net/questions/201853/why-is-differential-galois-theory-not-widely-used
      에 올라와 있는 글에서는 D-module 이론과 연계하여 대수기하 같은 과목에서 다루고 있다고 하고, http://www4.ncsu.edu/~singer/ms_papers.html
      에 있는 책을 추천하고 있습니다.

  3. 2015.12.13 09:14  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

  4. 2015.12.17 15:11  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

  5. 2019.02.18 17:12  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

  6. 캔디 2019.05.01 04:49  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이 글도 '대학수학 맛보기-미분'처럼 pdf파일로 볼 수 있을까요? 기호들을 읽기가 너무 불편하네요.

  7. limdo 2020.04.18 11:52  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    f(x)=w(x)+w'(x)g'(x)가 아니라 w'(x)+w(x)g'(x) 아닌가여??

  8. 2020.05.17 17:22  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

  9. 2020.11.01 21:49  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

  10. ㅇㅇ 2020.11.19 18:37  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    sinx = (e^ix - e^-ix)/(2i)가 되야하지 않나요?

2015. 11. 11. 13:49

수학자 Max Zorn Math2015. 11. 11. 13:49

며칠 전 이임학 교수에 대한 기사가 소개되면서 수학자 Max Zorn에 대해서 궁금해 하는 분들이 있었다. 

수학 전공자라면 Zorn's lemma로 잊을 수 없는 이름인데, 어떤 분인지 잘 알려져 있는 것 같지는 않다. 그래서 소개하는 글. 원문은 Chicago Tribune 1993년 3월 11일자 칼럼이다.

Max Zorn의 생애를 보면, 요즘 사회 분위기가 마치 1930년대 나치 정권 치하의 독일 같은 느낌이 든다. 
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A Math Wizard, Hero To His Family

가족에게 영웅이었던 수학의 마법사

March 11, 1993 | By Eric Zorn.

1993년 3월 11일 에릭 존

I don't pretend to understand Zorn's Lemma-it is a statement of principle in higher mathematical set theory, and I never got smart enough to take a class where it came in handy.

초른의 보조정리(Zorn’s Lemma)를 아는 척하지 않겠다. 그것은 더 수준 높은 수학적 집합론에서 어떤 원리를 표현한 것이고, 나는 결코 그 보조정리가 쓸모있는 수업을 들을 만큼 똑똑하지도 않았다.

And although it's not as common or useful as, say, the Pythagorean Theorem, it does appear in many standard dictionaries as well as in the title of the 1969 popular reference book "Whose What? Aaron's Beard to Zorn's Lemma." Math types always please me when they ask, "Are you related to the Zorn?"

이 보조정리는, 예컨대 피타고라스 정리만큼 흔하거나 유용하지는 않지만, 1969년의 참고 서적 제목인 “누구의 무엇? 아론(Aaron)의 수염(옮긴이: 식물의 한 종류)부터 초른(Zorn)의 보조정리까지”에서와 같이 많은 표준적인 사전에 등장하였다. 수학을 잘 아는 사람들이 이런 질문으로 나를 기쁘게 했다. “초른이랑 관련 있으세요?”

I am. My grandfather, Max, published the lemma in 1935. I had occasion to think a lot about the man and his lemma Monday afternoon when, in response to an urgent call from my father, I drove to Bloomington, Ind., hoping to get to his bedside before he died.

그렇다. 나의 할아버지인 맥스 존(막스 초른 Max Zorn)이 저 보조정리를 1935년에 출판하였다. 월요일 오후, 아버지에게서 온 긴급 전화 때문에 인디애나 주 블루밍턴으로 차를 몰고 가면서, 나는 할아버지와 그 보조정리에 대해 많은 생각을 할 기회를 가졌다. 할아버지가 돌아가시기 전에 임종할 수 있기를 바라면서.

He was 86 and had suffered unexpected and severe congestive heart failure. His lungs were filling with fluid, Dad said, his heart was nearly dead and nothing could or would be done to save him. His doctor had given him between three hours and two days to live.

할아버지는 86세였고 예상치 못한 심각한 울혈성 심부전으로 고통받고 있었다. 폐는 물이 찼고, 아버지 말씀으로는 할아버지의 심장이 거의 죽었고 할아버지를 살려낼 수 있는 방법이 아무것도 없었다. 의사는 할아버지에게 세 시간에서 이틀 정도 살 수 있다고 했다.

It takes roughly five hours to drive from here to Bloomington, and on the way I thought back on what he had accomplished. I was always proud to be his only grandson, but what I was proudest of was not that he had written the lemma, but that he had fought against the emerging Nazi party in his native Germany before World War II.

여기서 블루밍턴까지는 대충 다섯 시간 정도 걸렸고, 가는 길에 나는 할아버지가 이루었던 것에 대해 회상하였다. 나는 언제나 할아버지의 손자인 게 자랑스러웠지만, 내가 가장 자랑스러웠던 것은 할아버지가 그 보조정리를 썼다는 게 아니라 제이 차 세계대전 전에 할아버지의 고국인 독일에서 부상하던 나치당에 맞서 싸웠다는 것이었다.

