내년 8월 세계수학자대회(ICM)와 같은 시기에 국립과천과학관에서 Bridges Conference를 개최하게 되었다. 8월 14일부터 17일까지 나흘 일정 예정.

Bridges Conference는 음악, 미술, 건축, 연극 등 여러 분야와 수학 사이의 연관성에 대해 논의하고 작품을 전시하는 학회로, 이런 분야로는 세계 최대 규모이고 최고 수준이라 할 수 있다.

우리나라에서 ICM 2014를 유치하고 나서 수학을 대중에게 널리 알릴 만한 기회가 없을까 걱정하던 차에, 국제수학연맹(IMU) 잉그리드 도브시(Ingrid Daubechies) 회장이 Bridges Conference 유치를 제안하였다. 지금까지는 북미 지역과 유럽에서 개최되어서 우리에게는 잘 알려져 있지 않던 학회였는데, 내년에 아시아 최초로 진행하게 되었다.

이를 기념하여 어제(5월25일 토요일)에 Mini Bridges 행사가 개최되었다. Bridges Organization의 레자 사란기(Reza Sarhangi)회장과 조지 하트(George Hart) 이사가 실사를 겸하여 방한하여 오전 특강과 오후 교사 워크숍을 진행하였다.

9:40-10:00 개회식. 박형주 ICM 2014 조직위원장, 최은철 국립과천과학관장, 김성숙 한국수학교육학회장 소개 및 축사. 사회는 내가 보았다.

10:00-10:40 사란기 회장이 "Bridges Seoul 2014"라는 제목으로 Bridges Conference의 역사와 행사 내용에 대해 소개하였다. 좌장은 성균관대 이상구 교수. 약간 격이 안 맞지만 ICM 2014 박형주 조직위원장이 직접 동시통역하였다.

10:50-10:40 하트 교수가 "From Mathematics to Art"라는 제목으로 수학적인 조각 작품에 대해 소개하였다. 이 분은 수학자이면서 조각가. 인터넷에서 검색해 보면 신기하게 생긴 작품을 많이 볼 수 있다. 예전에 내 블로그에 썼던 "수학의 아름다운 힘"이라는 글에서 마지막에 덧붙여 놓은 "실제로 만들어 보인 사람"이 바로 조지 하트였다. 마지막에 동영상을 몇 개 보여주었는데, 저글링 관련 영상에서 저글링으로 머리를 땋는 장면에서 청중들이 완전히 빵 터졌다. 통역은 역시 박형주 위원장.

10:50-11:30 서울대 김홍종 교수의 특강 "하모니와 수학". 김홍종 선생님 강의는 언제나 그렇지만 수학적인 깊이가 있으면서도 은근한 유머가 배어 있어서 듣기에 아주 좋다.

왼쪽부터 레자 사란기, 조지 하트, 김홍종

11:30-11:45 촬영 시간. 연사들이 유명인이어서 그런지 중간 쉬는 시간마다 중고등학생들이 함께 사진 찍느라고 아주 정신이 없었다. 강연을 해 주신 분들 모두 흔쾌히 촬영에 응해 주셨는데 이렇게 인기가 좋을 줄은 몰랐다. 일정 상으로는 오전 특강이 끝나고 과학관 최은철 관장과 담당 직원들, 조직위원들 단체 촬영이 예정되어 있었는데, 오후로 연기하고 일반인 촬영 시간을 늘였다.

강연장인 과천과학관 어울림홀이 600석이 넘는 규모여서 과연 여기를 다 채울 수 있을지 걱정이 되었는데 사전 예약으로는 거의 만석이었다고 한다. 그렇지만 실제로는 예약만 하고 오지 않은 사람이 꽤 많았다. 10% 정도 초과해서 예약을 받든지, 아니면 현장 등록이 가능하도록 하면 더 좋았을 것 같다.

14:30-15:50 조지 하트 교수가 "조노돔을 이용한 기하모델의 제작"이라는 제목으로 교사 워크숍을 진행하였다. 조노돔 또는 좀툴(zometool)이라는 교구를 이용하여 다양한 다면체 모양을 만들었다. 조노돔은 이름만 알고 있다가 처음 만져 보았는데, 연결구에 뚫린 구멍이 아주 교묘하게 배치되어서 규칙적인 기하학적 모형을 만들기가 아주 좋았다. 그냥 조별로 모형을 만드는 데서 그치지 않고, 만든 것을 모아 더 큰 모형을 만드는 방식은 정말 멋진 경험이었다. 교사들 모두 완전 열성적이었고 완성작 앞에서 조지 하트 교수와 함께 사진 찍는 셔터 소리가 끊이지 않았다.

