대한수학회 자유토론방에 ㅇㅈㅇ이 또 글을 올렸다. 물론 전에 올렸던 글을 반복해서 올리고 있는 것이다.

뭐 새로운 거라도 덧붙였나 싶어 마지막 부분을 보았더니, 수학이랑 아무 상관이 없는 첨부 문서가 하나 있었다.

DC 수학 갤러리에 누군가 이런 글을 올렸다.

그러자 수학 갤러리의 본좌 sos440 님이 "답이 100인 쉬운 수학문제 하나"라는 제목으로 다음 수식을 올렸다.

어제 저녁에 고등과학원 동료들과 얘기하다가, 중학생도 이해할 수 있는 미해결 문제를 하나씩 내놓았다. 다음은 나와 같은 연구실을 쓰는 이** 박사의 문제.

먼저, Hamming distance를 정의하자. n개의 성분으로 이루어진 두 개의 tuple (a_1, a_2, ..., a_n)와 (b_1, b_2, ..., b_n)에 대하여, a_i≠b_i인 성분의 개수를 두 tuple 사이의 Hamming distance로 정의한다. 이후로 간단히 "거리"라고 부르자. 예를 들어, (1,0,0,0)과 (1,1,0,1)은 두 번째, 네 번째 성분이 다르므로 거리, 즉 Hamming distance는 2가 된다.

이제 0과 1로만 이루어지고 길이가 n인 tuple들의 집합을 X라 하고, 1, 2, ..., n을 하나씩 써서 만든 tuple들의 집합을 Y라 하자.

그러면 X의 원소의 개수는, n개의 자리에 0과 1을 넣는 방법이 각각 두 가지이므로, 2^n 개가 된다. 한편 Y의 원소의 개수는, 1부터 n까지를 나열하는 방법의 수와 같으므로, n! 개가 된다.

어떤 함수 f:X-->Y에 대하여, X의 임의의 두 원소 a, b 사이의 거리보다 f(a), f(b) 사이의 거리가 크거나 같을 때, 이 함수를 distance preserving이라 한다. n이 4보다 크거나 같을 때 이런 함수가 존재하다는 것이 알려져 있다.

만약 f(a)와 f(b) 사이의 거리가 a와 b 사이의 거리보다 적어도 1이 더 크면, 이때는 1-distance increasing이라 한다. 물론 두 원소 사이의 거리가 n보다 더 커질 수는 없으므로, a와 b 사이의 거리가 n일 때는 f(a)와 f(b) 사이의 거리도 n이 되는 것으로 생각한다. n이 4보다 크거나 같을 때, 이런 함수가 존재할 뿐만 아니라, 이런 함수를 구성하는 알고리듬까지 알려져 있다.

자, 이제 질문.

최훈의 웹툰 GM 20회 - [2차전 1회말] 지옥같은 하루의 한 장면.
 

이 문장에는 ㄱ이 열여섯 개, ㄴ이 아홉 개, ㄷ이 일곱 개, ㄹ이 여덟 개, ㅁ이 세 개, ㅂ이 아홉 개, ㅅ이 여덟 개, ㅇ이 스물아홉 개, ㅈ이 두 개, ㅊ이 한 개, ㅋ이 한 개, ㅌ이 한 개, ㅍ이 한 개, ㅎ이 여덟 개 들어 있습니다. (구두점 빼고 78자)

더 짧은 것도 가능하네요.

이 문장에는 ㄱ이 열다섯 개, ㄴ이 열 개, ㄷ이 여섯 개, ㄹ이 다섯 개, ㅁ이 세 개, ㅂ이 한 개, ㅅ이 열다섯 개, ㅇ이 스물네 개, ㅈ이 두 개, ㅊ이 한 개, ㅋ이 한 개, ㅌ이 한 개, ㅍ이 한 개, ㅎ이 여섯 개 있다. (72자)

같은 형식으로

이 문장에는 ㄱ이 열여섯 개, ㄴ이 열한 개, ㄷ이 네 개, ㄹ이 여섯 개, ㅁ이 세 개, ㅂ이 두 개, ㅅ이 열한 개, ㅇ이 스물여섯 개, ㅈ이 두 개, ㅊ이 한 개, ㅋ이 한 개, ㅌ이 한 개, ㅍ이 한 개, ㅎ이 일곱 개 있다. (72자)

더 짧게 만들어 보실 분?

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thisknow 님의 작품

이 문장에는 ㄱ이 열일곱 개, ㄴ이 열한 개, ㄷ이 네 개, ㄹ이 여섯 개, ㅁ이 세 개, ㅂ이 네 개, ㅅ이 아홉 개, ㅇ이 스물다섯 개, ㅈ이 두 개, ㅊ이 한 개, ㅋ이 한 개, ㅌ이 한 개, ㅍ이 한 개, ㅎ이 일곱 개 있다. (72자)

이 문장은 ㄱ이 열여섯 개, ㄴ이 일곱 개, ㄷ이 여섯 개, ㄹ이 다섯 개, ㅁ이 세 개, ㅂ이 두 개, ㅅ이 열세 개, ㅇ이 스물세 개, ㅈ이 두 개, ㅊ이 한 개, ㅋ이 한 개, ㅌ이 한 개, ㅍ이 한 개, ㅎ이 다섯 개다. (70자)

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다시 puzzlist의 작품

ㄱ 열여덟 개, ㄴ 여덟 개, ㄷ 일곱 개, ㄹ 아홉 개, ㅁ 세 개, ㅂ 여덟 개, ㅅ 두 개, ㅇ 아홉 개, ㅈ 한 개, ㅊ 한 개, ㅋ 한 개, ㅌ 한 개, ㅍ 두 개, ㅎ 일곱 개로 만든 팬그램 (56자)

ㄱ 열일곱 개, ㄴ 아홉 개, ㄷ 네 개, ㄹ 다섯 개, ㅁ 한 개, ㅂ 일곱 개, ㅅ 네 개, ㅇ 아홉 개, ㅈ 두 개, ㅊ 한 개, ㅋ 한 개, ㅌ 한 개, ㅍ 두 개, ㅎ 여덟 개인지 세어 봐. (54자)

ㄱ 열다섯 개, ㄴ 열한 개, ㄷ 네 개, ㄹ 세 개, ㅁ 한 개, ㅂ 두 개, ㅅ 네 개, ㅇ 네 개, ㅈ 한 개, ㅊ 한 개, ㅋ 한 개, ㅌ 한 개, ㅍ 한 개, ㅎ 아홉 개다. (47자)