He spoke with a raspy, airy voice most of his life. Few people knew why, because he only told the story after significant prodding, but he talked that way because pro-Hitler thugs who objected to his politics had battered his throat in a 1933 street fight.

할아버지는 거의 평생 동안 바람 새는 듯한 쉰 목소리로 말씀하셨다. 할아버지는 심각한 부상 이후 이야기만 하셨기 때문에 이유를 아는 사람이 거의 없었지만, 할아버지 목소리가 그랬던 이유는 할아버지의 정치적 견해에 반대하는, 히틀러를 지지하는 폭력배들이 1933년에 길거리에서 할아버지의 목을 가격했기 때문이었다.

He and his wife, Alice, and their young son, my father, fled to the United States in 1934.

할아버지와 할머니 앨리스는 어린 아들, 그러니까 내 아버지를 데리고 1934년에 미국으로 오셨다.

He was not yet 30 when he made his first and, as it turned out, only lasting mark on his profession. Zorn's Lemma gave him international recognition, but ended up haunting him, as early glory so often does.

할아버지가 자신의 첫번째 업적이며 할아버지의 경력에서 영원히 남게 될 유일한 업적을 이루었을 때 서른이 되지 않았다. 초른의 보조정리는 할아버지에게 국제적인 명성을 안겨 주었지만, 이른 영광이 늘 그러하듯, 그 보조정리는 할아버지를 끝까지 옭아매었다.

Even after his retirement from the Indiana University mathematics department in 1972, he continued to write in his notebooks and go to his office every day hoping, it seemed, to come up with something equally lasting or more profound.

심지어 할아버지는 1972년에 인디애나 대학 수학과에서 퇴직한 이후로도, 계속해서 연구 노트를 쓰며 매일 연구실로 출근하셨다. 그 보조정리에 버금 가게 영원하거나 그만큼 심오한 결과를 얻기를 바라면서. 적어도 그렇게 보였다.

I won the race to Bloomington. Max (I always called him Opa) was conscious when I arrived shortly after 9 p.m., and greeted me with a surprisingly strong handshake. He asked, in a voice muffled by the oxygen mask through which he was drawing horrible, wet breaths, if my 3-year-old son was able to dress himself yet.

블루밍턴까지의 경주는 내가 이겼다. 저녁 9시 직후 내가 도착했을 때, 할아버지는 아직 의식이 있었고 놀랍게도 힘센 악수로 나에게 인사를 했다. 할아버지는 끔찍하고 축축한 호흡을 의지하고 있는 산소 마스크 때문에 작아진 소리로, 세 살인 내 아들이 이제 혼자서 옷을 입을 수 있냐고 물었다.

Small talk. Earlier that day he'd spoken to his doctor and to the family about the gravity of his condition and the impossibility of recovery. There was no hope for a miracle here, no doubt of the outcome. So he and my grandmother had taken time to embrace and reminisce about the old days when they had been university students together in Germany.

대화는 길지 않았다. 이미 이전에 할아버지는 의사와 가족들에게 자신의 상태가 위중하며 회복이 불가능함을 이야기하였다. 기적이 일어날 희망은 없으며, 결과를 의심할 여지도 없었다. 그래서 할아버지와 할머니는 포옹하며 두 분이 독일에서 함께 대학을 다녔던 옛날을 회상하면서 시간을 보냈다.

After I had been there a while and the room turned quiet, he said to all of us, "Thank you," then took a breath, "for coming to see me off," he took another breath, "in a certain way." He shook my hand again and gave the stiff, half-wave salute that was his trademark.

내가 병원에 도착하고 잠시 후 병실이 조용해지자 할아버지가 우리 모두에게 말씀하셨다. “배웅하러" 그러고 숨을 쉬고서, “와 줘서” 다시 한 번 숨을 쉬었다. “ 고맙구나.” 할아버지는 다시 나와 악수를 했고, 트레이드마크였던 뻣뻣하게 반쯤 흔드는 인사를 하였다.

It was a bravura performance, one that he was unable to sustain as his condition worsened. By 11 p.m., he could only gasp out one word at a time, usually a request for water. Sometimes a simple cry for help.

할아버지의 상태가 점점 더 나빠지고 있었기 때문에 할아버지로서는 더 이상 유지할 수 없는 고도의 예술적 기교였다. 밤 11시, 할아버지는 한 번에 한 단어만 겨우 내뱉을 수 있었다. 대개 물을 달라는 요청이었다. 때로는 도움을 요청하는 신음 소리일 뿐이었다.

Shortly before midnight, the nurse told us now was the time to summon anyone who wanted to see him for the last time. My dad left quickly to fetch my aunt and my grandmother from home nearby, and left me alone with Opa.

자정 직전, 간호사가 이제 마지막으로 할아버지를 볼 사람들을 불러오라고 말하였다. 아버지는 병원 근처 집에 계시던 고모와 할머니를 데리러 급히 나갔고, 나 혼자 할아버지 옆에 남았다.

He could not respond with pressure when I squeezed his hand, so I stroked his arm lightly, soothingly, I hoped. I wet down a rag and daubed at his forehead, and I adjusted the breathing mask over the thick, careless white beard he'd grown in retirement.
I held him and spoke loudly and directly into his right ear. I promised him I would tell his great-grandson all about him one day, I told him he was a good man, something I'm not sure he ever truly believed.

