아마도 전세계 수학과에서 현대대수학 교재로 가장 널리 쓰이는 책이 John B. Fraleigh의 A First Course in Abstract Algebra가 아닐까 싶다. 다행히 한국어 번역판도 있어서, 아마 우리나라에서도 꽤 많은 대학에서 사용하고 있을 것 같다.

이 책의 저자 Fraleigh의 이름을 어떻게 읽어야 할까?

이상하게도 이 이름이 "프렐라이"로 많이 알려져 있는 것 같은데, 알파벳 a를 "에"로 소리내는 경우가 극히 드문데 어째서 "프랠라이"도 아닌 "프렐라이"가 되었는지도 이상하고 leigh를 "라이"로 읽는 것도 철자로는 짐작이 잘 안 된다. 실제로 물리학자 Rayleigh를 "레일리"로 읽는 것만 봐도 leigh를 "라이"로 읽는 것은 이상하다.

외국 사람 이름이라는 게 철자와 발음이 따로 노는 경우가 많긴 하지만, Fraleigh라는 철자라면 "프레일리"로 읽는 게 아마도 가장 정확할 것이다. 인터넷에서 이름의 발음을 알려주는 사이트들을 보아도 역시 "프레일리"로 읽도록 되어 있고.

이제부터는 좋은 교재를 써 주신 Fraleigh 선생님께 감사하는 뜻에서라도(?) "프레일리"로 읽는 게 좋지 않을까?


 

수학에서 사용하는 각종 기호나 문자는 해당하는 단어의 머릿글자를 쓰는 경우가 많다. 예를 들어 부피를 나타낼 때 흔히 쓰는 문자 V는 volume의 첫글자이다.

그렇지만 모든 기호와 문자가 다 이런 것은 아니어서, 전혀 상관 없는 글자가 쓰이기도 한다. 예전에 뉴스그룹 sci.math에서 직선 y=mx+n에서 기울기를 나타내는 m이 무슨 단어를 뜻하는지로 토론이 벌어졌는데, 엄청나게 긴 댓글들이 달린 후 내려진 결론은 허무하게도 "별 뜻이 없는 것 같다"였다.

이처럼 근거가 명확하지 않은 문자 가운데 하나가 아마도 넓이를 나타낼 때 쓰이는 S가 아닐까 싶다. 당연히 area의 머릿글자 A를 써야 마땅할 것 같은데, 왜 S를 쓰는 것일까? 

사실 영미권 책에서는 넓이를 나타내는 문자는 거의 모두 A를 쓰고 있다. S를 쓰는 경우는 거의 없는 편. 그런데도 넓이를 S로 나타내게 된 것은 아마도 입체도형의 겉넓이(surface area)를 나타내는 S를 평면도형에도 별 생각 없이 남용한 것이 아닌가 싶다. 일본에서도 넓이를 나타낼 때 S를 쓰는 것을 보면, 일본 교재를 참고해서 우리나라 교과서를 만들면서 이런 일이 생긴 게 아닌가 싶다.

어떤 사람들은 S가 square의 머릿글자라고 하면서, 넓이를 재는 것이 정사각형(square)이 얼마나 많이 들어가는지를 재는 것이라고 설명하기도 한다. 하지만 이건 좀 억지스러워 보인다. 그런 식이라면 부피도 V가 아니라 cube의 C로 나타내어야 할 테니까.

굳이 A를 피해야 할 이유가 있다면, 도형의 꼭지점을 나타낼 때 보통 A, B, C, ...로 표시하니까 A 대신 다른 문자를 쓴다는 정도인데, 이 역시 필연적인 이유라 하기는 어려워 보인다.

직선의 기울기를 아무 상관 없는 m으로 나타내는 것처럼 문자는 무얼 쓰든 문제될 것이 없다. 다만, "넓이는 반드시 문자 S를 써야 한다"고 생각하는 분들이 가끔 있는 게 문제라면 문제. 이런 사람들이 내세우는 주장이라고 해 봐야 "그렇게 쓰도록 배웠다"는 게 다여서, 문자를 무얼 쓰든 상관 없다는 사실 자체를 이해를 못하는 게 아닌가 싶은 생각이 든다.
 

학부모를 위한 수학대중화 강연이 9월1일 10시 숭실대학교 한경직 기념관에서 열립니다. (교과부 장관 참석)

무료, 선착순 1000명.

