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2008. 4. 13. 19:13

신비의 153 Puzzle2008. 4. 13. 19:13

이번 총선으로 한나라당 의석이 153석이 되었다. 성경에 따르면 베드로가 예수의 말에 따라 그물을 던져 잡은 물고기의 수도 153 마리였다고 하니, 이 성스러운 기적에 2MB 각하께서 기뻐하며 음주가무를 베푼 것도 당연한 일일 터.

유명한 수학 퍼즐 가운데 narcissistic number가 있다. 이 수는 n 자리 수로서, 각 자리수를 n제곱하여 더한 결과가 자기 자신과 같은 수를 뜻한다. 당연히 모든 한 자리 수는 1-narcissistic number이다. 중국어로는 이 수를 "수선화 수"라고 하던데, 그것보다는 "자아도취 수" 정도가 적절할 것 같다. 정치적으로도.

153의 경우, 세 자리수이고  이므로 3-narcissistic number이다. 3-narcissistic number는 이외에도 370, 371, 407이 있다. 이 네 수에 대해 Hardy는 그의 저서 A Mathematician's Apology에서
There are just four numbers, after unity, which are the sums of the cubes of their digits: 153, 370, 371, and 407. These are odd facts, very suitable for puzzle columns and likely to amuse amateurs, but there is nothing in them which appeals to the mathematician.
라고 평하기도 하였다. (그러면서 다 구해 보기는... 하여간 괴팍한 영감.)

수학적으로 그리 심오한 것은 아니지만, narcissistic number가 유한 개뿐임을 보이는 것은 간단한 수리 논술 문제 정도로 쓸 수도 있겠다. 더 정확히는 narcissistic number는 88개뿐이며, 이 사실은 1985년에 D. Winter에 의해 증명되었다.

Puzzle 카테고리니 그래도 문제 하나쯤은 올려야 할 것 같으니...

2-narcissistic number는 모두 몇 개일까요?

다시 풀어 쓰면, 두 자리 자연수 가운데 각 자리수의 제곱을 더한 결과가 자기 자신이 되는 수는 몇 개일까요?
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2008. 4. 12. 21:17

[해답] 곱과 합 Puzzle2008. 4. 12. 21:17

정답 없는 정치 얘기는 그만 하고....

곱과 합을 아는 두 사람이 모르겠다는 말만 하고서 두 수를 맞히던 문제의 정답은 2와 6입니다.

중간에 사회자를 끼우지 않은 원작의 정답은 4와 13입니다.

풀이는 trivial하므로 생략합니다.

이제 이어지는 문제를 생각해 봅시다.

앞서 올렸던 문제에서는 P가 모르겠다고 하고 S도 모르겠다고 했으니 "모르겠다"라는 대답이 두 번 나왔습니다. 모르겠다는 대답이 세 번 나오고 P와 S가 두 수를 알아내었다면, 그때의 두 수는 무엇일까요?

그리고 이런 일이 가능하려면 "모르겠다"는 대답은 몇 번까지 나올 수 있을까요?
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2008. 4. 12. 00:02

그건 그렇고 Other interests2008. 4. 12. 00:02

지난 10년 간의 "우파 정권"이 그렇게 불만스러웠으면 이번엔 "좌파 정권" 찍어줘야 하는 것 아닌가?

잘 봐줘도 중도 우파였던 정권이 불만스럽다고 더 오른쪽에 몰표를 주는 센스라니....
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2008. 4. 10. 23:11

요즘 20대 Other interests2008. 4. 10. 23:11

이번 총선에서 20대 투표율이 심하게 낮은 건 그렇다 치겠는데, 2번 지지도가 압도적이라 해서 꽤 놀랐다. 그런데 이런 글을 보니 그럴 법하다는 생각도...
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2008. 4. 8. 13:48

곱과 합 Puzzle2008. 4. 8. 13:48

두 퍼즐리스트 P와 S에게 2보다 크거나 같은 두 정수를 맞혀 보라면서 P에게는 그 두 수의 곱(product)을, S에게는 그 두 수의 합(sum)을 알려주었습니다.

나: (P에게) 두 수가 무엇인지 아시겠습니까?
P: 글쎄요. 모르겠군요.
나: (S에게) P씨는 모르겠다는데, S씨는 어떻습니까?
S: 저도 모르겠습니다.

그런데 S의 답을 듣자마자 P가 외쳤습니다.
 