할아버지는 내가 손을 힘껏 쥐어도 반응하지 않아서, 할아버지의 팔을 가볍게, 어루만지듯 두드렸다. 나는 수건을 적셔 할아버지의 이마에 올려 드렸다. 할아버지가 은퇴하신 이후 아무렇게나 기른 굵고 흰 수염 위로 호흡기를 조정했다. 할아버지를 붙잡고 오른쪽 귀에 대고 크게 말했다. 할아버지에게 약속한다고. 언젠가 할아버지의 증손자에게 할아버지에 대한 모든 것을 얘기해 주겠다고. 할아버지는 훌륭한 사람이었다고 말했고, 할아버지가 진실로 믿었는지 알 수 없는 이런저런 얘기를 했다.

There are sad things and there are tragedies, and this was just a sad thing. Tragedies are when people are cut down in or even before their prime with hosts of promises unfulfilled. But Opa had lived in nine decades, achieved a measure of professional success, raised a family, lived to be able to walk down a street with four generations of his own family and never lost the edge from his sharp and unusual mind.

세상에는 슬픈 일도 있고 비극도 있다. 이번 일은 슬픈 일이었다. 비극이란 전성기에 또는 전성기 이전에 수많은 가능성이 이루어지지 못한 채 사람이 사라지는 것이다. 하지만 할아버지는 90년 가까이 살았고, 학자로서 큰 성공을 거두었으며, 가족을 부양하였고, 네 세대가 함께 거리를 걸어갈 정도로 살았으며, 그 날카롭게 비범한 정신을 결코 잃지도 않았다.

He was dying sooner than any of us wanted or expected, but he'd avoided the interminable decline that afflicts so many of his age, and most of the prolonged suffering that often attends death. We should all last so long, we should all go so quickly, we should all be able to hear and understand the parting sentiments of those we love.

할아버지는 우리 바람보다도 우리 예상보다도 먼저 돌아가시게 되었다. 그러나 할아버지는 당신 연령대를 괴롭히는 끝없는 쇠약을 면하셨고, 종종 죽음을 수반하는 연장된 고통 대부분도 겪지 않으셨다. 우리 모두는 오래 동안 살아남아야 하고, 우리 모두는 빨리 가야 하며, 우리 모두는 우리가 사랑했던 이들과 헤어지며 겪는 상심을 듣고 이해해야 한다.

I was lucky. I got to him in time to say to him words that, next time, with the next person, I swear I will not wait so long to say:
"We're proud of you," I said into his ear as I bent over him. "Your family loves you."
He struggled to echo me, one faint word at a time. "My / family / loves / me."
It was the last sentence he ever said-not as far reaching or famous a proposition as Zorn's Lemma, but equally lasting and, I think, more profound. It, too, will be his legacy.

나는 운이 좋았다. 다음 번에 다음 사람에게는 이 말을 하느라 오랜 시간을 기다리지 않겠다고 맹세한 말을 할아버지에게 할 수 있었으니까.
“우리는 할아버지가 자랑스러워요.” 나는 허리를 숙이고 할아버지 귀에 대고 말하였다. “우리 가족은 할아버지를 사랑해요.”
할아버지는 나에게 힘겹게 대답하였다. 한 번에 겨우 한 단어씩. “내 / 가족은 / 나를 / 사랑해.”
할아버지의 마지막 문장이었다. 초른의 보조정리만큼 원대하지도 않고 유명하지도 않지만, 그만큼 영원할 것이며, 내 생각에는 더 심오한 말이었다. 이 또한 할아버지의 유산으로 남을 것이다.


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TAG Zorn, 초른
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2015. 11. 5. 14:05

2016년 수학 달력 Math2015. 11. 5. 14:05

한 부에 8000원입니다. 배송비 별도. 10부 사면 한 부 더 드리는 10+1 행사 중.


구입하고 싶은 분은 대한수학회( kms@kms.or.kr )로 메일 보내면 안내해 줍니다.




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  1. ㅇㅇ 2015.11.09 22:52  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    달력이 참 흥미로운데 31일 부분에 왜 16 다음에 31인지 규칙을 잘 모르겠습니다 ㅎㅎ 원 내부의 분할된 조각 수가 규칙이면 30이 되어야 할 것 같은데... 궁금하네요 ^^;

    • #play 2015.11.10 09:56  댓글주소  수정/삭제

      세 직선이 한 점에서 만나지 않는 조건이 있을 때, 분할 영역의 수를 의도한 것 같은데 그림을 조금 잘못 그린 것 같아요.