17:30-17:50 질의 응답 시간. 시간 관계상 많은 질문을 받지는 못하였다. 내년 Bridges Seoul 2014에 교사들이 대단한 관심을 보이는 것을 확인할 수 있었다. 내년 ICM과 Bridges Conference에 교사들이 참여할 수 있는 기회를 많이 만들어야겠다는 생각이 들었다.

강연과 달리 워크숍은 150명으로 제한하였다. 장소는 상상홀. 등록하지 않은 채 들어왔다가 나가야만 했던 엄마와 아들이 있었는데 한참 동안 문앞에 서 있었다. 빈 자리에 가서 해 보라 하고 싶었지만, 그랬다가는 미등록인 다른 사람들을 감당할 수 없었을 것 같아 어쩔 수 없었다.

행사 진행 관계로 사진을 많이 찍지 못하여 대신에 몇 군데 블로그를 링크해 두었다. 구체적인 내용이 궁금한 분들은 아래 링크를 참고하면 되겠다. 혹시 여기에 링크를 추가하고 싶은 블로거가 있으면 댓글 달아 주시길.

http://blog.naver.com/mathti/

Mini Bridges에서 융합교육을 고민하다.

Mini Bridges 교사워크숍 1부 - George Hart 교수

Mini Bridges 교사워크숍 2부 - Reza Sarhangi 교수

지난 주에 미국 클레이 재단에서 발표했던 밀레니엄 문제 가운데 하나가 풀렸다는 뉴스가 화제가 되었다. 문제의 논문인 건국대 조용민 교수의 논문을 보니, 물리학적인 가치를 따질 만한 능력은 안 되지만 적어도 수학적으로는 밀레니엄 백만 달러 문제와 별 상관이 없다는 것은 알 수 있었다. 물리 전공자들의 의견을 들어 보면 물리학적으로는 상당히 중요한 결과인 것 같은데, 수학자들에게는 수학 논문이 아니라는 게 너무나 분명해서 대학 홍보팀과 언론의 과장이 심하다는 게 당연한 결론이었다.

그런데 조용민 교수가 백만 달러 문제를 못 풀었다는 식으로 다시 기사가 나가니까, 이번에는 이걸 또 오해한 반응이 많았다. 그래서 이번 기회에 물리학의 문제와 수학의 문제가 어떤 차이가 있는지를 써 두는 게 좋겠다는 생각이 들었다.

1. 물리 문제인가, 수학 문제인가?

클레이 재단에서 발표한 수학 문제인 "양-밀스 이론의 존재성과 질량 간극"은 분명히 물리학의 문제이다. 그런데 왜 이걸 "밀레니엄 7대 수학 문제"로 발표하였을까?

양-밀스 이론에 앞서, 전형적인 물리학의 이론이 수학적으로 합리화된 예로 "디랙 델타 함수(Dirac delta function)"를 들 수 있다. 영국의 물리학자인 디랙(Paul Dirac)은 뛰어난 통찰력의 소유자이면서 수학 실력 또한 대단히 뛰어난 인물이었다. 그는 델타 함수라는 개념을 이용하여 양자역학의 여러 복잡한 계산을 간명한 방식으로 해결하였는데, 문제는 델타 함수는 함수가 아니라는 점이었다.

폴 디랙

델타 함수는 다음 조건

\[\delta(x) = \begin{cases} +\infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}\]

\[\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1\]

을 만족하는 함수이다. 값이 \(\infty\)를 가진다는 것도 그렇고, 단 한 점에서만 0이 아닌데 적분 결과는 1이라니 이런 말도 안 되는 일이. 예컨대 적분해서 2가 되는 함수인 \(2\delta(x)\)는 \(x=0\)에서 어떤 함수값을 가져야 할까?

수학자 입장에서는 이런 걸 함수로 부른다는 건 본능적으로 거부감이 느껴지는 일이다. 그렇지만 물리학자들은 이 함수를 너무나 잘 활용하였고 계산 결과도 실제 현상과 딱딱 맞아 떨어졌다. 그렇다면 델타 함수가 작동하는 데에는 수학자들이 모르는 새로운 수학적 원리가 있다고 생각하는 것이 자연스러울 것이다. 물리학자들에게야 이 자체로 새롭고 유용한 수학이겠지만, 기존의 수학으로는 설명할 수 없는 개념이니 수학자들에게는 함수, 적분 등을 확장한 새로운 개념이 필요하였다.

함수와 적분을 확장한 새로운 이론을 구축하려면, 확장된 개념이 잘 정의된다는 것을 보여야 하고, 새로운 정의가 기존의 정의와 모순되지 않는다는 것을 보여야 하고, 이 이론이 얼마나 일관성이 있는지를 하나하나 보여야 하니 보통 일이 아니다.