강연1: 감성의 학문, 수학 - 김홍종 교수(서울대)
강연2: 수학공부 지혜롭게 시키기 - 최수일 박사(경복고)

소수 공식 - 공식이 만능은 아냐 (navercast)

어제 게시된 네이버캐스트의 수학산책 주제는 소수를 만드는 공식.

보통 사람들에게는 아마도 "수학=공식"으로 인식되어서인지 "소수를 만드는 공식만 있으면 리만 가설도 해결할 수 있고, 어떤 암호도 다 풀 수 있다"는 식의 주장을 가끔 볼 수 있다.

당연히 말도 안 되는 생각이어서, 이번 글에서는 아예 n을 대입하면 n번째 소수가 나오는 공식에 대해 소개하였다. 그냥 소수를 만들어내는 공식이라고 해도 놀랄 판에, 정확히 n번째 소수를 만드는 공식이라고 하면  꽤 흥미로운 주제가 될 것 같았다. (zariski 님도 같은 내용을 소개한 적이 있다. 주소는 http://zariski.egloos.com/2541383 )

실은 처음에 네이버에 보냈던 원고는 더 길었는데, 수식이 너무 많다고 두 번째 공식에 대한 이야기는 잘렸다. 블로그에서는 그 두 번째 공식을 간단히 소개할까 한다.

네이버캐스트에 올린 (첫 번째) 공식은 소수 판정법을 억지로 하나의 공식으로 만든 형태인 반면, 아래에 소개할 공식은 소수 전체를 모아 하나의 수를 만든 다음, 적절하게 정보를 추출하는 방식이다.

먼저, 소수 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...을 이용하여 다음과 같은 수 a를 만든다.

a = 0.02030005000000070000000000000011000...

이 수는 n번째 소수 \(p_n\)에 \(10^{-2^n}\)을 곱해서 모두 더한 것이다. 일반적으로 n번째 소수는 \(2^n\)보다 작기 때문에, \(10^{-2^n}\)을 곱하면 a의 소수점 아래에 소수들이 겹치지 않게 나열할 수 있다.

이제 n번째 소수를 만들어내려면, \(10^{2^n}a\)를 계산한 다음 앞뒤 불필요한 부분을 날려버리면 된다. 그래서
\[ f(n) = \lfloor 10^{2^n}a \rfloor - 10^{2^{n-1}}\lfloor 10^{2^{n-1}}a \rfloor \]
로 정의하면, f(n)이 n번째 소수가 된다.

정말로 n번째 소수를 만들어내는 공식이기는 한데, 참 황당하기 짝이 없다. 이 방법으로 n번째 소수를 만들어내려면 일단 n번째 소수가 무엇인지를 알아야 하니까, 보통 생각하는 "공식"과는 전혀 다르다.

공식이라는 것은 어떤 알고리듬에 따른 최종 결과를 정리한 것에 불과하기 때문에, 결국 중요한 것은 공식이 아니라 알고리듬 쪽이라 할 수 있다. 그러니 소수를 만드는 (좋은) 공식이 없다는 말은 사실 소수를 만드는 (좋은) 알고리듬이 없다는 것과 마찬가지이다. 그럼에도 수학을 잘 모르는 사람들은 알고리듬이 아니라 공식만을 찾아 헤매곤 한다. 공식만 발견하면 모든 난제가 해결될 것처럼 생각하면서.

PS. (8/3 19:30) 그러니까 소수를 만드는 공식만 찾으면 필즈 메달을 받을 수 있다는 이상한 소리를 아직도 믿고 있는 사람들은 인류 역사에 길이 남을 위대한 초초초초초천재 double d 님처럼 이런 종류의 공식이 무의미하다는 걸 깨달아야 한다는 게 결론.
 

며칠 전 처음 보는 번호로 전화가 왔다.

전화를 받아 보니, 무슨 사업을 하는 사람이라고 자신을 소개하더니 난데없이 Jackson Pollock에 대해 얘기를 꺼낸다. Pollock이라면 물감을 흩뿌려서 작품을 만든 걸로 유명한 추상화가.

아마 Pollock의 작품 가운데 가장 유명한 것은 Google 로고로 그려준 다음 작품일 것이다. (믿으면 ㅇㅈㅇ)
Pollock 그림을 안다고 했더니, 그 분이 묻는다.