P: 아! 두수가 뭔지 알겠습니다.

P의 말을 듣고는 S도 외쳤습니다.

S: 저도 두 수가 뭔지 알겠습니다.

도대체 두 수는 무엇이었을까요?
 
-----

이 퍼즐은 내가 만들었던 퍼즐 초기작 가운데 하나다. 내가 퍼즐을 만들 때는 "하나 만들어 보자" 생각하고 책상 머리에 앉아서 뚝딱 만들어내기보다는, 다른 사람의 작품을 풀어보려다가 얼떨결에 만드는 경우가 많았다.

이 작품의 원작에 해당하는 것은, 중간에 사회자인 "나" 없이 P와 S 둘이 서로 모르겠다고 하다가 갑자기 두 수를 알아내는 형태였다. 김용운 선생의 "재미있는 수학 여행"에 이와 같은 형태로 소개되어 있는데, 아무리 봐도 문제의 표현이 모호했다. 나 역시 문제가 좀 이상해 보여서, 오해하기 쉬운 바로 그 형태를 가지고 어떻게 해 볼 수 없을까 생각하다가 나온 게 바로 위의 문제이다.

나중에 인터넷 뉴스그룹 rec.puzzles의 archive를 보니, 제대로 된 형태는 P가 모르겠다고 하자 S가 "당신이 모를 거란 것쯤은 이미 알고 있었소"로 대꾸하는 것이었다. 이것이라면 "재미있는 수학 여행"에서와 같은 오해는 생기지 않는다.

문제의 수준을 따지자면 rec.puzzles에 있는 원작 형태가 훨씬 어렵다. 난이도만 따지면 별 다섯 개 만점을 줘도 될 정도. 다만 풀이에 어쩔 수 없는 억지스러움이 약간 있어서 걸작에 아주 작은 흠이 된 아쉬움이 있다. 이렇게 어려운 퍼즐을 중학생 수준의 "재미있는 수학 여행"에 소개하다니. 감히 말하자면, 김용운 선생이 원작 퍼즐을 그리 깊게 생각해 본 것 같지 않다.

내가 만든 위의 퍼즐은 난이도로는 중급 정도지만, 완결성 면에서는 원작보다도 오히려 나은 편이다. 게다가 문제를 확장해서 생각하기도 좋고.

평점: 난이도 3/5, 작품성 5/5, 참신성 2/5
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2008. 4. 7. 23:41

누구일까요? Puzzle2008. 4. 7. 23:41

어느 유명 블로거의 아들이 다니는 학교에 욕을 잘해서 만날 야단 맞는 말썽꾸러기가 하나 있다고 한다. 이 아이 엄마가 국회의원이라는 얘기에 이 분은 엄마가 바빠서 애를 잘 돌보지 못해서 그렇다고 생각하셨단다.

그런데 이번 총선에 출마한 후보를 보니 1번, 2번, 4번이 여성이라고. 후보 다섯 명 중에 여성이 세 명이니 대단한 지역구인 셈. 1번이 그 지역의 현역 국회의원이어서, 재미삼아 아들에게 사진을 보여주며 문제의 그 말썽꾸러기와 닮았냐고 물어보았다.

며칠 후 아들이 와서 하는 말, "걔네 엄마 2번이래요."
.
.
.

그 엄마가 덜 바빠서 애가 그 지경인 게 아닐까 하는 생각이 드는 건 왜일까....

2번 후보는 과연 누구일까요?

@ 어디까지나 Puzzle 카테고리임.
@@ 혹시라도 그 분께 불이익이 있을까 싶어 링크는 걸지 않았습니다. 시절이 시절이다 보니....

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2008. 4. 7. 15:34

Proofs from THE BOOK Math2008. 4. 7. 15:34

신앙심 - caya

Erdös 선생께서 말씀하시길, 신에게는 온갖 수학적 결과들이 적혀 있는 책이 한 권 있는데, 거기에는 너무나도 아름다운 증명들이 적혀 있다고 한다. 그래서 누군가 우아한 증명을 내놓으면, Edrös는 "The proof is from THE BOOK!"이라고 했다나.

여기에 착안하여 Aigner와 Ziegler는 수학의 세계에서 "아름다운 증명"으로 손꼽히는 것들을 모아 책을 내었는데, 제목은 당연히 "Proofs from THE BOOK".

그렇지만 아마도 다음 얘기가 진실(?)에 더 가깝지 않을까 싶다.