여기에 성공한 수학자가 프랑스의 로랑 슈바르츠(Laurent Schwartz)였다. 그는 분포(distribution)라는 개념을 --- "초함수"로도 불린다. --- 이용하여 새로운 수학 이론을 개발하였다. 이 이론에서 디랙 델타 함수에 해당하는 분포(초함수)는 억지스러운 괴물이 아니라 너무나 자연스러운 수학적 대상이 된다. 나는 석사1년차에 이 이론을 공부하면서 그 우아함에 완전 감동받았다.

수학자의 눈으로 보면, 슈바르츠의 분포(초함수)는 기존의 수학과 전혀 어색하지 않게 어울리고, 이걸 델타 함수와 같이 해석하는 쪽이 폭력적(?)으로 보인다. 거꾸로 생각하면 그만큼 디랙의 통찰력이 놀랍기도 하다.

당연한 일이지만 이 이론은 디랙 델타 함수에 대한 이해를 더욱 깊게 하였고, 물리학자들이 아무런 걱정 없이 이런 종류의 함수를 사용할 수 있게 하였다. 이 업적은 대단히 위대한 것이어서 슈바르츠는 1950년 그의 나이 35살에 필즈 메달(Fields medal) 수상자로 선정되었다.

로랑 슈바르츠

양-밀스 이론의 경우도 비슷하다. 이 이론은 양전닝(楊振寧)과 밀스(Robert Mills)가 개발한 것으로, 물리학적으로는 매우 잘 작동하지만 수학적인 정립은 아직 완성되지 않은 상태이다. 마치 디랙 델타 함수가 그랬던 것처럼. 클레이 재단에서 요구한 것은 현재의 양-밀스 이론을 일반화하여 수학적인 설명을 하도록 한 것이다. 디랙 델타 함수를 수학적으로 설명하는 분포(초함수) 이론을 슈바르츠가 만들어낸 것처럼 물리학적 이론을 설명하는 새로운 수학을 만들라는 뜻이다. 15쪽짜리 논문으로는 불가능하다는 것이 너무나 당연하다.

조건이 이러하니, 양-밀스 이론을 사용하여 아무리 놀라운 물리학적인 결과를 만들어낸들 밀레니엄 문제가 풀렸다고 할 수는 없다. 양-밀스 이론을 뒷받침하는 일관성 있는 수학 이론이 존재할 것이라는 방증은 되겠지만, 이 자체로 수학 이론이 되는 것은 아니다. 디랙 델타 함수를 이용하여 물리학자들이 아무리 놀라운 결과를 많이 얻어도 그 자체로 로랑 슈바르츠의 분포(초함수) 이론이 되지 않는 것처럼.

게다가 조용민 교수의 결과는 특정한 게이지군(gauge group)에서 양-밀스 이론을 이용하여, 질량이 0보다 크게 됨을 보인 것이므로 일반적인 게이지군에 대한 양-밀스 이론을 구성하라는 밀레니엄 문제와는 거리가 멀어도 너무 멀다. 어쩌면 조용민 교수의 결과가 양-밀스 이론을 수학적으로 구성하는 데 있어 큰 힌트가 될지는 모르겠지만 이 논문이 백만 달러 수학 문제를 풀었다는 기사는 명백히 잘못되었다.

2. 수학 문제를 물리학자가 풀면?

인터넷 기사에 달린 댓글에는 "물리학자가 풀었다고 하니까 수학자가 깎아내리려 한다"는 내용의 글이 있었다. 정말로 뭘 모르고 하는 소리이다. 주변 물리학자들의 의견을 보면, 이번 논문에 대해 물리학적으로는 의미가 있지만 밀레니엄 문제를 푼 것은 전혀 아니라고 한다. 수학자만 비판적인 게 아니라는 말이다. 오히려, 이 문제는 물리학에 대한 지식 없이는 접근조차 어렵기 때문에, 만약 물리학자가 이 문제를 해결하더라도 어느 수학자도 놀라지 않을 것이다.

밀레니엄 문제로 양-밀스 이론을 선정하는 데 주도적인 역할을 한 에드워드 위튼(Edward Witten)의 경우, 세계적으로 유명한 뛰어난 물리학자이지만 1990년에 필즈 메달을 수상하기도 하였다. 그의 이론은 수학의 미해결 문제를 해결하는 놀라운 아이디어를 제공하고 있지만 실험으로 확인하기는 곤란하였다. 그러니 노벨상을 받기는 어려워도 수학적인 우아함만으로 필즈 메달을 받을 수 있었다. 수학자에게 수여하는 필즈 메달을 물리학자에게 준다는 사실에 수학자들이 놀라기는 했어도 이걸 부끄러워 한 수학자가 있었을 것 같지는 않다.