"그 그림이 프랙탈인가요?"

엥? 그걸 왜 나에게?

그림 특성상 프랙탈적인 요소가 없지는 않을 거라고 했더니, 자기가 Pollock의 그림 하나를 메일로 보내줄 테니 프랙탈이 맞는지 확인을 해달라고 한다.

이런 건 미술 쪽 공부하신 분에게 문의하시라며 거절했더니, 계속 어떻게 안 되겠냐고 한다. 프랙탈 구조에 대해 연구한 물리학자가 차라리 낫지, 수학자 가운데는 이런 거 해 줄 사람 없을 거라고 했더니, 미국의 수학자 Richard Taylor라는 사람에 대해 얘기한다. (검색해 보니 미술사가이면 물리학자라고 나온다.)

최근에 Pollock의 새로운 그림 32점이 발견되었는데, Pollock의 그림을 연구해서 프랙탈 구조를 밝힌 Richard Taylor가 새 그림들을 조사해 보니 프랙탈 구조가 하나도 없더라. 그래서 32점이 모조리 가짜라고 했다더라. 뭐 이런 얘기였다. 그래서 자기도 작품에 대해 의뢰하고 싶다고. Pollock의 미공개 작품이라도 갖고 있으신 건지.

근본적으로 미술 작품에 대한 이런 종류의 주장은 너무 모호해서 100% 확실한 답이 나오는 것도 아닌 데다, 이런 일에 공을 들일 만큼 시간이 남아도는 것도 아니어서 결국 거절했다. 연구비 1억 정도 준다면 다시 생각해 볼 수도....

아무튼 수학을 이용하여 그림 감정을 하였다는 사실은 꽤 흥미로운 일이었다.

@ 저에게 수학과 관련하여 질문하는 메일이 많이 옵니다. 그런데 일일이 답하다 보면 도저히 감당이 안 되기 때문에, 거의 답을 하지 못하고 있습니다. 수학에 대해 질문할 일이 있으면, 사람 많은 인터넷 수학 카페들을 이용하는 편이 훨씬 낫습니다.

얼마 전 큰애 데리고 ㄹㄷㅇㄷ에 가서 찍은 사진이다. 그날 사람이 너무 많아서 놀이기구 타려는 줄이 심하게 길었다.

줄이 엉키지 않도록 쳐 놓은 울타리 안에서 꼼지락꼼지락 움직이다 보니, 가운데 쓰레기통이 보였다. 울타리를 만들어 놓은 것도 좋은 아이디어지만, 그 사이에 쓰레기통을 배치한 아이디어에 감탄을 했다. 저렇게 해 놓으면 줄은 헝클어지지 않으면서 쓰레기통도 편리하게 이용할 수 있으니 말이다. 이런 일이 가능한 것은 바로 "Jordan의 곡선 정리" 덕분이다. (아, 이 웬 수학 오덕스러운 오바질이냐.)

프랑스 수학자 Jordan의 이 정리는 사실 너무 자명해 보여서, 이게 왜 "정리"인지 이해가 안 될 정도이다. (하지만 증명은 엄청나게 어려움.) 그 내용이란 "단순폐곡선은 구면을 두 개의 영역으로 나눈다"라는 것이다. 여기서 "단순폐곡선"은 끊어지지 않고 연결되어 있는 곡선, 즉 폐곡선 가운데 자기 자신과 만나지 않는 곡선을 뜻한다. 그러니까 고무밴드를 마구 벌려놓되 서로 겹치는 부분이 없게 한다고 생각하면 된다.

이 정리가 너무 당연해 보인다면, 토러스 같은 면을 생각해 보자. 토러스 위에 아주 작은 원을 그린다면, 이 원은 분명히 내부와 외부 두 영역으로 토러스를 나누게 된다. 그런데 토러스의 구멍을 둘러싸는 큰 원(아래 그림에서 분홍색 원)을 그린다면, 이 경우에는 하나의 영역이 될 뿐이다. 아래 그림에서 빨간색 원을 그리는 경우도 마찬가지이다.
 