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2015.11.10 22:59 신고  댓글주소  수정/삭제

      아, 그렇네요. #play님 말씀대로, 세 직선이 한 점에서 만나는 일이 없게 약간 비틀어 그려야 했는데, 시험 삼아 그리던 걸 안 고쳤네요. 다른 달에는 수정하다가 점 위치가 바뀌어 버린 것도 하나 있어서, 이번 달력에는 두 군데나 오류가... OTL

  2. 2016.01.05 00:14  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

  3. Favicon of http://aaaaa.co.kr BlogIcon 실패자 2016.03.21 19:16  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    제가 이번 달에 2016년 수학 달력을 주문했는데요.
    이번 달에 대학수학회로부터 받는 2016년 수학 달력은 두 군 데의 오류가 고쳐진 달력인가요? ^^

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2016.03.23 02:59 신고  댓글주소  수정/삭제

      최종 인쇄까지 다 마치고 대한수학회 학회 장소에 배송된 달력을 펼쳐보고서야 오류를 발견했습니다. OTL
      내년에는 이런 일이 없도록 하겠습니다. T_T

  4. Favicon of http://sachawon.co.jp BlogIcon slowrbs 2016.05.27 17:47  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    여기에 가보시면 알겠지만
    https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b6/Real_function_of_three_real_variables.svg/1000px-Real_function_of_three_real_variables.svg.png?uselang=ko

    4차원에서 그린 함수그래프는 3차원 육면체의 모습입니다.
    제가 사실 작년 11월달에 geogebra로 겨우 4차원 함수 그래프를 그린 적이 있었습니다.

    1.4차원 함수 그래프는 컴퓨터로 그릴 수 있는 건가요?
    2.수학과 교수,수학교육과 교수,수학자들이
    4차원 함수 그래프를 보면 그것이 4차원 함수 그래프라고 믿나요?
    3. 육면체의 모습이 4차원 함수 그래프의 모습이 맞는가요?

  5. 2016.07.09 20:58  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

  6. 2017년 2016.08.16 12:36  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    2017년도 달력도 나오나요? 11월쯤?? 계획이 있는지 알고 싶습니다. 나온다면 당연히 살거고요

    • Favicon of https://pomp.tistory.com BlogIcon puzzlist 2016.08.20 12:25 신고  댓글주소  수정/삭제

      별일 없으면 만들게 될 겁니다. 이번 대한수학회 가을 연구발표회가 10월 20일-23일에 서울대에서 있으니까 이때 직접 가시거나 며칠 지나 대한수학회에 문의하시면 구매하실 수 있습니다.

2015. 7. 5. 23:24

셰릴의 생일과 수학 공부 Math2015. 7. 5. 23:24

얼마 전 싱가포르의 초등학생 대상 수학 경시대회 문제 하나가 SNS를 통해 인터넷 세상을 뜨겁게 달구었다. 문제는 다음과 같다.

앨버트와 버나드는 이제 막 친구가 된 셰릴의 생일을 알고 싶어합니다. 셰릴은 앨버트와 버나드에게 10개의 날짜를 줬습니다.

5월15일, 5월16일, 5월19일
6월17일, 6월18일
7월14일, 7월16일
8월14일, 8월15일, 8월17일

그런 다음 셰릴은 앨버트한테는 달(월)만을 알려주고, 버나드한테는 날(일)만 알려줬습니다.

앨버트: 셰릴의 생일이 언제인지 모르겠어. 그렇지만 버나드도 셰릴의 생일을 알 리가 없다는 건 확실히 알아.

버나드: 처음엔 셰릴의 생일이 언제인지 몰랐어. 그런데 이제는 알아.

앨버트: 아, 나도 이제 셰릴의 생일이 언제인지 알겠어.

셰릴의 생일은 언제일까요?

날짜말고는 숫자 하나 등장하지 않는데 수학 문제라니 이상하게 생각하는 분이 있을지도 모르겠다. 그렇지만 바로 이런 문제를 푸는 데 필요한 논리적인 사고야말로 수학에서 배워야 하는 것이다. 수학을 잘한다라고 하면 복잡한 계산을 빠르고 정확하게 하는 것이라고 생각하는 경우가 흔하지만, 계산은 도구일 뿐이며 계산을 잘한다고 해서 수학적 능력이 뛰어난 것은 아니다. 마치 타자를 잘 친다고 해서 문학적 능력이 뛰어난 것은 아닌 것처럼.

불행히도 우리나라에서 수학을 공부하는 이유는 “대학을 가기 위해서”이고, 고등학교 교과의 지식을 얼마나 알고 있는지를 평가하는 방식으로 대입 시험이 진행되어 왔다. 그러다 보니, 수학이 논리적 사고를 위한 학문이라는 인식은 찾아보기 어렵고, 공식 하나라도 더 알아서 한 문제라도 더 빨리 푸는 게 수학을 공부하는 목적이 되어 버린 것 같다. 이런 상황에서 “셰릴의 생일”과 같은 문제는 수학 공부하는 데 아무짝에도 도움이 되지 않는 문제 취급을 당할 수밖에 없겠다.

수학을 연구하고 가르치는 사람으로서 흔히 듣는 질문이 있다. “학교에서 배운 수학이 사회에서 무슨 쓸모가 있는가?”라는 질문이다. 중고등학교에서 배운 수많은 공식들을 실생활에서 직접 써 먹을 일은 많지 않을 테니 어쩌면 당연한 질문이기도 하다.