에드워드 위튼

우리나라에서 중고등학교 수학은 점수로 서열화되는 것이어서, 수학을 전공하지 않은 보통 사람들은 수학자를 실력 순서로 줄 세울 수 있다고 생각하는 것 같다. --- 사실 모든 분야를 다 서열화해서 생각하는 것 같다. --- 이렇게 생각하면, 물리학자가 어려운 수학 문제를 해결하는 것이 전혀 다른 분야의 인물이 갑자기 툭 튀어나와 선두로 나선 것처럼 보일 테고, 줄 지어서 잘 가다가 순위가 하나씩 밀린 수학자들에게 미움을 받을 것이라는 생각이 그럴 듯하기도 하다.

그러나 실제로는 수학자들은 자기 전공 분야가 아니면 잘 모르는 게 보통이어서, 실력 순서로 줄을 세운다는 것부터 말이 안 되고, 그게 가능하다손 쳐도 분야별로 여러 줄이 생겨야 한다. --- 세계수학자대회(ICM)를 수학자들이 4년마다 모여 수학 시험으로 실력을 겨루는 무대라고 생각하는 사람도 있었다. 천하제일무도회? --- 물리학자가 양-밀스 이론을 수학적으로 확립한다면, 그냥 그 분야로 새로운 줄이 생기는 것이지, 갑자기 모든 분야를 초월해서 세계 최고의 수학자가 되는 것은 아니다. 그러니 물리학자가 수학 문제를 해결한다고 해서 수학자가 기분 나빠하거나 부끄러워할 이유가 전혀 없다.

3. 조용민 교수의 논문은 가치가 없는가?

과장 보도의 문제점이 바로 여기에 있다 하겠다. 내 전공 분야가 아니어서 잘 알지는 못하지만, 주변 물리학자들의 의견으로는 조용민 교수의 논문이 물리학적으로 상당히 중요한 내용이라고 한다. 이 결과가 일반적인 양-밀스 이론을 구축하는 데 크게 공헌할 가능성도 있어 보인다. 그런데, 신문 독자들이 모두 어른이어서 그런지, 언론 보도에는 본질적인 면은 무시되고 "백만 불 수학 문제를 풀었다"라는 식으로 그저 금전적인 부분만 부각되었다.

어른들에게는 "십만 프랑짜리 집을 보았어요."라고 해야 한다. 그래야 "야, 참 멋진 집이겠구나!"하고 감탄한다.

이랬다가 다시 "백만 불 수학 문제 못 풀었다"라는 식으로 보도가 되면, 당연히 독자들은 논문 자체가 가치 없는 것으로 생각할 수밖에 없다. "백만 불 수학 문제를 풀었다"는 식으로 제목을 뽑지 않으면 지면에 게재조차 되기 어려워서 이런 일이 자주 반복되는 것 같은데, 이런 기사라면 차라리 안 실리는 쪽이 더 도움이 될 것 같다. 당장 "그러면 그렇지. 한국은 아직 멀었어."라는 반응이 나오니 말이다.

이상하게도 이번 일에 대해 어느 기자도 사실 확인을 할 생각을 전혀 안 한 것 같다. 그냥 홍보 자료 그대로 베껴 쓰기만 하고, 내용의 진실성에 대해 알아보려고 다른 물리학자나 수학자에게 의견을 구하는 일을 전혀 하지 않았다. 뒤늦게 몇몇 언론에서 수학계의 의견을 다루기만 했을 뿐이다. 기자의 소임은 받아쓰기가 아니라 물어보기일 텐데, 정말로 기자답지 못한 태도들이었다.

한 가지 이해할 수 없는 점은 한국일보 인터뷰에서 조용민 교수가 "틀린 점이 있으면 논문으로 반박하라"라는 말을 했다는 사실인데, 이런 말을 한 것으로 보아 조용민 교수는 자신이 밀레니엄 문제를 해결했다고 생각하는 것 같다. 백만 달러 상금에 대해 얘기하는 것을 보아도 그렇다. 어쩌면 조용민 교수는 이번 논문의 내용을 바탕으로 정말로 밀레니엄 문제를 해결하여 논문을 준비 중일 수도 있겠다. 그렇지만 적어도 이번 논문이 밀레니엄 문제를 해결한 것과 거리가 먼 것은 명백하여 고개를 갸우뚱하게 만든다. 더구나 주변의 물리학자나 수학자들이 지적하는 것은 "논문이 틀렸다"가 아니라 "논문에 틀린 곳이 없다고 해도 밀레니엄 문제를 해결한 것은 아니다"인데 왜 저런 반응을 보였는지 납득이 안 된다.