그러니까 저 울타리는, 사람들이 서 있는 부분인 내부와 쓰레기통이 있는 외부를 완전히 분리한다. 고객은 쓰레기통과 분리되면서도 편리하게 사용할 수 있고, 청소하는 알바 입장에서는 고객들 사이를 비집고 갈 필요 없이 편리하게 쓰레기통을 비울 수 있으니 이거야 말로 윈윈 아닌가.

 그래서 알바가 쓰레기통에 어떻게 접근하나 지켜 보았다. 사람들이 줄 서 있는 울타리 바깥 쪽에서 통로를 따라 접근할 거라고 생각했는데, 웬 걸, "실례합니다"라면서 울타리를 넘어 최단거리로 쓰레기통을 향해 간다. @_@

그러면, 여기서 다시 이 상황을 수학으로 바꿔 보자. 알바가 쓰레기통에 접근하려면 울타리를 몇 번 넘어야 할까? 물론 이거야 어느 쪽에서 어떤 경로로 오느냐에 따라 달라질 수 있으니 정답이 있을 수 없다. 하지만 이렇게 물으면 어떨까?


단순폐곡선 밖에서 출발하여 다시 단순폐곡선 밖에 있는 점까지 도달하는 곡선을 아무렇게나 그릴 때, 이 곡선이 원래의 단순폐곡선과 만나는 횟수가 짝수인지 홀수인지를 묻는 것이다. 물론 이 곡선이 단순폐곡선 위의 한 점에서 접하거나 하는 특수한 상황은 제외하고 생각하자. 실제로 예를 들어 세어 보면 알 수 있듯이, 이 경우 만나는 횟수는 반드시 짝수 번이 된다.

이게 뭐 대단한 일인가 싶은 분은 단순폐곡선으로 스마일 마크를 만든 다음 그림을 보자. 그림 한가운데에 있는 빨간 점은 이 폐곡선 안에 있을까 밖에 있을까? 이게 안인지 밖인지 알아내려면 꽤나 헷갈리는데, 바깥 쪽으로 적당한 선을 그려서, 폐곡선과 몇 번 만나는지 세어 보면 간단히 알 수 있다. (바꿔 말하면, 울타리를 짝수 번 넘으면서 바깥 쪽을 향해 움직이면 된다.) 물론 이 그림처럼 전체적인 모습을 한눈에 알 수 있는 경우는 직접 안팎을 판정하는 것이 크게 어려운 일은 아니지만, 첫 번째 사진처럼 시야가 제약되어 있는 경우에는 이런 방법을 쓸 수밖에 없다. 이런 것도 수학의 위력이라고 할 수 있지 않을까?

   @ Jordan curve theorem의 증명을 보고 싶은 분은 zariski 님의 포스팅 참조. 

논쟁거리도 아니지만, 하여튼 48/2(9+3)의 값이 2인지 288인지로 격렬한 논쟁을 하는 글을 보니 이런 비유가 떠오른다.

누군가 어떤 수 + 1이 얼마인지를 종이에 써서 물었는데, 이 사람이 심한 악필이라, 그 어떤 수가 3 같기도 하고 5 같기도 한, 애매모호한 모양이었다. 보통의 경우라면, "여기 이 숫자가 뭔지 잘 모르겠는데 다시 써 주세요."라고 할 것이다. 그런데 이 종이를 보고 이런 논쟁이 불붙는 것이다.

"이거 당연히 4."
"무슨 소리. 6임."
"그건 3을 5로 잘못 보고 푼 거임. 님 숫자도 못 읽으셈?"
"야 이 ㅂㅅ아, 니 눈엔 이게 3으로 보이냐?"
"님들 진정하세요. 이건 답이 4도 되고 6도 됩니다."
"어떻게 동시에 두 개가 정답이 되나? 껒여!"
"이거 외국에 물어보니 답이 4라고 함다."
"내가 가진 책에는 6이라고 나오는데?"
"수학자 아닌 넘들은 아닥."
"이건 공리에 의해 4임."
"내가 직접 써 보니 6임."
"계산기에 두드려 보니 4임."
"계산기를 믿는 ㅂㅅ은 뭥미?"
"이거 답이 6이라는 건 러셀이 이미 증명했음."
"러셀 책 몇 페이지에 나오는지 말해봐."
"내 친구한테 3+1 써보라니까 이거랑 똑같이 쓰더라."
"위키백과에 이거 6이라고 나와 있음."
"위키백과 고쳐 놓은 넘이 너냐?"
"완벽한 줄 알았던 수학에 이런 허점이 있다니, 인간은 역시 겸손해야 한다."
"그러니까 4=6이라는 거 아냐?"