이런 질문을 하는 사람에게는 “학교에서 배운 수학”이 무엇이라고 생각하는지 되물어 보고 싶다. 예를 들어, 초등학교에서 두 자리 수의 곱셈을 배우면서 17×23=391을 계산했다고 하자. 과연 실생활에서 17과 23을 곱할 일이 있을까? 12를 곱하는 것이라면 열두 달 동안 일어나는 일에 대한 계산이 될 수 있겠지만, 아마도 17과 23을 곱하는 일은 전혀 없을 것 같다. 그러면 17×23을 계산한 것은 아무 쓸모 없는 공부를 한 것일까?

사람들이 “수학은 실생활에서 쓸 일이 없다”라고 말하는 것은, 마치 실생활에서 17과 23을 곱할 일이 없으니 17×23을 계산하는 공부를 할 필요가 없다는 것처럼 들린다. 그렇지만 “학교에서 배우는 수학”은 17×23을 계산하면 391이 된다는 사실을 외우는 것이 아니라, 두 자리 곱셈을 어떻게 할 수 있는지 그 방법을 배우는 것이다. 그리고 더 나아가 그 방법이 잘 작동한다는 사실을 교사의 권위가 아니라 스스로 체험하고 논리적으로 판단함으로써 체득하는 것이 수학을 공부하는 진정한 목적이다.


셰릴의 생일 문제의 가치도 생일을 알아내는 논리적인 사고 과정에 있다. 누군지도 모르는 여성의 생일이 며칠인지가 아니라. 그러니 혹시 이 문제의 답을 찍어서 맞힌다면, 그건 기뻐할 일이 아니라 부끄러워할 일이다. 이제 셰릴의 생일을 논리적으로 알아내는 사고 과정을 즐겨 보시길.


PS. 혹시 자신의 결과가 올바른지 궁금한 분은 커피 한 잔 들고 연구실로 방문하시라.

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  1. trap0107 2015.07.08 10:51  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    7월16일! 교수님 맞습니까? 연구실로 찾아 뵐 수가 없어서요..

  2. 특강담당자 2015.08.28 16:23  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    홍보자료 준비하다가 검색해서 들어왔는데 재미있네요 >_<간만에 머리쓴 기분이예요 ㅎㅎㅎ

  3. 안준성 2017.02.15 13:49  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    흥미로운 논리 문제네요!:) 좋은 문제 알려주셔서 감사합니다. 즐거운 하루되세요!

2015. 6. 26. 16:56

누가 수학을 싫어하게 하는가 Math2015. 6. 26. 16:56

이 글은 일본 세키 다카카즈 연구소 소장인 우에노 겐지 교수가 자신의 책 「누가 수학을 싫어하게 하는가」에서 당시 일본 수학교육과정 개편에 대해 비판하며 쓴 글이다. 번역하신 부산대 수학교육과 김부윤 교수의 허락을 얻어 전문을 올린다.



이차방정식

우에노 겐지(上野健爾)
김부윤(부산대 수학교육과 교수) 번역

교육과정심의회(이후 ‘교과심’으로 적는다) 의장인 미우라 슈몬(三浦朱門) 씨가 잡지 「週間敎育Pro」 1997년 4월 1일호의 인터뷰 기사 「교육, 이후의 방향」에서 다음과 같은 발언을 하고 있다. 교과 이기주의를 없애기 위해서, 예를 들어 수학에서는 「소노 아야코(曾野綾子)처럼 “나는 이차방정식도 제대로 할 수 없지만, 65세가 되는 오늘까지 전혀 부자유하지 않았다.”라고 하는」 수학 혐오 위원을 반수 이상 포함해서 수학 교과내용을 엄선할 필요가 있다고. 이 발언으로부터 1년 2개월 정도 지난 금년(1998년) 6월에 교과심(敎課審)의 심의의 정리가 나왔고, 이차방정식의 해의 공식은 중학교 수학에서 자취를 감추게 되었다.
이 발언이 이차방정식이 아니고, 예를 들어 「나는 이과를 대단히 싫어하며, 지동설은 일상생활에 필요로 하지 않았으므로 가르칠 필요는 없다.」라는 발언이었다면 어떻게 되었을까?
이 三浦朱門 씨의 발언에 매스컴은 물론이고 수학교육 관계자까지 어느 한 사람도 공적으로 반론했다는 이야기를 듣지 않는 것은, 우리나라 수학이 놓여 있는 입장을 말하고도 남음이 있는 사실이다.
이차방정식은 옛날부터 수학에 등장하여, 그 해법을 둘러싸고 다양한 시도를 해왔다. 십진법의 기수법을 일찍부터 이용하여 음의 수도 자유자재로 구사한 고대 중국을 별도로 하면, 계수의 양음의 차이에 따라 이차방정식을 다루는 방법의 차이에 많은 수학자들이 고생했다.
인도의 수학과 그리스의 수학을 이어받아서 9세기 전반에 활약한 아라비아의 수학자 알콰리즈미(al-Khwarizmi)는 이차방정식을 모든 계수가 양이 되는 표준형으로 분류하고, 기하학적으로 해를 구했다. 그의 저서 “Al-jabr wa’l muqabala”의 「이항」을 의미하는 아라비아어 Al-jabr이 Algebra(대수)의 어원이 되었다는 것은 잘 알려져 있다. 또 12세기에 알콰리즈미의 저서가 라틴어로 번역되었을 때, 그의 이름은 라틴 식으로 Algorismi로 기술되었다. 그것으로부터 알고리즘(Algorithm)이라는 단어가 탄생했다.
아라비아 수학은 중국의 수학과 마찬가지로 문제 해법의 알고리즘에 중심을 두고 있었기 때문에, 이 명명(命名)은 그 나름으로 의미 있는 일이다.