언론 보도에서는 조용민 교수의 논문에 대해 "수학계가 반발한다"는 식으로 마치 논문의 가치를 완전히 부정하는 것처럼 썼는데, 이 부분도 독자들에게 오해를 불러 일으키기 딱 좋은 표현으로 보인다. 수학계의 의견은 논문이 틀렸다는 것이 아니라 "그 논문은 수학 논문이 아니다"라고 할 수 있다. 클레이 재단에서 밀레니엄 문제의 풀이로서 검토를 할 필요조차 없다는 말이다. 수학자들의 반응을 굳이 표현하자면 반발이 아니라 무관심에 가까울 것 같다. 나중에 양-밀스 이론이 완벽하게 수학적으로 정립되면서 조용민 교수의 아이디어가 핵심적인 역할을 한다면, 해당 분야의 수학자들은 이번 논문을 읽어야 하겠지만, 지금으로서는 순수하게 물리학 분야인 논문을 수학자가 읽을 필요는 거의 없기 때문이다.

참고 글 추가: 이철희 박사의 슬로우 뉴스 기고 - 조용민 교수의 7대 수학 난제 해결 논란, 어떻게 볼 것인가

주말 교과서 회의에 ㅅㅇ대 ㅂㅎㅅ 선생님께서 계산자(slide rule)를 들고 오셨다. 일본 Hemmi 사 제품. 

아버님께서 고등학교 입학 선물로 사 주신 것이라고. 

오늘 인터넷에 "한국인이 100만불 수학 문제를 풀었다"는 기사가 실렸다.

내용을 보니, 건국대 석학교수로 있는 조용민 교수가 Clay 수학 연구소에서 제시했던 "밀레니엄 7대 문제" 가운데 하나인 양-밀즈 질량 간극 문제를 풀어서 물리학 분야의 유명 학술지인 Physical Review D에 게재되었다고 한다.

조용민 교수면 서울대 물리학과 교수로 있었던 물리학자이지 수학자는 아닌데, "수학자 조용민 교수"라는 표현도 볼 수 있었다. 아마도 "수학 문제를 풀었으니 수학자"라는 기자의 생각이 아니었을지. 뭐, 이론물리학자면 거의 수학자이긴 하다.

아무튼 이게 사실이면 대단한 뉴스이긴 한데, 이종필 박사님의 글을 보니 다음 논문이었다.

arxiv 버전

http://arxiv.org/abs/arXiv:1206.6936

Dimensional Transmutation by Monopole Condensation in QCD

Authors:Y. M. Cho

(Submitted on 29 Jun 2012 (v1), last revised 27 Jul 2012 (this version, v2))

학술지 게재 버전

http://prd.aps.org/abstract/PRD/v87/i8/e085025

물리 까막눈이라, 봐도 뭔 소리인지는 모르겠지만, 이 논문이 100만불짜리 수학 문제를 푼 게 아니라는 것은 확실히 알 수 있었다. 겨우 15쪽짜리 논문으로 100만불 문제를 푼다는 게 상식적으로 말이 안 되지 않나. 게다가 Yang–Mills existence and mass gap 문제는 물리학적 현상에 대한 수학적 이론을 바닥부터 쌓아올리기를 요구하는 것이어서, 기발한 아이디어 하나로 간단히 해결되는 문제와는 거리가 멀다. 하긴, 수학 전공이 아닌 사람들에게야 수학 문제란 "고등학교 수학 문제집에 실려 있는 문제"일 테니, 이런 문제가 15쪽으로는 해결 안 된다는 게 이해가 안 될 법도 하다.

기사 자체도 뭔가 엉성해서 그냥 건국대 홍보 자료를 받아쓴 것 같고, 어느 기자도 조용민 교수에게 직접 물어보거나 하지는 않은 것 같다. 아마 조용민 교수에게 인터뷰 요청했다가 "뭔 소리냐?"며 퇴짜 맞지 않았을까 싶다.

이종필 박사님의 글을 보니, 조용민 교수가 물리학적으로 상당히 의미 있는 결과를 얻은 것은 사실인 것 같다. 그러니 Physics Review D에 실리지. 그러나 이 논문이 Clay Millennium 7 Problems 가운데 하나를 풀었다고 하는 것은 그야말로 과장에 설레발.

기사 제목을 "건국대 조용민 석학, 우주질량생성 비밀 밝혀" 정도로 했으면 무난했을 텐데, 이걸 가지고 100만불짜리 수학 문제를 풀었다고 하는 것은 훌륭한 업적에 x칠하는 짓이 아닐 수 없다.

그래서 Clay 밀레니엄 7대 문제 가운데 해결된 것은 현재 "푸앵카레 추측(Poincare conjecture)" 하나뿐.

잡담 추가:

1. 글을 올리고 나니 방문객이 폭증한다. 아마 이 기사에 관심 있는 사람이 많은 듯. 이럴 줄 알았으면 제목을 좀더 알아보기 쉽게 쓸 걸 그랬나.

2. 검색을 좀 해 보니, 15쪽으로 어떻게 100만불 문제를 해결하냐는 문구에 대해 이상하게 생각하는 반응이 있었다. Yang–Mills existence and mass gap 문제는 Yang-Mills 이론을 공리적으로 구축하라는 것이어서, 애초에 짧은 분량으로 해결될 수 있는 문제가 아니다. 이런 점에서 논문이 15쪽이라는 것만으로도 대부분의 수학자들은 이 기사가 과장되었다고 짐작했을 것이다. 참고로 푸앵카레 추측을 증명한 페렐만의 논문은 세 편으로 되어 있고 39+22+7=68쪽.