뭐 이런 식... 

요즘 인터넷을 뜨겁게 달구고 있는 문제.

48 / 2 ( 9 + 3 ) 또는 48 ÷ 2 ( 9 + 3)의 값은 얼마일까?

문제가 되는 부분은 ( 9 + 3 ) 앞에 생략된 곱셈 기호로, 해석하기에 따라서는 이 식이 ( 48 / 2 ) × ( 9 + 3 ) = 288 일 수도 있고 48 / ( 2 × ( 9 + 3 ) ) = 2 일 수도 있기 때문이다.

어느 쪽이 맞느냐로 갑론을박이고, 오늘 내 연구실에는 학생들도 찾아오고 신문사에서 전화까지 왔다.

결론은?

내 의견은 애초에 식 자체가 혼란스럽게 쓰여졌다는 것이다. 굳이 어느 한쪽을 골라야 한다면, 아니, 그것보다 처음 식을 보았을 때 어느 쪽으로 해석했느냐고 묻는다면, 내 경우는 48 / ( 2 × ( 9 + 3 ) ) = 2 이다. 그렇지만 만약 누군가가 48 / 2 ( 9 + 3 ) = 288 이라고 써 놓았더라도 틀렸다고 하지는 않았을 것이다. 다만, 어느 쪽 수식이든 혼란스러우니 의미가 확실하도록 괄호나 곱셈 기호를 넣거나, 순서를 적당히 바꾸어 쓰는 게 좋지 않겠냐고 했을 것 같다.

곱셈 기호를 생략한다는 것은 곱셈이 자주 쓰여서 조금이라도 편하자고 쓰는 것이고, 당연한 말이지만 이것은 곱셈 기호를 생략해도 혼란이 없을 때 가능한 것이다. 아무리 곱셈 기호를 생략할 수 있다고 해도 2 × 3 = 6 을 2 3 = 6 으로 쓰지는 않으니까. 그러니 곱셈 기호를 생략한 48 / 2 ( 9 + 3 ) 은 별로 좋은 표기라 할 수 없다.

굳이 따지자면, 곱셈 기호를 생략하는 것은 곱하는 두 대상 사이의 기호를 생략하는 것이니, 48 / 2 와  (  9 + 3 )  사이의 곱셈 기호를 생략했다고 하는 것보다는 2와 ( 9 + 3 ) 사이의 곱셈 기호를 생략했다고 보는 편이 자연스럽긴 하다. ( 48 / 2 ) × ( 9 + 3 ) 에서는 곱셈 기호 앞에 있는 것이 2가 아니라 48 / 2 이기 때문이다. 예를 들어 a/bc 또는 a÷bc를 보통 a/(b×c)로 생각하는 것도 마찬가지이다.

그렇지만, 곱셈 기호를 생략하는 것이 연산을 왼쪽부터 차례대로 하는 상황에서 단순히 곱셈 기호를 없애는 것으로 생각한다면 ( 48 / 2 ) × ( 9 + 3 ) 이라고 해서 안 될 이유도 없다. 실제로 누군가 Mathematica에 48 / 2 ( 9 + 3 )을 입력해 본 결과 288 이 나왔다고 하는데, 일반적인 수식을 처리할 수 있는 Mathematica가 곱셈 기호가 생략된 수식을 해석하는 방식이 바로 이쪽이기 때문이다. 당연한 말이지만, Mathematica에서 결과가 288이 나왔다고 해서 48 / 2 ( 9 + 3 )을 48 / ( 2 × ( 9 + 3 ) )로 해석하는 것이 무조건 틀렸다고 할 수는 없다.

사실 중학교 수학 교과서에서 곱셈 기호를 생략하는 경우를 설명한 부분을 보면, 48 / 2 ( 9 + 3 )을 무엇으로 해석해야 할지 상당히 모호하다. 그렇지만 이런 상황에 대해 일일이 설명을 하는 것이 오히려 헷갈리게 할 수도 있어서 특별한 언급 없이 그냥 넘어가는 것이 보통이다. 곱셈 기호를 생략해서 수식이 모호하다면 곱셈 기호를 써 넣는 쪽이 올바르니까.