한편, 중국에서는 고대부터 제곱근이나 세제곱근을 구하는 알고리즘을 확립하고, 고차방정식의 수치해법으로서 호너법(Horner's method)과 같은 방법이 이미 11세기에서부터 13세기에 걸쳐서 확립되었다. 이 점에서 중국 수학은 훨씬 시대를 뛰어넘고 있었다.
실용을 중시한 중국 수학에서는 방정식의 해를 근사적으로 구하는 것으로 시종했다. 그러나 이것이 화(禍)가 되어 방정식을 푸는 것의 의미나 이차방정식의, 더욱이 고차방정식의 근의 공식을 구하는 방향으로 수학은 진전해 가지 못했다, 방정식을 문자식으로 나타내는 것은 중국에서 고차방정식의 수치해법과 동시에 확립되었는데, 계수까지가 문자로 된 일반방정식을 나타내는 문자식은 끝끝내 중국 수학에서는 등장하지 않았다. 서양 수학이 수입되어 그것에 대항하는 형태로 전개된 후기 중국 수학에서도 일반적인 문자식은 등장하지 않았다. 언제든지 원하는 정도(精度)로 방정식의 해를 구할 수 있었던 중국 수학에서 실용적인 관점에서 일반 방정식을 생각할 필요는 없었다.

방정식의 근의 공식을 문제로 하게 된 것은 근세 유럽이다. 이차방정식의 근의 의미를 생각하는 것은 다항식의 인수분해와 밀접하게 관계되며, 복소수가 탄생하는 계기도 되었다. 그를 위해서는 문자식의 등장이 필요했다.
문자식의 등장에 따라 수학이 얼마만큼 풍부하게 되었을까? 근세 유럽 수학의 역사를 보면, 일목요연하며, 또 일본의 세키 타카카즈(關孝和;Seki Takakazu,1642~1708년) 이후의 와산(和算)의 흥망 역사를 보아도 알 수 있다. 세키 타카카즈는 방서법(榜書法)의 이름과 함께, 중국 수학에서의 방정식의 기법을 일반화해서 문자식에 도달했던 것이었다.
문자식은 오늘날 우리들은 당연한 것으로 사용하고 있지만, 일보일석에 탄생한 것은 아니다. 게다가 실용상의 필요에서 가장 수학이 진보한 중국에서 오히려 탄생하지 않았다는 사실은 많은 것을 말하고 있다고 생각된다.