3. 내가 아무리 물리 까막눈이기로서니, 물리학 논문과 수학 논문을 구별하지 못할까. 조용민 교수의 논문은 전형적인 물리학 논문이어서 수학의 난제를 해결한 논문은 아니다. 어쩌면 이 논문이 Yang-Mills 문제를 해결하는 발판이 될지는 모르겠지만, 현재로서는 이 논문으로 Yang-Mills 문제가 완벽하게 해결되었다고는 전혀 생각할 수 없다. 

또 추가 (2013.4.19):

현재 업계(?) 동향을 알 만한 분에게서 상황이 이러하다는 메일을 받았다.

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1. 의미있는 물리학적 업적인 것은 같다. (물론 추후 입증이 되어야 하나)

2. 아직 문제의 답은 아니다.

3. 어느 신문사가 과장하는 바람에, 따라 써서 보도가 이렇게 과장되었다.

4. 그러나 조용민 교수 본인은 믿고 있다.

즉,  조용민 교수님은 앞으로 후속 논문을 통해 증명(이라고하나요?)을 쓰실 생각이신 듯합니다.

이 글은 지금은 은퇴하신 고려대 수학과 유희세(1919-) 교수님께서 월간지 수학세계에 실으셨던 글이다. 이 잡지에서는 매년 각 학교의 본고사 문제를 분석하는 좌담회를 개최하였다. 1980년 4월호에서는 고려대 본고사 수학 문제를 다루었고, 여기서 조건부 확률을 묻는 문제는 "학생들 중에는 조건부 확률이라 하면 아예 손도 안 대기로 작정이라도 한듯 전연 답안지 난을 비워 둔 학생들이 꽤 있었어요."라는  평이 있을 정도로 성적이 좋지 않았다.

이에 학생들에게 조건부 확률에 대해 설명하기 위해 유희세 교수님께서 다음 호에 글을 실으셨는데, 조건부 확률뿐 아니라 확률 개념 자체를 이해하는 데도 도움이 되는 좋은 글이어서 보여주는 사람마다 한 부씩 복사해 갈 정도였다. 그러나 오래된 책이어서 구하기도 어렵고 편집 상태도 썩 좋지 않아서, 널리 알리고 싶은 마음에 TeX으로 조판하여 PDF 파일을 만들었다. 되도록 원문 그대로 만들었으나, 원문이 국판 2단 편집으로 조판이 빡빡한 편이어서 이 파일에서는 2단 편집은 하지 않았다.

유희세 교수님께 허락을 받지도 못했고 수학세계를 발행했던 성지사의 허락을 받은 글도 아니지만 수학을 공부하는 학생들에게, 또 교사들에게도 도움이 될 수 있도록 널리 양해해 주시기를 부탁 드린다.

@ 혹시 오탈자를 발견한 분은 댓글 달아주시길.

CondProbability.pdf (2015.6.3 수정)

수정내역:

2015.6.3 p.4 중간 \(\text{D}_0\)를 \(\text{D}_0^\text{C}\)로 수정

작년 (2012년) 8월 수학자 Thurston이 사망하였다.

본격 수학자 부고 블로그인 여기에 이 소식을 올리려 했으나 바쁜 관계로 미루다 보니 벌써 5개월이 지나버렸다. Thurston의 부고 소식이 전해지던 무렵, 트위터에서 그가 썼던 글을 소개하는 트윗을 보았는데, 수학자들의 게시판인 MathOverflow에 muad라는 사용자가 올린 질문에 대해 Thurston이 쓴 답변이었다.

글의 제목은 What’s a mathematician to do?

천재들의 능력에 기죽는, 나처럼 평범한 수학자에게 격려가 되는 글이어서 부족한 실력으로 번역해 보았다.

2013.4.28 Seldon님의 제안에 따라 문장 수정

2015.12.5 parsec님의 제안에 따라 문장 수정

I have to apologize because this is not the normal sort of question for this site, but there have been times in the past where MO was remarkably helpful and kind to undergrads with similar types of question and since it is worrying me increasingly as of late I feel that I must ask it.

이 사이트에 적절한 질문이 아니라서 사과를 해야겠습니다. 하지만 MO는 예전에 여러 번 큰 도움을 주었고 비슷한 질문을 하는 학부생들에게도 친절했고, 요즘 걱정이 점점 커져서 여기에 물어봐야겠다는 생각이 들었습니다.

My question is: what can one (such as myself) contribute to mathematics?

제 질문은 이겁니다. 나 같은 사람이 수학에 무슨 공헌을 할 수 있을까요?