어떤 대학원생이 꿈에 천국을 거닐고 있었다. Erdös가 말한 THE BOOK에 생각이 미친 이 대학원생은 신이 살고 있는 궁전에 들어가 마침내 "그 책"을 발견하였다. 떨리는 손으로 책장을 넘기니,

THEOREM 1. Blah Blah
Proof. Trivial

THEOREM 2. Blah Blah
Proof. Trivial

THEOREM 3. Blah Blah
Proof. Trivial

.
.
.

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2008. 4. 3. 00:13

Erwin Schroedinger Other interests2008. 4. 3. 00:13

뉴스레터를 보다가 Schrödinger를 "금발 미남"으로 묘사한 구절을 보았다.

Schrödinger가 금발인지도 의심스럽지만 미남이라는 건 더 의심스럽다. 아무리 화려한 여성 편력을 자랑한다지만.

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2008. 4. 2. 20:58

사칙연산과 환원주의 Math2008. 4. 2. 20:58

사칙연산과 괄호
사칙연산과 pgr21

뭔가 제목이 거창해 보이지만 페이크고...

pgr21 게시판에서 "곱셈을 덧셈보다 먼저 하는 게 당연하다"고 주장하는 사람들의 논리를 보니 일종의 환원주의라는 생각이 든다. 그 논리인즉슨, "곱셈은 덧셈을 간단히 표현한 것이니까 곱셈을 덧셈으로 바꿔 넣는다고 생각하면 곱셈을 먼저 하는 것이 당연하다"라는 것인데, 그냥 척 봐도 반론을 생각할 수 있겠다.

우선, 곱셈이라는 연산이 단순히 덧셈을 간단히 표현한 것은 아니라는 점이다. \(2\times3=6\) 같은 거야 2를 3번 더한 것이지만, \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\)는 어쩌라고? \(\sqrt{2}\)를 \(\sqrt{2}\)번 더하나? 어떤 점에서는 트집 잡기...

또, 곱셈이 덧셈을 간단히 표현한 것이라고 하더라도 문제이다. 왜 굳이 곱셈을 "먼저" 덧셈으로 바꾸어야 한단 말인가? \(1+2\times3\)에서 \(2\times3\)을 \(2+2+2\)로 먼저 바꾸어야 할 논리적인 이유가 있는 것은 아니지 않은가? 이것은 그저 "곱셈을 먼저 계산한다"라는 규칙을 표현만 바꾼 것뿐이다.

이런 예를 생각하면 좀더 분명해질 것 같다. 정수의 뺄셈은 덧셈에 대한 역원을 이용하여 모두 덧셈으로 바꿀 수 있다. 그렇다면 연산에 대한 우선순위를 생각하지 않은 상태에서, \(1-2\times3\)은 \((1+(-2))\times3\)로 바꿀 수도 있고, \(1-(2+2+2)\)로 바꿀 수도 있다. "어느 쪽을 먼저 바꿔 넣느냐"는 것은 결국 "어느 연산을 먼저 하느냐"와 똑같은 얘기가 된다.

아무튼 결론은

루나러브굿 님과 투명드래곤 님 속 터지시겠습니다. -_-;
@ 진도가 안 나가면 이러고 놂.... OTL
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Posted by puzzlist
2008. 4. 2. 17:23

사칙연산과 pgr21 Math2008. 4. 2. 17:23

방문자 유입 경로를 보니 pgr21.com이 여럿 나와 있었다. Unofficial Progamer Ranking Site라고 하는데, 프로고 아마고 게이머와는 관련이 없는 이곳을 어쩌다 오셨나 싶어 보니, 사칙연산에서 왜 덧셈보다 곱셈을 먼저 하는지에 대해 200개가 넘는 댓글로 격론이 벌어지고 있었다.

두뇌 풀 가동!! - prg21.com 유머게시판

질문을 하는 쪽은 "곱셈을 덧셈보다 먼저 하는 논리적인 이유가 있는지"를 묻는데, 일부 사람들이 "곱셈이니까" 정도의 답변(-_-;)을 하다보니 댓글이 무진장 길어진 것이었다.

그 과정에서 내가 썼던 글(사칙연산과 괄호)을 투명드래곤 님이 링크해 놓으셨고.

댓글들을 쭉 읽어본 소감은...

루나러브굿 님, 속 터지시겠습니다. -_-;

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