이렇게 중학교 수학에서 가르쳐온 이차방정식의 배후에는 실로 많은 수학자들의 노고의 역사가 있으며, 배우는 것은 쉬지 않음을 알 수 있다. 하지만 이차방정식을 중학교 수학에서 어떻게 다루어야 할까는 전문가 사이에서 큰 논의가 있어야 마땅하다. 그러나 일상생활에서 알지 못하면 곤란할까 곤란하지 않을까로 중학교에서 가르칠까 가르치지 않을까를 논의해야 할 성질의 것은 아니다.
그런데 수학에 한정하지 않고, 과학기술을 지탱해온 많은 학문은 문명의 이기로서만이 아니라, 우리들의 문화 속의 중요한 요소가 되어 있다. 지구는 태양의 둘레를 돌고 있다. 이것을 모르더라도 일상생활에는 아무 지장도 없다. 그러나 우리들의 인식이 천동설에서 지동설로 바뀐 것은 대사건이었다. 우리들이 관찰하고 있는 것은 반드시 세계는 움직인다고는 할 수 없다는 것, 현상을 설명하기 위해서는 관측결과에 바탕을 둔 추론을 반복해갈 필요가 있다는 것, 그 결과는 때로는 우리들의 직관과는 크게 어긋난다는 것, 이러한 사실을 아는 것은 우리들의 인식에 관한 대사건이었다.
마찬가지의 것은, 수학에서는 이미 고대 그리스 이후 알려져 있었다. 당연하다고 여기는 단순한 사실로부터, 추론의 반복으로 당연하다고 도저히 생각할 수 없는 사실을 보일 수 있다. 복잡한 수학적 사실을 소수의 공리로부터 유도한 유클리드의 「원론」은 수학의 추론의 힘을 여실히 보이고 있다. 또 예를 들어, 평면기하학에서 잘 알려진 사실 「두 점을 잇는 직선 가운데 최단인 것은 직선이다.」는 사실로부터 어느 정도 깊은 수학적 사실이 나올까? 극대극소문제에서 변분 문제로 시야를 넓혀 가면, 다시금 현대 기하학이나 물리학까지 관련되도록 논의를 깊게 할 수 있다.
이처럼 생각하는 것의 불가사의함, 중요함을 수학은 가르쳐준다. 유클리드의 「원론」으로 대표되는 학문으로서의 수학의 탄생은, 고대 그리스인의 위대한 업적이며, 오늘날 과학문명의 기초가 되어 있지만, 또 한편으로 우리들의 문화 속에 사고방법의 기초를 주는 것으로서 깊게 뿌리를 내리고 있다. 그것을 우리들은 평소 거의 의식한 적은 없지만.
이렇게 수학은 단순히 계산방법, 문제 풀이 방법을 가르치는 학문이 아니라, 생각하는 방법 그것을 문제로 하는 학문이다.
이차방정식의 해의 공식을 생각하면, 제곱해서 음이 되는 수를 피할 수 없는 문제가 되어 등장해온다. 그것은 또 많은 수학자들이 「허(虛)의 수」로서 공식적으로 사용하는 것을 망설였던 「수」였다. 그러나 오늘날 복소수는 수학에서 중요할 뿐만 아니라, 전기공학이나 물리의 양자역학에서도 필요불가결한 것으로 되어 있다. 이차방정식과 밀접하게 관련된 복소수는 우리들이 알지 못하는 곳에서 문명을 떠받치는 중요한 도구로서 대활약하고 있다.
그런데 나는 53세가 되는 오늘까지 소노 아야코의 문장도, 미우라 슈몬의 문장도 한 줄도 읽은 적이 없고, 그것으로 인해 생활에서 어떤 불편도 느낀 적이 없다. 그렇다고 그 이유만으로 그들의 문장을 초등중등교육의 교과서에서 다룰 필요가 없다고 주장하면 폭언의 비난을 면할 수 없다. 초등중등교육에 적합한 문장일까 아닐까는 교과서를 작성할 때에 판단하면 되는 것이다.
또 나는 지금까지 하이쿠(俳句)를 한 구절도 외운 적이 없고, 그것으로 인해 부자유함을 느낀 적은 없다. 많은 사람들에 있어서도 그렇다. 그렇다고 하이쿠를 초등중등교육의 국어 시간에서 없애버린다면, 우리들은 많은 것을 잃어버린다. 바쇼(芭蕉)[각주:1]는 자신의 하이카이(俳諧)[각주:2]를 「하로동선(夏炉冬扇)」[각주:3]이라 일컫는다. 일상생활에는 불필요한 것이다. 그러나 한편으로, 바쇼는 자신의 하이카이가 사이쿄(西行)[각주:4]나 소우기(宗祇)[각주:5]의 전통을 물려받은 예술임을 자각하고 있었다. 「하로동선」의 하이카이는 언어의 사용방법을 엄하게 음미하고, 언어가 가지는 의미를 깊게 해준다. 그것에 의해 언어가 가지는 힘을 우리들에게 재인식시킴과 함께, 우리들의 정감을 풍부하게 해준다. 그것이 문화가 가지는 중요한 활동이다.
현재의 일본에서는 교육에서조차 바로 도움이 되는, 목전의 것만 쫓아감으로써, 문화라는 중요한 것을 망각하려고 하지는 않는 것일까?

언어라는 관점에서 수학은 또 현대의 많은 학문을 기술하는 언어로서 중요한 역할을 가지고 있다.
수학교육에 대한 많은 비판은 「하로동선」 비슷한 것만 가르치고, 도움이 되는 것을 가르치지 않는다고 요약할 수 있을 것이다. 국어교육으로 말하면, 하이쿠나 단카(短歌)[각주:6] 등을 가르치기보다는, 바로 도움이 되는 편지 쓰는 방법을 가르쳐요 라고 한 논의와 비슷하다. 그러나 하이쿠의 세계를 앎으로써, 언어에 대한 감각을 예민하게 하면, 설득력 있는 의뢰장을 쓰는 것도 할 수 있다면, 기지가 풍부한 편지를 쓰는 것도 할 수 있을 것이다.
수학교육에 대한 비판에는 물론 일리가 있으며, 수학자도 수학교육자도 크게 반성해야 할 점이 있음은 확실하지만, 도움이 되는 것만 가르치고 그것으로 충분할까 라는 기본적인 의문이 남는다. 「하로동선」의 세계를 들여다봄으로써, 도구로서의 수학의 더욱 뛰어남을 기대할 수 있으며, 또 뜻밖의 힌트를 얻을 수도 있을 것이다. 바로 도움이 되는 세계를 떠나서 「하로동선」의 세계에서 배우는 것은, 긴 안목에서 보면 이상할 정도로 도움이 되는 세계를 손에 넣는 것으로 되지 않을까? 수학의 진짜 유용성이라는 것은 「하로동선」의 세계에 많은 혜택을 입고 있는 것은 역사를 읽어보면 잘 알 수 있다.
물론 바로 도움이 되는 수학이 「하로동선」의 세계에서 크게 기여하는 경우가 있다는 것도 소리를 크게 해서 말해두지 않으면 치우친 견해가 될 것이다. 중국 수학이 실용 학문에서 출발해서 크게 진전한 것은 그 한 예이다. 그렇지만 고도로 발달한 중국 수학은 한편으로는 그것의 가장 고도의 부분은 실용에 필요가 없다는 것에서 망각해버려, 더 진전해 갈 수 없었다는 것도 사실이다.