I find that mathematics is made by people like Gauss and Euler - while it may be possible to learn their work and understand it, nothing new is created by doing this. One can rewrite their books in modern language and notation or guide others to learn it too but I never believed this was the significant part of a mathematician work; which would be the creation of original mathematics. It seems entirely plausible that, with all the tremendously clever people working so hard on mathematics, there is nothing left for someone such as myself (who would be the first to admit they do not have any special talent in the field) to do. Perhaps my value would be to act more like cannon fodder? Since just sending in enough men in will surely break through some barrier.

수학은 가우스나 오일러 같은 사람들이 만들었죠. 그들의 성과를 배우고 이해할 수는 있겠지만, 그러는 걸로 새로운 게 만들어지지는 않습니다. 누군가는 그들의 책을 현대적인 용어와 기호로 다시 쓸 수도 있고 다른 사람도 그걸 배우도록 지도할 수 있지만, 저는 이게 수학의 의미있는 부분이라고는 결코 믿지 않습니다. 의미있는 일은 독창적인 수학을 창조하는 것이겠죠. 어마어마하게 똑똑한 사람들이 수학을 열심히 연구하고 있으니, 저같은 사람이 할 수 있는 건 아무 것도 남아있지 않다는 게 전적으로 맞는 말일 것 같습니다. 이런 사람들이 자기 분야에 특별한 재능이 없다는 걸 인정하는 건 제가 처음이겠죠. 아마도 제 가치는 총알받이 병사처럼 행동하는 것 아닐까요? 의지가 있는 충분한 수의 병사를 보내면 장애물 몇 개는 돌파할 수 있을 테니까요. 

Anyway I don't want to ramble too much but I really would like to find answers to this question - whether they come from experiences or peoples biographies or anywhere.

두서없이 늘어놓았습니다만 저는 이 질문에 대한 답을 정말 찾고 싶습니다. 경험담이든 누군가의 전기이든 무엇으로부터든지요.

Thank you.

고맙습니다.

asked Oct 26 2010 at 16:53

muad

It's not mathematics that you need to contribute to. It's deeper than that: how might you contribute to humanity, and even deeper, to the well-being of the world, by pursuing mathematics? Such a question is not possible to answer in a purely intellectual way, because the effects of our actions go far beyond our understanding. We are deeply social and deeply instinctual animals, so much that our well-being depends on many things we do that are hard to explain in an intellectual way. That is why you do well to follow your heart and your passion. Bare reason is likely to lead you astray. None of us are smart and wise enough to figure it out intellectually.

당신이 공헌해야 하는 것은 수학이 아닙니다. 그보다 심오한 것이죠. 바로 수학을 추구함으로서 인간성에, 그리고 더 심오하게는 세상의 복리에 어떻게 공헌할 것인지입니다. 이러한 질문에 순수하게 지적인 면에서 답하는 것은 가능하지 않습니다. 우리의 행동이 미치는 영향은 우리의 이해력을 훨씬 넘어서니까요. 우리는 매우 사회적이고 매우 본능적인 동물이어서 우리의 복리는 우리가 한 수많은 일에 의존하지만 이 일들을 지적인 면에서 설명하기는 어렵습니다. 이게 바로 당신이 당신의 마음과 열정을 따라 행동해야 하는 이유입니다. 단순한 이성적인 판단만으로는 당신을 헤매게 만들 뿐입니다. 우리 가운데 누구도 이것을 지적으로 완전히 그려낼 수 있을 정도로 똑똑하고 현명한 사람은 없습니다.

The product of mathematics is clarity and understanding. Not theorems, by themselves. Is there, for example any real reason that even such famous results as Fermat's Last Theorem, or the Poincaré conjecture, really matter? Their real importance is not in their specific statements, but their role in challenging our understanding, presenting challenges that led to mathematical developments that increased our understanding.

수학의 산물은 명확성과 이해력입니다. 정리 그 자체가 아닙니다. 예컨대 페르마의 마지막 정리나 푸앵카레 추측처럼 유명한 결과들조차 진짜로 중요한 이유가 있을까요? 이 결과들이 진정으로 중요한 것은 특정한 진술에 있는 게 아니라 우리의 이해력에 도전하는 역할에 있습니다. 우리의 이해력을 증가시켜 수학의 발전을 이끌게 되는 도전을 제시하는 것이지요. 

The world does not suffer from an oversupply of clarity and understanding (to put it mildly). How and whether specific mathematics might lead to improving the world (whatever that means) is usually impossible to tease out, but mathematics collectively is extremely important.

세상은 명확성과 이해력이 과도하다고 해서 고통받지 않습니다. 특정한 수학이 어떻게 세상을 발전으로 이끌 수 있는지, 그리고 그게 가능한지를 알아내기는 대체로 불가능하지만, 전체적으로 보면 수학은 극히 중요합니다. 