하이쿠로 말하면, 저에게는 부손(蕪村)[각주:7]의 하이쿠가 가장 불가사의 하게 느껴진 적이 있다. 부손에게는

    추위 속에, 역사적으로 유명한 중국의 역수(易水)[각주:8]에 흰 굵은 파가 흐르고 있다.
       易水にねぶか流るる寒さかな

라는 이상한 구절이 있다. 연(燕)나라의 태자 단(丹)의 의뢰를 받아 진왕(秦王;뒤에 시황제)을 암살하러 나서는 형가(荊軻)[각주:9]는, 연나라의 국경을 흐르는 역수에서 단(丹)과의 이별에 즈음하여

    바람은 스산하고 역수 강물은 차갑도다, 
         風蕭蕭兮易水寒
    사나이 한 번 가면 다시 돌아오지 못하리
         壯士一去兮不復還

라고 노래했다. 형가의 진왕 암살은 실패해버렸는데, 이 구절은 「사기(史記)」의 「자객열전」에 묘사된 이야기를 전제로 하고 있음은 틀리지 않다. 이 역수에 파가 흐르고 있다. 누군가가 요리로 사용한 자투리인지도 모른다. 파의 흰 자투리가 흐르고 있는 거리의 청류(淸流)와 역수가 돌연 겹쳐버리는, 실로 불가사의한 구절이다. 역사의 장대한 한 장면과 거리의 비근한 정경(가장 이러한 정경도 없어져 버렸다)이 하나로 되어버리는 장면에서, 이 구절의 불가사의함과 부손의 세계의 불가사의함이 있다.
이 구절을 비롯하여, 부손의 하이쿠를 외워 가면, 그가 살았던 세계와 시대를 더욱 알고 싶게 되어간다.
그러나 현재 우리나라의 교육은 이 부손의 구절을 앞에 두고, 백과사전이나 인터넷으로 장소 ‘역수(易水)’를 조사하고, 풍경 사진이 없을까 조사하고, 부손의 전기를 조사해가면, 이 구절을 음미할 수 있다고 말하고 있는 것처럼 생각된다. 그러면 구절을 음미하는 것이 아니라, 단지 언어를 조사하면 그것으로 됐다고 말해버리는 쪽이 나을지도 모르겠다. 문화로서의 관점이 전혀 누락되어 버리고 있다.

수학에서도 상황은 같다. 이차방정식의 해의 공식을 중학교 수학에서 추방함으로써, 수학을 통해서 생각하는 것의 대단함을 알리고, 수학의 확대를 보일 기회가 중학교 수학에서부터 하나 없어지게 되었다. 이차방정식의 해의 공식을 단순한 지식으로, 암기의 대상으로 보는 것이면, 그것은 타당한 조치일 지도 모른다.
그렇지만 수학이라는 것은 본래 사고방법을 문제로 하는 학문이다. 해의 공식을 앞에 두고, 학생이 가지는 다양한 의문에 진지하게 대응함으로써, 수학 학습을 심화해가는 길을 교육과정심의회는 취해야 했다. 우리들의 문화를 위해서도, 교과 이기주의를 넘어서, 초등중등교육에서 국어와 수학의 시간 증가야말로 교육과정심의회는 제안해야 했다.
우리나라의 기초교육은 지금 붕괴의 위기에 직면해 있다. 그것은 우리들의 문화가 절멸(絶滅)하는 위기이기도 하다.

<誰が数学嫌いにしたのか―教育の再生を求めて, 日本評論社, 2001> p.181-191에서


  1. 마쯔오 바쇼(松尾 芭蕉)는 1644년부터 1694년 10월12일(1694년 11월 28일)까지 생존한 에도 시대 전기의 하이카이(俳諧)사(師)이다. [본문으로]
  2. 주로 에도(江戸) 시대에 빛난 일본문학의 형식, 그리고 그 작품. [본문으로]
  3. 여름 화로와 겨울 부채라는 뜻으로, 철에 맞지 않아 쓸모없는 것을 비유함. [본문으로]
  4. 1118년부터 1190년 3월 31일까지 생존한 헤이안(平安) 시대 말기부터 카마쿠라(鎌倉) 시대 초기에 걸쳐서 활약한 무사・승려・시인이다. [본문으로]
  5. 1421년부터 1502년 9월 1일까지 생존한 무로마치(室町) 시대의 연가사(連歌師)이다. [본문으로]
  6. 음문(韻文)이 있는 와가(和歌)의 한 형식으로 五・七・五・七・七의 오구체(五句体)인 가체(歌体). [본문으로]
  7. 요사 부손(与謝蕪村)은 1716년부터 1784년 1월 17일까지 생존한 에도(江戸) 시대 중기의 일본 시인, 화가이다. [본문으로]
  8. 중국 하북성(河北省)을 흐르는 강. [본문으로]
  9. 형가(荊軻, ?~기원전 227년)는 중국 전국시대의 자객으로, 자는 차비(次非)이며, 위(衛)나라 사람이다. 시황제를 암살하려 했던 인물이다. [본문으로]

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Posted by puzzlist

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