I think of mathematics as having a large component of psychology, because of its strong dependence on human minds. Dehumanized mathematics would be more like computer code, which is very different. Mathematical ideas, even simple ideas, are often hard to transplant from mind to mind. There are many ideas in mathematics that may be hard to get, but are easy once you get them. Because of this, mathematical understanding does not expand in a monotone direction. Our understanding frequently deteriorates as well. There are several obvious mechanisms of decay. The experts in a subject retire and die, or simply move on to other subjects and forget. Mathematics is commonly explained and recorded in symbolic and concrete forms that are easy to communicate, rather than in conceptual forms that are easy to understand once communicated. Translation in the direction conceptual -> concrete and symbolic is much easier than translation in the reverse direction, and symbolic forms often replaces the conceptual forms of understanding. And mathematical conventions and taken-for-granted knowledge change, so older texts may become hard to understand.

저는 수학이 심리학적 요소를 많이 가지고 있는 것으로 생각합니다. 왜냐하면 수학이 인간의 마음에 강하게 의존하기 때문입니다. 인간성이 제거된 수학은 컴퓨터 코드 같을 겁니다. 이건 전혀 다르죠. 아무리 단순한 수학적 아이디어라도 한 사람의 마음에서 다른 사람의 마음으로 옮기는 일은 어려울 때가 많습니다. 수학에는 생각해내기는 어렵지만 알고나면 쉬운 아이디어가 많습니다. 이 때문에 수학적 이해력은 한 방향으로 단조롭게 확장되지 않습니다. 우리의 이해력은 퇴보하는 경우도 흔합니다. 몇 가지 분명한 쇠퇴의 원리가 있습니다. 한 분야의 전문가가 은퇴하거나 죽기도 하고, 단순히 다른 분야로 옮겨 가고 잊기도 합니다. 수학은, 일단 의사전달이 되면 이해하기 쉬운 개념적 형태보다는, 의사소통이 용이하도록 기호적이고 구체적인 형태로 설명되고 기록되는 것이 보통입니다. 개념적인 것에서 구체적이고 기호적인 방향으로의 번역은 반대 방향에 비해 훨씬 쉽고, 기호적인 형식은 개념적 형식의 이해를 대체하곤 합니다. 그리고 수학적 규약과 당연하다고 생각한 지식은 변하기 때문에 오래된 문헌은 이해하기가 어려워질 수 있습니다.

In short, mathematics only exists in a living community of mathematicians that spreads understand and breaths life into ideas both old and new. The real satisfaction from mathematics is in learning from others and sharing with others. All of us have clear understanding of a few things and murky concepts of many more. There is no way to run out of ideas in need of clarification. The question of who is the first person to ever set foot on some square meter of land is really secondary. Revolutionary change does matter, but revolutions are few, and they are not self-sustaining --- they depend very heavily on the community of mathematicians.

요컨대, 이해를 퍼뜨리고 옛 아이디어와 새 아이디어 모두에 숨결을 불어넣는 수학자들의 살아있는 사회에서만 수학은 존재할 수 있습니다. 수학으로부터 얻는 진짜 만족은 다른 사람들로부터 배우고 다른 사람들과 공유하는 데 있습니다. 우리 모두는 몇 가지에 대해서는 명확한 이해를 가지고 있고 더 많은 것에 대해서는 모호한 개념을 갖고 있습니다. 무언가를 명확히 해야할 필요가 있다는 점에서 아이디어가 고갈될 리는 없습니다. 몇 제곱미터의 땅에 첫 발을 디딘 것이 누구인지를 묻는 것은 정말로 부차적인 문제입니다. 혁명적인 변화는 중요하지만, 혁명은 드물고 스스로 유지되지도 않습니다. 혁명은 수학자 '사회'에 매우 많이 의존하니까요.

answered Oct 30 2010 at 2:55

Bill Thurston

Mathematical Calendar of the year 2013

math-calendar.pdf

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2013년 신년맞이 복면산.

뱀의 해를 맞이하여 adder만으로 구성하였다.

癸癸癸癸 + 巳巳巳 + 年年年 + 年年年 + 癸癸 + 年 = 巳蛇癸年

이 복면산의 답은 세 개지만, 巳+蛇+癸+年=6인 답은 하나뿐이다. 물론 여기서 6은 巳가 12지의 6번째라는 뜻.

수능 언어영역 지문을 적중하고 서강대 수리논술 문제까지 적중하더니, 이제 노벨 경제학상까지 적중.

아무래도 자리 깔아야겠다.

2012년 노벨 경제학상 업적인 Gale-Shapley algorithm 설명. (네이버캐스트)

이 글에서는 전통 결혼 알고리즘(Traditional Marriage Algorithm)이란 제목으로 소개하였다.